最新中考数学思想方法讲与练 【数形结合】函数图象中的数形结合思想

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
函数图象中的数形结合思想
知识方法精讲
1．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
2．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
3．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
4．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
5．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
6．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
7．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
8．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
9．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
10．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
11．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
13．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
14. 数形结合思想数形。1二113455511呃呃属性
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
2. 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）线与方程的对应关系；（4）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。
3. 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•庄河市期末）已知，函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
【考点】二次函数的性质；正比例函数的性质
【分析】分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【解答】解：当时，函数的图象位于一、三象限，的开口向下，交轴于正半轴，选项符合；
当时，函数的图象位于二、四象限，的开口向上，交轴于负半轴，没有符合的选项．
故选：．
【点评】本题考查了正比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．
2．（2020秋•青岛期末）如图，函数与的图象交于点，，则不等式的解集为
A．或B．或C．或D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】不等式的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．
【解答】解：函数与的图象相交于点，，
不等式的解集为：或，
故选：．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
3．（2021秋•金安区期中）如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，设，时间为，则与之间的函数图象大致为
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】利用分类讨论的思想方法分四种情况讨论解答：①，②，③，④；依据的取值范围画出对应的图形，求出对应的函数解析式，根据解析式的大致图象即可得出结论．
【解答】解：①当时，此时，点在上，点在上，
由题意得：，
．
．
，
此时函数的图象是以和为端点的线段；
②当时，此时点在上，点在上，如图，
由题意得：，．
，
．
，
此时函数的图象为开口向下，对称轴为直线的抛物线的一段；
③当时，此时点，均在线段上，
此时，函数图象为轴上以和为端点的线段；
④当时，此时点在线段上，点在线段上，如图，
由题意得：，．
．
．
，
当时，．
此时的函数的图象是抛物线上以和为端点的一段．
综上，符合上述特征的函数图象为，
故选：．
【点评】本题主要考查了动点问题函数的图形，利用分类讨论的方法求出相应的函数的解析式是解题的关键．
4．数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数与的交点的横坐标的取值范围是
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象
【分析】建立平面直角坐标系，然后利用网格结构作出函数与的图象，即可得解．
【解答】解：如图，函数与的交点在第一象限，横坐标的取值范围是．
故选．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，准确画出大致函数图象是解题的关键，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．
5．如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】首先根据不等式的性质知，不等式的解集即为不等式的解集，然后由一次函数的图象可知，直线落在轴上方的部分所对应的的取值，即为不等式的解集，从而得出结果．
【解答】解：观察图象可知，当时，直线落在轴的上方，
即不等式的解集为，
，
解集为．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
二．填空题（共17小题）
6．（2020秋•张店区期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，则关于的一元一次方程的解为 ．
【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数的性质
【分析】由图象可知直线与直线的交点是，则可求方程的解．
【解答】解：是直线与直线的交点，
一元一次方程的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一元一次方程与一次函数的关系，数形结合解题是关键．
7．（2021秋•崇川区校级月考）如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为 或 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
则不等式的解集是或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
8．（2021秋•天长市月考）已知，在同一坐标系中二次函数与一次函数的图象如图，它们相交于点，，抛物线的顶点，直线交轴于点．
（1）当时，的取值范围是 ．
（2）当时，的取值范围是 ．
【考点】二次函数与不等式（组；抛物线与轴的交点
【分析】（1）观察图象，即可得出答案；
（2）先求出点的坐标，再结合图象，即可得出答案．
