最新中考数学思想方法讲与练 【新定义问题】函数中的新定义问题

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
函数中的新定义问题
知识方法精讲
1．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
2．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
5．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
6．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
7．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
9．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
11．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
13．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
14．解新定义题型的方法：
方法一 :从定义知识的新情景问题入手
这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。
方法二：从数学理论应用探究问题入手
对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．
方法三：从日常生活中的实际问题入手
对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。
15．解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
一．选择题（共3小题）
1．（2021秋•黔西南州期中）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则的值为
A．2B．1C．4D．3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换
【分析】将代入平移前抛物线解析式求得的值；然后将代入平移后抛物线解析式求得的值．
【解答】解：根据题意，将代入抛物线，
得到：，
所以“平衡点”为．
将抛物线向右平移个单位得到新抛物线．
将代入新抛物线，得．
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“平衡点”的含义．
2．（2021•河南模拟）新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，，，若“图象数”是，，的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为
A．B．C．或2D．2
【考点】抛物线与轴的交点
【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到△，从而解的方程即可．
【解答】解：二次函数的解析式为，
根据题意得△，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
3．（2020秋•鼓楼区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形．已知点是抛物线上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则的值可以是
A．16B．4C．D．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；矩形的性质
【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出，的方程，求解，即可．
【解答】解：点是抛物线上的点，
，
，
点是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，
，
，，
当时，；
当时，；
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象特征和矩形的性质，准确理解计算是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
4．（2021•南浔区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 或 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值
【分析】根据题干定义可得函数最大值或函数最小值，由可得函数最大值为可得，进而可得函数最小值为直线与抛物线交点纵坐标，进而求解．
【解答】解：由题干可得函数在时，函数最大值或最小值为，，
，抛物线开口向下，顶点坐标为，
为函数最大值，
当时，，
，
当时，直线与直线与抛物线交点关于对称轴对称，
时，直线与抛物线交点为最低点，
把代入得，
当时，，
，
当时，，
当时，，
或满足题意．
故答案为：或．
【点评】本题考查二次函数新定义问题，解题关键是理解题意，掌握求二次函数最值的方法．
5．（2021•邗江区二模）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点的坐标为，当时，点的变换点的坐标为；当时，点的变换点的坐标为．
抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），顶点为，点在该抛物线上．若点的变换点在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，则满足该条件所有值的和为 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；菱形的性质；关于轴、轴对称的点的坐标
【分析】利用菱形的性质，可知，关于轴对称，分两种情形分别构建方程即可解决问题．
【解答】解：四边形是菱形，
点与点关于轴对称．
点的坐标为，
点的坐标为．
当点在轴左侧时，点的坐标为．
代入，得．
．
