【二轮复习】2024年高考数学全真模拟卷01（新高考专用）.zip

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注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知集合A=0,1,2,B={x∈Z|x20的左顶点与右焦点分别为A,F，动点P在Γ上（不与Γ左、右顶点重合），Q为平面内一点，若PF=3QF，且∠PAF=∠QOF，则Γ的离心率为（ ）
A．12B．13C．14D．25
【解题思路】利用椭圆的方程与性质，以及数形结合思想即可求解．
【解答过程】如图所示：
因为∠PAF=∠QOF，所以OQ//AP，
又PF=3QF，所以AOOF=PQQF=2，
所以AO=2OF，即a=2c，所以Γ的离心率e=ca=12．
故选：A．
7．（5分）（2023·广东·统考二模）如图，直线y=1与函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ1，满足题意，
代入f(x)=233sin23x+π3，可得f(0)=233×32=1，不符合题意，
故A正确C错误.
故选：A.
8．（5分）（2023·安徽·校联考模拟预测）已知fx是定义在R上的偶函数，函数gx满足gx+g−x=0，且fx，gx在−∞,0单调递减，则（ ）
A．fgx在0,+∞单调递减B．ggx在−∞,0单调递减
C．gfx在0,+∞单调递淢D．ffx在−∞,0单调递减
【解题思路】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.
【解答过程】由题意知fx在0,+∞单调递增，gx为奇函数，在R上单调递减.
设0≤x10t1t2=−ba>0，c2+4ab>0ac0，且满足a+2b=3，则a2+42a+2b2+b+22b+1的最小值为 72 ．
【解题思路】根据基本不等式即可求解.
【解答过程】由于a>0，b>0，所以
a2+42a+2b2+b+22b+1=a2+2a+(2b+1)b+22b+1=a2+2a+12(2b+1)+22b+1−12
≥2a2×2a+212(2b+1)×22b+1−12=4−12=72，
当且仅当a2=2a122b+1=22b+1，即a=2，b=12时等号成立.
故答案为：72.
15．（5分）（2023·四川甘孜·统考一模）设f′x为fx的导函数，若fx=xex−f′1x，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为 ex−y−e=0 .
【解题思路】对原函数求导并求得f′1=e，再由导数几何意义写出切线方程.
【解答过程】由题设f′x=(x+1)ex−f′1，则f′1=2e−f′1⇒f′1=e，
所以fx=x(ex−e)，则f1=0，
综上，点1,f1处的切线方程为y=e(x−1)，即ex−y−e=0.
故答案为：ex−y−e=0.
16．（5分）（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）在三棱锥S−ABC中，∠BAC=3∠SCA=90°，SA⊥AB，SB=13，AB=3，则三棱锥S−ABC外接球的体积为 1256π ．
【解题思路】找到外接球的球心，计算出外接球的半径，从而求得外接球的体积.
【解答过程】依题意AB⊥SA,AB⊥AC,SA∩AC=A,SA,AC⊂平面SAC，所以AB⊥平面SAC，
由于AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SAC.
设D,E分别是BC,AC的中点，则DE//AB，所以DE⊥平面SAC.
设F是三角形SAC的外心，SA=13−9=2，
由正弦定理得FA=2sin30°×12=2，
过F作FO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，FO∩DO=O，连接EF，
EF⊂平面SAC，则DE⊥EF，所以四边形ODEF是矩形，
则O是三棱锥S−ABC外接球的球心.
由于AF⊂平面SAC，所以OF⊥AF，
在Rt△AFO中，AF=2,OF=OE=32，
所以OA=4+94=52，也即三棱锥S−ABC外接球的半径为52，
所以外接球的体积为4π3×523=125π6.
故答案为：1256π.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2023·上海奉贤·统考一模）在△ABC中，设角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知3c=3bcsA+asinB.
(1)求角B的大小；
(2)当a=22，b=23时，求边长c和△ABC的面积S.
【解题思路】（1）借助正弦定理将边化为角，结合C=π−A+B及两角和的正弦公式计算化简即可得；
（2）根据正弦定理即可计算出A，结合B可求出C，再试用正弦定理即可得到c，再使用面积公式即可得到面积.
