专题01 翻折问题-【中考冲刺】最新中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（江苏专用）

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1．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：
（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．
2．（2019秋·江苏盐城·九年级校考期中）在初二的数学学习中，我们已经了解了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．张老师在课堂上又提出了这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？
（1）经过小组合作交流后，小明代表小组发言，他们发现了AB＝2BC，证明方法如下：证明：如图2，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，
∴点B、C、D三点共线．
又∵∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，（请在下面补全小明的证明过程）
（2）受到小明“翻折”方法的启发，另一组代表小刚发言：如图3，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．
3．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：
（1）与AE相等的线段是 ．
（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：
①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；
②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．
4．（2022·江苏南京·统考一模）阅读下面的问题及解决途径．
结合阅读内容，完成下面的问题．
(1)填写下面的表格．
(2)将函数y＝－2x2＋3x＋1的图像沿y轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为 ．
(3)将函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．
5．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在数学活动《折纸与证明》中，有这样的一段活动材料：
①如图①，把正方形ABCD对折后再展开，折痕为EF；
②如图②，将点A翻折到EF上点处，且使折痕过点B；
③如图③，沿折叠，得（如图④）．
回答下列问题：
(1)判断：的形状为______________；并说明你的理由；
(2)若正方形纸片的边长为2，则线段的平方的值为______________．
6．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）【问题背景】
小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系．
【初步探索】
小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）
（1）写出图2中全等的三角形____________________；
（2）直接写出和之间的数量关系__________________；
【类比运用】
（3）如图3，在中，，平分，求的周长．
小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4）；
请帮小明写出解答过程：
【实践拓展】
（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．
7．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有一个，按要求回答下列问题：
(1)的面积为 ；
(2)画出将向右平移6格，再向上平移3格后的；
(3)画出绕点B顺时针旋转后的图形；
(4)画出沿直线翻折后的图形．
8．（2020·江苏无锡·统考一模）阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B'处．于是，由∠ACB＞∠B'，∠ABC=∠B'，可得∠ACB＞∠ABC．
（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．
（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：
如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC的延长线于点N．求证：AM＋AN＞2BD．
9．（2022秋·江苏·九年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？
把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：
（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．
（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．
（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．
10．（2021春·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）问题背景
如图1，矩形中，，，、分别是、的中点，折叠矩形，使点落在上的点处，折痕为．
（1）用直尺和圆规在图1中的边上作出点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，判断的形状；
（3）如图2，若点是直线上的一个动点．连接，在左侧作等边三角形；连接，则的最小值是______；
（4）如图3，若点是射线上的一个动点将沿翻折，得，所在直线交直线于点，当是直角三角形时，的长为多少？请直接写出答案．
11．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）
问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．
(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；
(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长 ．
12．（2022·江苏盐城·校联考一模）（1）背景问题：如图①，已知矩形ABCD，E是边CD上一点，将△BCE沿BE翻折，使得C落在AD上的点F处，求证：△ABF∽△DFE．
（1）尝试应用：如图②，已知四边形ABCD中，∠A=∠D=90°，点E在AD上，∠BEC=90°，2∠BCE+∠ECD=180°，过点E作EF⊥BC垂足为F，若EF=2，BC=5，求AE的长．
（2）拓展创新：如图③，已知矩形ABCD，AB=9，BC=12，E是边CD上一动点，将△BCE沿BE翻折至△BPE，连接AP在上取点T，使得PT=2AT，连接DT，求出DT 长度的最小值．
13．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0