2024成都高三下学期三诊考试数学（理）含答案

这是一份2024成都高三下学期三诊考试数学（理）含答案，共11页。试卷主要包含了 答非选择题时, 必须使用 0， 考试结束后, 只将答题卡交回，1 ” C等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分。第 I 卷 (选择题) 1 至 2 页, 第 II 卷 (非选择题) 3 至 4 页, 共 4 页, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前, 务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上,
4. 所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后, 只将答题卡交回。
第 I 卷 (选择题, 共 60 分)
一、选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={x∣x=2k+1,k∈Z},B={x∣x=4k+1,k∈Z} ,则
(A) A∩B=⌀ (B) A∪B=Z (C) A⊆B (D) B⊆A
2. 若复数 z 满足 z+1i=−1−i ,则 z 在复平面内对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
3. 已知 a,b 是两条不同的直线, α 是平面,若 a//α,b⊂α ,则 a,b 不可能
(A)平行 (B) 垂直 (C) 相交 (D) 异面
4. “数九”从每年“冬至”当天开始计算, 每九天为一个单位,冬至后的第 81 天, “数九”结束, 天气就变得温暖起来. 如图, 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: ​∘C ),下列说法正确的是
(A) “四九”以后成都市“平均气温”一直上升
(B) “四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C
(C) “一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差
(D) “一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差
5. 设 m∈R ,双曲线 C 的方程为 x2m2−y2m+12=1 ,则“ C 的离心率为 5 ” 是“ m=1n 的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
6. 如图,由观测数据 xi,yii=1,2,3,4,5,6 的散点图可知, y 与 x 的关系可以用模型 y=blnx+a 拟合,设 z=lnx ,利用最小二乘法求得 y 关于 z 的回归方程 y=bz+1 . 已知 x1x2x3x4x5x6=e12 ,i=14yi=18 ,则 b=
(A) 17e12 (B) 12e12 (C) 1 (D) 1712
7. 已知 sin2α1−cs2α=2 ,则 tanα=
(A) 12 (B) −12 (C) 2 (D) -2
8. 已知直线 l1x−ay+1=0 与 ⊙C1x−a2+y−12=1 相交于 A,B 两点,若 △ABC 是直角三角形,则实数 a 的值为
(A) 1 或 -1 (B) 3 或 −3 (C) −17 或 -1 (D) −17 或 −3
9. 将函数 fx=sinωx+φω>0 的图象向左平移 π6 个单位后,与函数 gx= csωx+φ 的图象重合,则 ω 的最小值为
(A) 9 (B) 6 (C) 3 (D) 2
10. 已知函数 fx=ex−ex−x−csx ,若实数 x1,x2,x3 成等差数列,且 fx1+fx2 +fx3=0 ,则 x1+x2+x3=
(A) 0 (B) π2 (C) 3π2 (D) 3π
11. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,M,N 分别是边 AB,AD 上的点 (均不与端点重合),记 △AMN,△CMN 的面积分别为 S1,S2 . 若 S1=CM⋅AB⋅CN⋅AD ,则 S2 的取值范围是
(A) 14,34 (B) 2−1,34 (C) 14,12 (D) 2−1,12
12. 在棱长为 5 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, Q 是 DD1 中点,点 P 在正方体的内切球的球面上运动,且 CP⊥AQ ,则点 P 的轨迹长度为
(A) 5π (B) 25π (C) 5π4 (D) 5π
第 II 卷 (非选择题, 共 90 分)
二、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题卡上.
13. 已知函数 fx=3x,x≥1,3−x,xb>0 的离心率为 32 ,过点 Pa,b 的直线 l 与椭圆 C 交 于 A,B 两点,当 l 过坐标原点 O 时, AB=10 .
(I) 求椭圆 C 的方程;
(II) 线段 OP 上是否存在定点 Q ,使得直线 QA 与直线 QB 的斜率之积为定值. 若存在, 求出点 Q 的坐标; 若不存在,请说明理由.
请考生在第 22,23 题中任选择一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4: 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 x=mt2,y=mt ( t 为参数). 以坐标原点为 极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcsθ+π4−22=0 .
(I) 求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;
(II) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且 M6,2 为线段 AB 的三等分点,求实数 m 的值.
23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5 : 不等式选讲
已知函数 fx=x−2m−mm0 ,
f'x=1+lnx−1x,
……1 分
注意到函数 y=lnx 与 y=−1x 均在 0,+∞ 单调递增,
∴f'x 在 0,+∞ 上单调递增. ……3 分
由 f'1=0 ,得
x∈0,1,f'x0,t→+∞ 时, gt→+∞ ,且 g1=0 ,
故当 t0=1 时,函数 gt 有且仅有一个零点,不合题意;
当 t0≠1 时, gtmin=gt00 ,
x1+x2=8k2k−14k2+1,x1x2=16k2−16k4k2+1.
⋯⋯6 分
∴kQA=y1−mx1−2m,kQB=y2−mx2−2m.
∴kQA⋅kQB=y1−mx1−2m⋅y2−mx2−2m=kx1+1−2k−mx1−2m⋅kx2+1−2k−mx2−2m
=k2x1x2+1−m−2kkx1+x2+1−m−2k2x1x2−2mx1+x2+4m2
⋯⋯8 分
=k2⋅16k2−16k4k2+1+1−m−2kk⋅8k2k−14k2+1+1−m−2k216k2−16k4k2+1−2m⋅8k2k−14k2+1+4m2
=k216k2−16k+1−m−2kk16k2−8k+1−m−2k24k2+116k2−16k−16mk2k−1+4m24k2+1
=4m2k2−41−mk+1−m2161−m2k2−161−mk+4m2.
⋯⋯10 分
∴ 当 m2=1−m2 ,即 m=12 时, kQA⋅kQB=14 恒成立. ⋯⋯11 分
∴ 存在定点 Q1,12 ,使得直线 QA 与直线 QB 的斜率之积为定值 14,… ……12 分
22. 解: (I) 由曲线 C 的参数方程 x=mt2,y=mt ( t 为参数),
消去参数 t 可得曲线 C 的普通方程为 y2=mx . ……2分
由直线 l 的极坐标方程得: 22ρcsθ−ρsinθ−22=0 . ……3 分
∵x=ρcsθ,y=ρsinθ ,
∴ 直线 l 的直角坐标方程为 x−y−4=0 . ……5 分
(II) 直线 l 的参数方程为 x=6+22t,y=2+22t ( t 为参数). ……6 分
与曲线 C:y2=mx 联立得: t2+42−2mt+8−12m=0,Δ>0 ,
设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2 ,则 t1+t2=2m−42,t1t2=8−12m .
……7分
∵M 为线段 AB 的三等分点, ∴t1=−2t2 . ……8 分
代人 t1+t2=2m−42 可得 t1=22m−4,t2=−2m−4 .
代人 t1t2=8−12m ,可得 −4m−42=8−12m .
即 m2−11m+18=0 ,解得 m=2 或 m=9 均满足 Δ>0 .
故 m 的值为 2 或 9 . ……10 分
23. 解: (I) 当 x≥2m 时, x−3m≥2x ,解得 2m≤x≤−3m ; ⋯⋯2 分
当 x