当点在轴右侧时，点的坐标为．
代入，得．，．
综上所述，的值是，，．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
三．解答题（共17小题）
6．（2021秋•东城区期末）在平面直角坐标系中．的半径为1，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的关于直线对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是的关于直线对称的“关联线段”．
（1）如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．
①在线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是 ；
②若线段，，中，存在的关于直线对称的“关联线段”，则 ；
（2）已知直线交轴于点，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出的最大值和最小值，以及相应的长．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）①分别画出线段，，关于直线对称线段，如图，即可求解；
②从图象性质可知，直线与轴的夹角为，而线段直线，线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦；线段，的最长的弦为2，得线段的对称线段不可能是的弦，而线段直线，线段，线段的对称线段线段线段，且线段，平移这条线段，使其在上，有两种可能，画出对应图形即可求解；
（2）先表示出，最大时就是最大，最小时就是长最小，根据线段关于直线对称线段在上，得，再由三角形三边关系得，得当为时，如图3，最小，此时点坐标为；当为时，如图3，最大，此时点坐标为，分两种情形分别求解．
【解答】解：（1）①分别画出线段，，关于直线对称线段，如图，
发现线段的对称线段是的弦，
线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是，
故答案为：；
②从图象性质可知，直线与轴的夹角为，
线段直线，
线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦，
线段，的最长的弦为2，
线段的对称线段不可能是的弦，
线段是的关于直线对称的“关联线段”，
而线段直线，线段，
线段的对称线段线段线段，且线段，
平移这条线段，使其在上，有两种可能，
第一种情况：、的坐标分别为、，
此时；
第二种情况：、的坐标分别为、，
此时，
故答案为：3或2；
（2）直线交轴于点，
当时，，
解得：，
，
最大时就是最大，
最小时就是长最小，
线段是的关于直线对称的“关联线段”，
线段关于直线对称线段在上，
，
在△中，，
当为时，如图3，最小，此时点坐标为，
将点代入直线中，
，解得：，
过点作于点，
，
，
，，
，
在△中，；
当为时，如图3，最大，此时点坐标为，
将点代入直线中，
，解得：，
过点作于点，
，
，
，，
，
在△中，，
的最大值为，；最小值为，．
【点评】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．
7．（2021秋•长沙期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线为常数）对称，则把该函数称之为“函数”．
（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”．
①
②
③
（2）若关于的函数为常数）是“（2）函数”，与为常数，相交于，、，两点，在的左边，，求的值；
（3）若关于的“函数” ，为常数）经过点，且，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）①设关于对称的点为，将点代入，求得，则可判断；
②设关于对称的点为，将点代入，求得，则可判断；
③设关于对称的点为，将点代入，求得，则可判断；
（2）由题意可求，与轴交于点，与轴交于点，作轴交于点，轴交于点，求出，再由由对称性可知，，求出，设，则，求出十，，，可得，即可求，则；
（3）先判断“函数”为，分四种情况讨论：①当时，，则；②当，即时，一，则；⑧当时，十，则（舍去）：④时，，则（舍去）．
【解答】解；（1）①设关于对称的点为，
令，则，
若，则，
不是“函数”；
②设关于对称的点为，
令，则，
若，则或，
是“函数”；
③设关于对称的点为，
令，则，
若，
则有或，
是“函数”；
故答案为：，，；
（2）一是“（2）”函数，
，
如图，与轴交于点，与轴交于点，作轴交于点，轴交于点，
，，
，
由对称性可知，，
，，
，
，
设，则，
十，，，
，
，
，
；
（3）由题意得，
解得，
此“函数”为，
①当时，
时，，
时，十，
，
；
②当，即时，
时，十，
时，，
一，
；
⑧当时，
时，，
时，十，
十，
（舍去）
④时，
时，，
时，十，
，
（舍去），
综上所述：或．
【点评】本题是函数的综合题，理解新函数的定义，根据函数的特点画出函数图象，数形结合，分类讨论是解题的关键．
8．（2021秋•宝安区期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ；
（2）若一次函数的“不动点”为，求、的值；
（3）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的点坐标．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）根据题意，联立，即可求解；
（2）由定义可知一次函数的“不动点”为，再将点代入即可求的值；
（3）由题意可知直线与直线平行，则有，在求出，，设，由，可得，即可点坐标．
【解答】解：（1）联立，
解得，
一次函数的“不动点”为，
故答案为：；
（2）一次函数的“不动点”为，
，
，
“不动点”为，
，
解得；
（3）直线上没有“不动点”，
直线与直线平行，
，
，
，，
设，
，
，
，
，
，
或，
或．
【点评】本题是一次函数的综合题，理解定义，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