【解答】解：（1）在同一坐标系中二次函数与一次函数的图象如图，它们相交于点，，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
（2）一次函数的图象经过点，，
，
解得：，
，
当时，，
解得：，
，
，
，异号，
在同一坐标系中二次函数与一次函数的图象相交于点，，抛物线的顶点，直线交轴于点，
当时，的取值范围是且．
故答案为：且．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与不等式的关系，一次函数图象和性质，学会观察图象，运用数形结合思想是解题关键．
9．（2021秋•黔西南州期中）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，，将抛物线沿直线；向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，，，则顶点的坐标为 ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与几何变换；规律型：点的坐标；二次函数的性质
【分析】根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点的坐标为，设点的坐标为，则以点为顶点的抛物线解析式为，由点的坐标利用待定系数法，即可求出值，将其代入点的坐标即可得出结论．
【解答】解：抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，，，，
点的坐标为．
设点的坐标为，则以点为顶点的抛物线解析式为，
点在抛物线上，
，
解得：或（舍去），
的坐标为，
的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出值是解题的关键．
10．（2021秋•宜州区期中）已知二次函数的图象如图所示，则方程的两根之和是 2 ．
【考点】抛物线与轴的交点；根与系数的关系
【分析】由二次函数的图象可知和轴交点横坐标分别为和3，进而可求出方程的两根之和．
【解答】解：由图象可知和轴交点横坐标分别为和3，
方程的两根之和为，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知抛物线与轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
11．（2021秋•台州期中）如图，“心”形是由抛物线和它绕着原点，顺时针旋转的图形经过取舍而成的，其中点是顶点，点，是两条抛物线的两个交点，点，，是抛物线与坐标轴的交点，则 ， ， ．（写出其中两个即可）
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与轴的交点
【分析】如图1，连接，过点作于点，设，则，可得，根据抛物线经过点，建立方程可求得；由抛物线绕着原点，顺时针旋转的图形与轴交于点，，可得，，再令，可求得，，即可求出；如图2，设点的坐标为，设点旋转前的点为，则，过点作轴于点，可得出点的坐标为，，代入抛物线，即可求得答案．
【解答】解：如图1，连接，过点作于点，
抛物线和它绕着原点，顺时针旋转的图形交于、两点，
，、关于直线对称，
，
，
，设，则，
，
，
抛物线经过点，
，
解得：或，
，，，，
，
抛物线绕着原点，顺时针旋转的图形与轴交于点，，
，
，，
在中，令，则，
，，
，
如图2，设点的坐标为，设点旋转前的点为，则，
过点作轴于点，
，，
，，
点的坐标为，，
点，在抛物线上，
，
解得：，
点的坐标为，
，
，
故答案为：，，．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，两点之间距离公式，直角三角形性质，解题关键是理解题意，运用数形结合思想和方程思想．
12．（2021•福州模拟）在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度的最小值是 ．
【考点】勾股定理；两点间的距离公式
【分析】根据点的坐标可知点在直线上运动，点在双曲线上运动，则根据图象的对称性可知：作直线交图象与、点，此时最小，即可解决问题．
【解答】解：，点，
点在直线上运动，点在双曲线上运动，
根据图象的对称性可知：作直线交图象与、点，此时最小，
，，
最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，反比例函数和一次函数图象的轴对称性等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
13．（2021秋•江汉区校级月考）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 或 ．
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数的性质
【分析】由函数图象可知抛物线的对称轴为，从而可得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，，找出抛物线位于轴下方部分的取值范围即可．
【解答】解：根据函数图象可知：抛物线的对称轴为，抛物线与轴一个交点的坐标为，
由抛物线的对称性可知：抛物线与轴的另一个交点坐标为．
，
或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查的是二次函数与不等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与轴两个交点的坐标是解题的关键．
14．（2021秋•姑苏区期中）如图①，在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图②中的曲线段、线段与曲线段．以下说法正确的是 ③ ．（填序号）
①点的运动速度为；
②点的坐标为；
③线段段的函数解析式为；
④曲线段的函数解析式为；
⑤若的面积是四边形的面积的，则时间或．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】结合函数图象得出当3秒时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长即可，进而判断①②；过点作于点，根据三角形的面积公式可表达此时的，进而判断③；画出图形可得出，，则，求出即可面积可判断④；首先得出的面积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断⑤．
【解答】解：由题意可得出：当3秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动3秒，
当3秒时，，此时的面积为，
为，
点的运动速度为：，故①正确；
当运动到5秒时，函数关系式改变，则，
，
可求出，
；故②错误；
当点在上时，如图，于点，
，故③正确；
如图，，，过点作于点，
则，
，
即曲线段的函数解析式为：；故④正确；
，
，
当时，，时，或（舍弃），
当时，；；
解得或（舍弃），
综上所述：或，的面积是四边形的面积的．故⑤错．
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式等知识，具体的关键是学会以分类讨论的思想思考问题，学会理由方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
