江苏省苏州市苏州工业园区星海实验初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填在答题纸相对应的位置上）
1. 观察下列五幅图案，在②③④⑤中可以通过①平移得到的图案是（ ）
A. ②B. ③C. ④D. ⑤
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平移的性质，观察图案可得结论．
【详解】解：观察下列五幅图案，在②③④⑤中可以通过①平移得到的是③．
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法和除法运算法则，幂的乘方的运算法则．理解相关知识是解答关键．利用幂的乘方的运算法则求解A，利用同底数幂乘法运算法则求解B，用同底数幂除法运算法则求解C，D．
【详解】解：A．，原选项计算错误，此项不符合题意；
B．，原选项计算错误，此项不符合题意；
C．，原选项计算错误，此项不符合题意；
D．，原选项计算正确，此项符合题意．
故选：D．
3. 下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解是解题的关键．
根据因式分解的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中，不是因式分解，故不符合要求；
B中，因式分解不彻底，故不符合要求；
C中，是因式分解，故符合要求；
D中，不是因式分解，故不符合要求；
故选：C．
4. 如图，已知，那么下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】∠1和∠2是直线AB、CD被直线DB所截的内错角，若∠1=∠2，则ABCD．
详解】解：∵∠1=∠2
∴ABCD（内错角相等，两直线平行），故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部
B. 三角形中至少有一个内角不小于60°
C. 直角三角形仅有一条高
D. 三角形的外角大于任何一个内角
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形角平分线、中线、高的定义及性质判断A；
根据三角形的内角和定理判断B；
根据三角形的高的定义及性质判断C；
根据三角形外角的性质判断D．
【详解】A、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误；
B、如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确；
C、直角三角形有三条高，故本选项错误；
D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
6. 为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差公式即可进行解答．
【详解】解：运用平方差公式计算，
应变形为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
7. 在一次中学生创客比赛中，某八年级学生设计了一款机器狗，机器狗运行的程序如图所示．将该机器狗放置在平面上运行至结束，它的移动距离为（ ）
A. 12米B. 8米C. 6米D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于360度解决此题．
【详解】解：经分析，机器狗回到点A，总共转了度．
机器狗转了（次）．
机器狗移动的距离是（米）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查多边形的外角，熟练掌握任意多边形的外角和是度是解决本题的关键．
8. 将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图①与图②的面积相等进行求解即可．
【详解】解：由题意得，图①的图形面积为，图②的图形面积为，
∵图①图形与图②图形的面积相等，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式与几何图形的应用，正确求出两个图形的面积是解题的关键．
9. 如图，四边形中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为4、5、6，四边形面积为（ ）．

A. 5B. 4C. 8D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】连接、、、，利用中线性质得到等底等高的三角形面积相等，结合解题即可．
【详解】解：连接、、、，

依次是各边中点，
与是等底等高，
同理可证，
四边形、四边形、四边形的面积分别为4、5、6，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中线性质、四边形面积等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10. 如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，先求出，再证明，得到，最后利用对顶角相等，即可求出的度数；当在下方时，延长，交于点，根据平行线的判定和性质，证明，得到，进而得到，即可求出的度数．
【详解】解：当在上方时，延长、交于点，

由折叠可知，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当在下方时，延长，交于点，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
综上所述：或，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，图形的折叠，熟练掌握图形折叠的性质，平行线的性质，能够画出图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，请填在答题纸相对应的位置上）
11. 用科学记数法表示是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．确定，即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知则________．
【答案】18
【解析】
【分析】直接运用同底数幂的乘法逆运算求解即可．
【详解】解：∵
∴．
故答案为：18．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答此题的关键．
13. 比较大小：________（填或者或者）．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了有理数的大小比较，负整数指数幂，零次幂的含义．分别求出，，再进行比较大小即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，
故答案为：．
14. 若三角形的两边分别是6和2，第三边长是偶数，则此三角形的第三边为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
【详解】解：设第三边为x，根据三角形的三边关系可得： ．
即： ，
由于第三边的长为偶数，
则x为6．
∴第三边为6．
故答案为6
15. 要使的展开式中不含项，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式．先计算多项式乘多项式，再使项系数为0即可．
【详解】解：
，
∵不含项，
∴，
解得，
故答案为：．
16. 如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则________度．