9．（2021秋•昌平区期末）在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：若且，我们称点是线段的“潜力点”．已知点，．
（1）在，，，中是线段的“潜力点”是 ；
（2）若点在直线上，且为线段的“潜力点”，求点横坐标的取值范围；
（3）直线与轴交于点，与轴交于点，当线段上存在线段的“潜力点”时，直接写出的取值范围．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）在坐标系中找到，，，三点，根据坐标系中两点间的距离可直接得出结论；
（2）经过分析可知，点在以为圆心，1为半径的圆外，且在线段垂直平分线的左侧，且点在以为圆心，2为半径的圆上或圆内．画出点的范围，找到此范围中符合题意的点，即可求解．
（3）根据点的运动，可找到临界状态，画出图形，求出对应的的值即可．
【解答】解：（1）在坐标系中找到，，，三点，如图，
根据“潜力点”的定义，可知是线段的潜力点．
故答案为：；
（2）点为线段的“潜力点”，
且，
，
点在以为圆心，1为半径的圆外．
，
点在线段垂直平分线的左侧．
，
点在以为圆心，2为半径的圆上或圆内．
又点在直线上，
点在如图所示的线段上（不包含点．
由题意可知和是等腰三角形
．
（3）如图①，当直线与半径长为2的圆相切时，开始有“潜力点”，且点是“潜力点”；
过点作，
则，，
，
则；
点继续当下运动，如图②，当点与点重合时，开始没有“潜力点”，且点不是“潜力点”；
此时；
如图③，当点与，重合时，开始有“潜力点”，且点不是“潜力点”；
此时；
如图④，当线段过点时，开始没有“潜力点”，且点不是“潜力点”；
此时，，
，
．
综上所示，的取值范围为：或．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了解两点间的距离，“潜力点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（2021秋•房山区期末）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①和②中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）如果函数的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；
（3）如果函数是以3为上确界的有上界函数，求实数的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；
（2）由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围；
（3）当时，，可得（舍；当时，，可得（舍；当时，，可得；当时，，可得．
【解答】解：（1）①，
①无上确界；
②，
，
②有上确界，且上确界为1，
故答案为：②，1；
（2），随值的增大而减小，
当时，，
上确界是，
，
函数的最小值不超过，
，
，
，
，
，
的取值范围为：；
（3）的对称轴为直线，
当时，的最大值为，
为上确界，
，
（舍；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
（舍；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
，
综上所述：的值为2.4．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．
11．（2021•海沧区模拟）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和（点在点左侧），若是等腰三角形，则称抛物线是“理想抛物线”．
（1）判断抛物线是否为“理想抛物线”，并说明理由；
（2）已知经过点的抛物线是“理想抛物线”．
①若点，，是抛物线上另两点，满足当时，与的交点始终在抛物线的对称轴上，且线段的垂直平分线恰好经过点，求此抛物线的解析式；
②是否存在整数使得，且？若存在，求出所有满足条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据“理想抛物线”的定义可直接判断；
（2）①要满足是等腰三角形，则可能为底边，也可能为腰；当为底边时，当为腰时，分两种情况讨论；
②是的高，且，开口向上，抛物线与轴有两个交点，所以，所以，用极端假设法可知，，时，，必然有，则，且，所以，要使，
则必然小于1，且不为0，所以不存在符合要求的整数．
【解答】解：（1）是，理由如下：
抛物线的对称轴为直线：，
该抛物线是关于轴对称，则点、关于轴对称，
垂直平分，
为等腰三角形，
是为“理想抛物线”；
（2）①要满足是等腰三角形，则可能为底边，也可能为腰；
当为底边时，，点、关于轴对称，
此时，，
当时，，，
，，
的垂直平分线恰好经过点，
，
又是等腰三角形，
，
是等边三角形；
又，
，
；
抛物线的交点式为：，
把点坐标代入，可得，
此时抛物线的解析式为：；
当为腰时，，仍满足，，
，，
，，
必有点在点上方，则，
对称轴直线，
，
，
，，，
又，得，；
此时抛物线的解析式为：；
②不存在，理由如下：
是的高，且，开口向上，抛物线与轴有两个交点，
，
，
用极端假设法可知，，时，，
必然有，则，且，
，要使，
则必然小于1，且不为0，
不存在符合要求的整数．
【点评】本题考查二次函数背景下新定义问题，涉及二次函数上点的坐标特征，等腰三角形的性质等知识，关键是理解“理想抛物线”的定义．
12．（2021•龙岩模拟）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例：若，，则点为线段的一个覆盖的特征点．已知，，，求解下列问题：
（1）在，，中，是的覆盖特征点的有 ， ；
（2）若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】（1）由定义，，是的覆盖特征；
（2）当时，符合题意；当时，当且时，为的覆盖特征点，当直线过点时，求出是的临界值；则可求的取值范围为且．
【解答】解：（1）由定义可知，，是的覆盖特征，
故答案为：，；
（2）①当时，符合题意；
②当时，当且时，为的覆盖特征点，
点在一次函数上，
当直线过点时，
，
，
，
综上所述：且．