15．（2021春•花都区期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以得到不等式的解集，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
当时，对应的自变量的值是1，该函数图象随的增大而增大，
不等式的解集为，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键．
16．（2021•阜宁县二模）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到，，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，一次函数的图象经过，，
，
，
不等式可化为：，
解得，，
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数与不等式，掌握一次函数图象上点的坐标特征、一元一次不等式的解法是解题的关键．
17．（2021春•罗湖区校级期末）如图，若直线经过，两点，直线经过点，则关于的不等式的解集是 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】观察函数图象得到当时，直线都在直线的上方，即．
【解答】解：当时，，即关于的不等式的解集为．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
18．（2020•浙江自主招生）如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得，与轴交于点，．若直线与，共有3个不同的交点，则的取值范围是 ．
【考点】抛物线与轴的交点；一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与几何变换；二次函数的性质
【分析】先由题意得关于的一元二次方程，从而求得点和点的坐标；再得出平移后的解析式；然后分两种情况得出临界值：当直线过，有2个交点；当直线与抛物线相切时，有2个交点；最后根据图形得出符合题意的取值范围即可．
【解答】解：抛物线与轴交于点，，
令，解得：，，
，．
向左平移4个单位长度得，
的解析式为：，
当直线过，有2个交点，
，；
当直线与抛物线相切时，有2个交点，
，
，
相切，
△
．
如图：
若直线与，共有3个不同的交点，
；
故答案为：．
【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
19．（2021秋•揭东区期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组
【分析】由两条直线的交点坐标，先求出，再求出方程组的解即可．
【解答】解：经过，
，
，
直线与直线相交于点，
，
故答案为
【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．
20．（2021秋•青岛期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组
【分析】由两条直线的交点坐标，先求出，再求出方程组的解即可．
【解答】解：的图象经过，
，
，
一次函数与的图象相交于点，
方程组的解是，
故答案为．
【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．
21．（2021春•营口期末）如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】观察函数图象得到，当，函数的图象都在函数图象的上方，于是可得到关于的不等式的解集．
【解答】解：当，函数的图象在函数图象的上方，
所以关于的不等式的解集为．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
22．（2021春•雨花区期末）在平面直角坐标系中，函数和的图象，如图所示，则不等式的解集为 ．
【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式
【分析】结合图象，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：如图所示：一次函数和的图象交点为，
关于的一元一次不等式的解集是：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解题是关键．
三．解答题（共6小题）
23．（2021•和平区一模）如图，抛物线，交轴于点，交轴于，两点，抛物线的顶点为，连接，．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
（3）过点作轴的垂线交于点，点为线段上一动点，连接，将沿翻折到（点，点分别位于直线的两侧），交于点，当为直角三角形时．
①请直接写出线段的长为 ；
②将此绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，若直线分别与直线，直线交于点，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的纵坐标为 ．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）先根据抛物线，交轴于点，求出点坐标，再运用待定系数法求直线的函数表达式即可；
（2）将，代入抛物线求出，，即可得抛物线解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；
（3）①根据为直角三角形，且点，点分别位于直线的两侧，可分三种情况：或或，经分析仅有符合题意，过点作于点，则，先证明，再运用面积法即可求出答案；
②由是以为腰的等腰三角形，可分两种情况：或，分别求出点的纵坐标即可．
【解答】解：（1）设直线的函数表达式为：，
抛物线，交轴于点，
，
将，分别代入，
得：，
解得：，
直线的函数表达式为：，
（2）抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
（3）①如图1，为直角三角形，且点，点分别位于直线的两侧，
或或，
当时，，点落在直线上，不符合题意，
当时，，点，点位于直线的同侧，不符合题意，
当时，点，点分别位于直线的两侧，符合题意，
，，
过点作于点，则，
，轴，
，，
，，，
，
，，
，
，即，
，，
，
，
故答案为：；
②是以为腰的等腰三角形，
或，
当时，如图2，由旋转知：点到、的距离相等，
，，
由①知，
，
，即，
，
的纵坐标为，即的纵坐标为，
为、的中点，
的纵坐标为，
当时，如图3，点为的垂直平分线与的交点，
，，
经过点平行的直线为，
点到直线的距离为，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，；
综上所述，点的纵坐标为或．
【点评】本题是关于二次函数的综合题，属于中考压轴题，综合性强，难度大，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，直角三角形性质，等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质等；熟练掌握相关知识，灵活运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题是解题关键．
24．（2021•河南模拟）小亮遇到一个函数，他想利用初中学习函数的经验对这个函数的图象与性质进行探究，以下是他的研究过程，请补充完整：