【答案】20
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质得到，再求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：20．
17. 如图，D，E分别是中，边的中点，F是上一点且，若阴影部分的面积为9，则的面积是___________．
【答案】16
【解析】
【分析】设，结合，则，可得，结合D是边的中点，得到，从而得到；，结合E是边的中点，得到，从而得到；结合得到计算即可．
【详解】设，
因为，
所以，
所以，
因为D是边的中点，
所以，
所以；
因为，
因为E是边的中点，
所以，
所以；
因为，
所以
解得．
故答案为：16
【点睛】本题考查了三角形中线与三角形面积的关系，熟练掌握等高两个三角形面积之比等于对应底之比是解题的关键．
18. 如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，，当点运动到使时，的度数为________（用含有的代数式表示）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，三角形的外角的性质可证明，即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
，
，
，分别平分和，
，，
，，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10题，共64分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）先分别计算积的乘方，单项式乘单项式，然后进行减法运算即可；
（2）先分别计算零指数幂，负整数指数幂，然后进行加减运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，零指数幂，负整数指数幂．熟练掌握积的乘方，单项式乘单项式，零指数幂，负整数指数幂是解题的关键．
20. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查用提公因式与乘法公式分解因式，熟悉完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．
（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先计算整式的乘法运算，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
；
21. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】先把原式按照多项式的乘法法则进行计算，再合并同类项，再把代入化简结果求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
【点睛】此题考查了整式的混合运算和求值，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．
22. 如图在方格纸中将水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到．
（1）画出平移后的三角形（利用网络和直尺画图）；
（2）过点B画一条平分三角形面积的直线与交于点D；
（3）若连接，，则这两条线段的关系是___________；
（4）在平移的过程中，线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积是___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）平行且相等 （4）18
【解析】
【分析】（1）先画出平移后对应点、、，然后再连接，，即可；
（2）根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，画出直线BD即可；
（3）根据平移的性质可知，，AA′=CC′；
（4）画出AB扫过的部分，所组成的封闭图形，然后计算其面积即可．
【小问1详解】
解：先作出平移后对应点、、，然后再连接，，，则即为所求作的三角形．
【小问2详解】
三角形的中线将三角形面积分为两部分，故过点B平分三角形面积的直线BD，如图所示：
【小问3详解】
∵为点A平移得到的，为点C平移得到的，
∴，AA′=CC′，
故答案为：平行且相等．
【小问4详解】
∵AB平移过程中，扫过的封闭图形有平行四边形ABED和平行四边形DEGF组成，
∴线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积：
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行四边形面积的计算，熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
23. 如图，已知，且，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】运用同角的补角相等，得出，，再运用角的等量关系，证得，从而得到
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，通过角的等量关系证得平行线，再运用平行线性质得出角的等量关系是解题关键．
24. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且．

（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
（2）若图中空白部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为30厘米，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）34平方厘米．
【解析】
【分析】（1）利用等面积法即可知；
（2）根据已知条件列二元一次方程组，求出a，b即可求出阴影部分的面积．
【小问1详解】
解：∵等于大长方形的面积，
∴可以因式分解为，
故答案是：；
【小问2详解】
解：∵，
由题意可知：
，解得：，
∴阴影部分的面积为（平方厘米）．
【点睛】本题考查因式分解，二元一次方程组的实际应用，理解代数式的含义是解（1）的关键，根据条件列方程组是解（2）的关键．
25. 已知最外圈的小正方形个数分别为：，，；
（1）照这样的规律，接下来第4个和第6个图形最外圈的小正方形个数分别是： 、 ；第个图形最外圈的小正方形个数是： ；
（2）写出第个等式：（ ）-（ ）=（ ），并证明其正确性；
（3）利用（2）中的规律计算：．
【答案】（1），，
（2），见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了图形的规律探究，平方差公式的应用．根据题意正确推导一般性规律是解题的关键．
（1）由题意知，第4个图形最外圈的小正方形个数为，第6个图形最外圈的小正方形个数为，第个图形最外圈的小正方形个数是，计算求解即可；
（2）由（1）可知，第个等式为，然后利用平方差公式求解即可；
（3）根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，第4个图形最外圈的小正方形个数为，
第6个图形最外圈的小正方形个数为，
∴第个图形最外圈的小正方形个数是，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：由（1）可知，第个等式为，
证明：左边
，
∴左边=右边，等式正确；
【小问3详解】
解：∵，，，，
∴
．
26. 小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如:当时，即或-1时，的值均为6；当时，即或-2时，的值均为11．于是小明给出一个定义:对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶．
请你结合小明思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于__________对偶；
（2）当或时，关于x的多项的值相等，求b的值；
（3）若整式)关于对偶，求n的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把配方后即可得到答案；
（2）把配方后，根据新定义得到，即可得到答案；
（3）把原式变形后，根据新定义即可得到n的值．
【小问1详解】
解：∵，
∴根据题意，多项式关于对偶；
故答案为：
【小问2详解】
解：．
依题意，得与互为相反数，即
∴；
【小问3详解】

∵该整式关于对偶．
∴
【点睛】此题是新定义题，主要考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
27. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若，设镜子与夹角为钝角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含的代数式表示）．
【答案】（1），见解析
（2），见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据，可得，进而得出利用同旁内角互补，两直线平行加以证明；
（2）根据，得出利用三角形的外角性质证明即可；
（3）分两个镜面夹角为直角和钝角两种情形求解即可．
【小问1详解】
解：
理由如下：在中，

，
，
，
；
【小问2详解】
．
理由如下：在中，
在中，
；
【小问3详解】
或
如图，当夹角为钝角时，根据（2）中的结论，得
，
根据平行线性质，得：
，
∴；
如图，当夹角为直角时，根据（1）中结论，得
，
根据三角形外角性质，得：
∴．
∴的度数为或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，数学的分类思想，三角形内角和定理，类比思想，根据前面的结论，灵活进行分类求解是解题的关键．