【点评】本题考查新定义，理解题意，根据所给条件，确定是的覆盖特征点的特征是解题的关键．
13．（2021秋•拱墅区月考）对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“系和谐函数”．
（1）已知正比例函数为“系和谐函数”，请求出的值；
（2）若一次函数为“3系和谐函数”，求的值；
（3）已知二次函数，当时，是“系和谐函数”，求的取值范围．
【考点】正比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质
【分析】（1）由题意可得，求出的值即可；
（2）分两种情况求：当时，；当时，；分别求出即可；
（3）当时，，当时，，当时，，分四种情况讨论：①当时，，求出；②当时，，求出；③当时，，求出；④当时，，求出；综上所述可得．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），
当时，，
，
；
当时，，
，
；
综上所述：；
（3），
当时，，
当时，，
当时，，
①当时，，
，
，
；
②当时，，
，
，
；
③当时，，
，
，
；
④当时，，
，
，
；
综上所述：．
【点评】本题考查函数的新定义，能够理解新定义，并将定义应用到一次函数、二次函数中，结合函数的图象及性质进行解题是关键．
14．（2021秋•西平县期中）二次函数的图象交轴于原点及点．
【感知特例】
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，’， ，，，如表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
【形成概念】
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
【探究问题】
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为 ；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线” 都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“”或“”或“”或“”，其中；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）①利用中心对称的特点即可求出点的对称点；
②在平面直角坐标系中描出各点，用平滑的曲线依次连接各点即可；
（2）①利用配方法求出抛物线的顶点与对称轴，利用点的坐标和对称性求出“孔像抛物线” 的顶点与对称轴，进而“孔像抛物线” 解析式，利用二次函数的性质即可得出结论；
②利用（2）①的结论，设这条抛物线的解析式为，令，利用这条抛物线与抛物线的所有“孔像抛物线” 都有唯一交点，得到△．由题意可知：△的取值与无关，由此得到方程组，解方程组即可得出结论；
③由题意得：．利用二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，可得直线必经过这两条抛物线中的一条的顶点，利用分类讨论的思想方法，令分别经过和的顶点，从而得到关于的方程，解方程即可求得结论．
【解答】解：（1）①点是对称中心，
点关于点的对称点就是点本身，
．
故答案为：2；0；
②在坐标系内描出各点，用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为如下图：
（2）①当时，抛物线的解析式为：，
，
抛物线开口向上，当时，函数值随着的增大而减小，
，抛物线的对称轴为直线，顶点为，
抛物线的“孔像抛物线” 的对称轴为直线，顶点为，
抛物线的“孔像抛物线” 的解析式为：．
，
抛物线的开口向下，当时，函数值随着的增大而减小，
当时，抛物线与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着的增大而减小，
故答案为：．
②，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，，
抛物线的“孔像抛物线” 的对称轴为直线，顶点为，
抛物线的“孔像抛物线” 的解析式为：，
设这条抛物线的解析式为，
令，
整理得：．
这条抛物线与抛物线的所有“孔像抛物线” 都有唯一交点，
△．
展开得：．
．
当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线” 都有唯一交点，
△的取值与无关，
，
解得：．
．
这条抛物线的解析式可能是，
故答案为：，
③，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，，
抛物线的“孔像抛物线” 的对称轴为直线，顶点为，
抛物线的“孔像抛物线” 的解析式为：，
由题意得：．
直线是纵坐标为且与轴平行的直线，
二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，
直线必经过这两条抛物线中的一条的顶点，
当直线经过时，
，
或（舍去）．
当直线经过时，
，
或（舍去）．
综上，的值为：．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，关于中心对称的点的特征，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与轴的交点，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
15．（2021秋•大同期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为的二次函数与称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．
任务：
（1）写出二次函数的“亲密函数”： ；
（2）二次函数的图象与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图象与轴交点的横坐标为 ，猜想二次函数的图象与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图象与轴交点的横坐标之间的关系是 ；