（1）列表：
其中 2 ； ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程有 个互不相等的实数根；
②有两个点，和，在此函数图象上，当时，比较和的大小关系为： （填“”、“ ”或“” ；
③根据的取值范围判断关于的方程实数根情况．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）将，2分别代入即可求出，．
（2）描点如下函数图象，关键图象即可求得；
（3）观察函数图象选择一条即可；
（4）①通过图象可以看出；
②根据图象，可以得出此时为递增函数，故得出结论；
③根据图象特点，分类讨论求出．
【解答】解：（1）当时，，则；
当时，，则．
故答案为：；．
（2）描点即可画出，如下图，
（3）函数图象关于轴对称；
（4）①由图像得，当时，函数图像与轴有4个交点，故方程有4个不相等的实数根．
故答案为：4；
②根据图象得，当时，随增大而增大，
故当时，．
故答案为：；
③由图象可知，
当时，无实数根；
当或时，有2个实数根；
当时，有4个实数根；
当时，有3个实数根．
【点评】本题主要考查学生的创新能力和二次函数图象及性质，画出函数图象，并根据图象去回答问题即可．
25．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，二次函数的图象过点、点．
（1）该二次函数的顶点是 ；
（2）点为点关于抛物线对称轴的对称点，直线经过、两点，满足的的取值范围是 ．
（3）在对称轴上找一点，使取得最大值，求出此时的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）把二次函数的解析式化成顶点式即可；
（2）根据函数图象可以直接写出满足的的取值范围．
（3）连接与对称轴交于点，此时，最大，求出直线解析式，再求的坐标即可得出答案．
【解答】解：（1），
二次函数的顶点坐标为，
故答案为：，
（2）由（1）得，二次函数的对称轴为直线，，
点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，
点，
由图象可知，不等式的的取值范围：．
故答案为：．
（3）函数的对称轴为直线，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，如图所示，
，
连接与对称轴交于点，此时，
的最大值为；
设直线解析式为的图象经过，两点，
，解得，
直线解析式为，
把代入得，，
的坐标为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象的性质，待定系数法，轴对称的性质，解题关键时熟练掌握二次函数与方程及不等式的关系．
26．（2021秋•惠城区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图1．若点在抛物线上且满足，求点的坐标；
（3）如图2．是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）设，再将代入，即可求解；
（2）先求出直线的解析式为，分两种情况讨论：①当时，； ②设与直线交于点，则，设，求出，求出的解析式，再求直线与抛物线的交点即为点；
（3）直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，，分三种情况讨论：①当时，，或，；②当时，，或，；③当时，，或，；再由点在直线上即可求的坐标．
【解答】解：（1）顶点的坐标为，
设，
将代入，
解得，
；
（2）令，则，
解得或，
，，
设直线的解析式为，
，
，
，
如图1，当时，，
直线的解析式为，
联立，
解得（舍或，
；
如图2，当时，
，，，
，，，
，
，
设与直线交于点，
，
设，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立，
解得或，
，；
综上所述：点坐标为或，；
（3）直线的解析式为，直线的解析式为，
设，则，，
①当时，
，
，
，或，，
点在上，
或，
（舍或或，
或；
②当时，
，
，
，或，，
点在上，
或，
解得或（舍或，
，或，；
③如图3，当时，设的中点，
，
，
，或，，
点在直线上，
或，
解得（舍或或，
或；
综上所述：点坐标为或或，或，或或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据等腰直角三角形是性质进行分类讨论是解题的关键．
27．（2020秋•勃利县期末）如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为2．
（1）求抛物线及直线的函数表达式．
（2）点是线段上的点（不与，重合）过作轴交抛物线于，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长．
【考点】抛物线与轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）把点和点的坐标代入抛物线解析式求出和的值即可求出抛物线解析式；再把点的横坐标代入已求出的抛物线解析式可求出其纵坐标，进而可求出直线的表达式；
（2）已知点的横坐标为，点又在直线上，所以可求出其纵坐标，而点在抛物线上，所以可求出其纵坐标，进而可用的代数式表示的长．
【解答】解：（1）把、代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
把代入得，
，
设直线的解析式为，
把、代入得，
解得：，
直线的解析式为；
（2）点在直线上，
的坐标为；
点在抛物线上，
点的坐标为，
．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中用表示出点、的坐标是解题的关键．
28．（2021秋•温州校级期中）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为轴上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段．当点在抛物线上时，求点的坐标．
【考点】抛物线与轴的交点；坐标与图形变化旋转；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）根据函数解析式求出抛物线的对称轴为直线，再由，求出、的坐标代入函数解析式即可；
（2）过点作轴于点，设证明，得代入抛物线解析式得关于的方程，求解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的对称轴为直线，
，
，，
将点的坐标代入函数解析式得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）过点作轴于点．如图，
当时，，
，
，
设，
，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
解得，，，
点的坐标为，．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、全等三角形的性质和判定，证明，得到点的坐标，然后列出关于的方程是解题的关键．日期：2022/2/2 22:20
0.61
0.76
1.05
1.39
1.7
1.85
1.9
2
2.1
3.72
2
0.63
0
0
0.63
0.63
0
0
0.63
3.72