（3）二次函数的图象与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图象与轴交点的横坐标．
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数与不等式（组
【分析】（1）根据题意得亲密函数一次项系数为相反数，进而求解．
（2）根据函数与其亲密函数的解析式可得两抛物线关于轴对称，进而求解．
（3）由的图象与轴交点的横坐标为1和可得与轴交点横坐标为和2021，将化为求解．
【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：．
（2）二次函数的亲密函数为，
令，
解得或，
抛物线与轴交点横坐标为4和，
抛物线的对称轴为直线，的亲密函数的对称轴为直线，
与其亲密函数关于轴对称，
两图象与轴交点横坐标互为相反数，
故答案为：4和，互为相反数．
（3）的图象与轴交点的横坐标为1和，
与轴交点横坐标为和2021，
，
和时，，
即和是图象与轴交点的横坐标．
【点评】本题考查二次函数与轴的交点，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系．
16．（2021秋•越秀区校级期中）已知是关于的函数，若存在时，函数值，则称函数是关于的倩影函数，此时点叫该倩影函数的影像点．例如对于函数，若存在时，函数值，则，解得，则函数是倩影函数，点，是函数的影像点．
（1）判断函数是否为倩影函数．如果是，请求出影像点；如果不是，请说明理由；
（2）已知函数．
①求证：该函数总有两个不同的影像点；
②是否存在一个值，使得函数的影像点的横坐标，都为整数，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）把点代入，有解则是倩影函数，求出影像点；
（2）①把点代入，得到关于的二次方程，用根式判别式证明；
②在①的条件下，求出的值，结合为整数求出的值．
【解答】（1）解：函数是倩影函数，
由题意得：把点代入得：
解得：，，
函数是倩影函数，影像点为，；
（2）①证明：把点代入得：，
化简得：，
△，
该函数总有两个不同的影像点．
②解：由①得，方程的解为：，
影像点的横坐标，都为整数，
是6的整数倍，且为整数，
设为整数），
化简得：，
解得：，
或3，
当时，（舍，
当时，，
此时，，，不符合题意，
综上所述：不存在的值，使得影像点的横坐标，都为整数．
【点评】本题以新定义为背景，考查了反比例函数和一元二次方程的解相关知识点，解题的关键是把代入函数解析式后，结合根式判别式△判断一元二次方程的根情况．
17．（2021秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“实验点”．例如，都是“实验点”．
（1）求函数图象上的“实验点”坐标；
（2）函数是常数）的图象上存在“实验点”吗？若存在，请求出“实验点”的坐标；
（3）若抛物线上有且只有一个“实验点” ，该抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．当时，求的度数．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据题意一个点的横坐标与纵坐标相等，联立和直线解析式即可求解；
（2）假设函数是常数）的图象上存在“实验点” ，根据（1）的方法求解即可；
（3）根据新定义，联立抛物线和，令判别式等于0，求得的坐标，过点作轴于点，进而求得，的长度相等，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，联立方程组可得，
解得：，
函数图象上的“实验点”坐标为，；
（2）假设函是常数）的图象上存在“实验点” ，
则有①，
整理，得，
当，即时，解得；
当时，即时，方程①无解；
综上所述，当时，“实验点”的坐标为，；当时，不存在“实验点”；
（3），理由如下：
抛物线上有且只有一个“实验点” ，
，
整理，可得，
当△时，
解得：，
，
解得：，，
，点在点的左侧，
，，
是“实验点”，
，
解得：，
点坐标为，，
如图，过点作轴于点，
，，
是等腰直角三角形，
即．
【点评】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，理解新定义与掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
18．（2021秋•西城区校级期中）定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．
（1）①点的“坐标差”为 2 ；
②抛物线的“特征值”为 ；
（2）某二次函数的“特征值”为1，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“坐标差”相等．
①直接写出 ；（用含的式子表示）
②求的值．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；二次函数的性质
【分析】（1）①根据可得坐标差；
②计算，并配方成顶点式可得结论；
（2）①根据点与点的“坐标差”相等，推出，可得的值；
②将点坐标代入抛物线解析式可得，根据二次函数的“特征值”为1，可求出的值即可．
【解答】解：（1）①，
故答案为：2；
②，
，
的最大值是4，
抛物线的“特征值”为4；
故答案为：4；
（2）①由题知，
点与点的“坐标差”相等，
，
，
故答案为：；
②由①知点的坐标为，
将点坐标代入抛物线解析式，
得，
，
二次函数的“特征值”为1，
的最大值为1，
，
，
解得：，．
【点评】本题主要考查二次函数的新定义问题，正确理解坐标差和特征值的定义是解题的关键．
19．（2021•渝北区校级开学）如图①，定义：直线与、轴分别相交于、两点，将绕着点逆时针旋转得到，过点、、的抛物线叫做直线的“纠缠抛物线”，反之，直线叫做的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．
（1）若，则纠缠抛物线的函数解析式是 ．
（2）判断并说明与是否“互为纠缠线”．
（3）如图②，若纠缠直线，纠缠抛物线的对称轴与相交于点，点在上，点在的对称轴上，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，求点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据纠缠线的定义，若，则点，，，坐标分别为，，，，则可以设抛物线为，代入点坐标即可求解；
（2）由题意可得点，，，坐标分别为，，，，则抛物线的函数解析式为，代入点坐标即可求解；
（3）根据题意得到点，，，坐标分别为，，，，同理可得抛物线的函数解析式，以点，，，为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，由题意得：，即：，即可求解．
【解答】解：（1）若，
当时，；当时，，
点、、、的坐标分别为：、、、，
设纠缠抛物线的函数解析式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
纠缠抛物线的函数解析式为：，
故答案为：；
（2）同（1）得：点、、、的坐标分别为：、、、，
设纠缠抛物线的函数解析式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
纠缠抛物线的函数解析式为：，
与是“互为纠缠线”；
（3）同（1）得：点、、、的坐标分别为：、、、，
同理可得：纠缠抛物线的函数解析式为：，
则抛物线的对称轴为：，
设点，点，
将点、的坐标代入一次函数表达式并求得：
直线的表达式为：，
点的横坐标为，
点的纵坐标为，
点、横坐标差为1，纵坐标差为，
以点、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，
由题意得：，即：，
解得：或，
当时，点，则点；
同理当时，点；
综上，点坐标为：或．
【点评】本题考查的是新定义、二次函数的应用、一次函数的应用、平行四边形的性质、坐标与图形性质等知识，本题综合性强，熟练掌握新定义和平行四边形的性质，求出点、、、的坐标是解题的关键，属于中考常考题型．
20．（2021秋•诸暨市期中）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
若，则称点为点的“可控变点“
例如：点的“可控变点”为点，点的”可控变点”为点．
（1）点的“可控变点”坐标为 ；
（2）若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标是7，求“可控变点” 的横坐标：
（3）若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标的取值范围是，求
的值．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案
（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案
（3）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案
【解答】解（1）
即点的“可控变点”坐标为
（2）由题意得的图象上的点的“可控变点”必在函数
的图象上，
“可控变点” 的纵坐标的是7
当时，解得，
当时，解得
故答案为：3或
（3）由题意得，
，
观察图象可知，实数．
【点评】本题是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案
21．（2021秋•龙泉市期中）同学们，我们所认识的抛物线还可以这样定义：把平面内到一个定点和定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．其中，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．例如函数的焦点为，准线方程为．
（1）若点在抛物线上，请验证点到焦点和准线的距离相等．
（2）已知函数，直接写出该函数的焦点坐标和准线方程．
（3）在（2）的条件下，过焦点的任意直线交抛物线于点，，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，判断的形状并说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由定义可求，准线，即可证明；
（2）由，可求，，准线方程；
（3）根据抛物线的定义可知，，，求出，，再由，，即可判断是直角三角形．
【解答】解：点在抛物线上，
，
，
，
，
，
点到准线的距离是4，
点到焦点和准线的距离相等；
（2），
抛物线向右平移了个单位，向上平移个单位，
，，准线方程；
（3）根据抛物线的定义可知，，，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，理解抛物线的定义，会求抛物线的焦点与准线，并能灵活应用定义是解题的关键．
22．（2021秋•金安区期中）【阅读理解】已知关于，的二次函数，它的顶点坐标为，故不论取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．
【问题解决】
（1）若二次函数和是同源二次函数，求它们的根函数；
（2）已知关于，的二次函数，完成下列问题：
①求满足二次函数的所有二次函数的根函数；
②若二次函数与直线交于点，求点到轴的最小距离，并求出此时的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）利用配方法分别求出两条抛物线的顶点坐标，利用根函数的定义，求出过两个顶点的直线的解析式即可得出结论；
（2）①利用配方法求出二次函数的顶点坐标，利用根函数的定义，写出顶点满足的一次函数的解析式即可；
②由题意得出点的坐标，利用配方法求得点纵坐标的最小值即可求得结论．
【解答】解：（1），
该抛物线的顶点为；
，
该抛物线的顶点坐标为．
设经过点和点的直线的解析式为，
，
解得：．
．
它们的根函数为直线．
（2）①，
该抛物线的顶点坐标为，
设顶点在直线上，
．
解得：，
顶点在直线上，
满足二次函数的所有二次函数的根函数为．
②二次函数与直线交于点，
．
．
，
点的纵坐标当时，由最小值为6．
点到轴的最小距离为6，此时．
【点评】本题是阅读型题目，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，配方法求函数的极值，一次函数图象的性质，正确理解并熟练应用题干中的新定义是解题的关键． 2 ，