【解答过程】（1）由正弦定理得3sinC=3sinBcsA+sinAsinB，
由于C=π−A+B，则3sinA+B=3sinBcsA+sinAsinB，
展开得3sinAcsB+3sinBcsA=3sinBcsA+sinAsinB，
化简得3csB=sinB，
则tanB=3，
所以B=π3；
（2）由正弦定理，得23sinπ3=22sinA=csinC，即有sinA=22，
因为a0，所以an−an−1=2，
所以an是首项为1，公差为2的等差数列，
所以an=1+2(n−1)=2n−1，n∈N∗.
（2）由（1）可得，an=2n−1，
所以bn=an+2an⋅an+1=2n−1+2(2n−1)(2n+1)=2n−1+12n−1−12n+1，
所以Tn=n(1+2n−1)2+11−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1
=n2+1−12n+1 =n2+2n2n+1.
19．（12分）（2023·全国·模拟预测）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
(1)计算变量x，y的相关系数r（结果精确到0.01）．
(2)求变量x，y之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．
(3)该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关．
参考数据：y=590，i=15xi−x2=10，i=15yi−y2=176400，
i=15xi−xyi−y=1320，441000≈664．
参考公式：相关系数r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2，线性回归方程的斜率b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，截距a=y−bx．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
【解题思路】（1）直接代入求相关系数即可；
（2）根据线性回归方程求解回归方程即可；
（3）零假设之后计算K2，再比较大小判断零假设是否成立即可.
【解答过程】（1）r=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2i=15yi−y2=132010×176400=13202×441000≈0.99
（2）因为x=15×1+2+3+4+5=3，y=590，i=15xi−x2=10，i=15xi−xyi−y=1320，
所以b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2=132010=132，a=590−132×3=194，
所以变量x，y之间的线性回归方程为y=132x+194，
当x=7时，y=132×7+194=1118（万元）．
所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元．
（3）补全完整的列联表如下．
零假设H0：参加直播带货与性别无关，
根据以上数据，经计算得到K2=55×25×10−5×15230×25×40×15≈3.743>2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1的独立性检验我们推断H0不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错误的概率不超过10%.
20．（12分）（2023·上海奉贤·统考一模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=1．
(1)若AB=1，PC=3，求证：四面体P−ABC是鳖臑，并求该四面体的体积；
(2)若四面体P−ABC是鳖臑，当AC=aa>1时，求二面角A−BC−P的平面角的大小．
【解题思路】（1）借助线面垂直证明面面垂直，结合题目所给长度，运用勾股定理证明四面全为直角三角形即可，体积借助体积公式计算即可得；
（2）根据题意，会出现两种情况，即∠ABC=π2或∠ACB=π2，分类讨论计算即可得.
【解答过程】（1）∵PA⊥平面ABC，AB、AC⊂平面ABC，
∴PA⊥AB、PA⊥AC，
∴△PAC、△PAB为直角三角形，
∴在直角△PAC中，AC=PC2−PA2=2，
在直角△PAB中，PB=PA2+PB2=2，
∴在△ABC中，有AC2=AB2+BC2，
∴AB⊥BC，故△ABC为直角三角形，
在△PBC中，有PC2=PB2+BC2，
故PB⊥BC，故△PBC为直角三角形，
故四面体P−ABC四个面都是直角三角形，即四面体P−ABC是鳖臑，
VP−ABC=13S△ABC⋅PA=13×12×1×1×1=16；
（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，
由AC=a>1=AB，
故∠BAC不可能是直角，
若∠ABC=π2，则有AB⊥BC，
又PA⊥BC，PA、AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，
故BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
故BC⊥PB，
∴∠ABP是二面角A−BC−P的平面角，
∵AC=a，BC=1，∴AB=a2−1，∴tan∠PBA=1a2−1，
所以二面角A−BC−P的平面角的大小为arctana2−1a2−1．
若∠ACB=π2，
同理可得∠ACP是二面角A−BC−P的平面角，
所以tan∠ACP=APAC=1a，
所以二面角的平面角的大小为arctan1a，
综上所述，二面角A−BC−P的平面角的大小为arctana2−1a2−1或arctan1a.
21．（12分）（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y2=2pxp>0的焦点为F，E的准线交x轴于点K，过K的直线l与拋物线E相切于点A，且交y轴正半轴于点P.已知△AKF的面积为2.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足MT=TH.证明：直线HN过定点.
【解题思路】（1）根据题意假设得直线l：x=my−p2，联立抛物线方程求得，Ap2,p，再利用三角形面积即可求得p=2，由此得解；
（2）根据题意设得MN：y=kx+1，联立抛物线方程求得y1+y2=y1y2=4k，再依次求得T，H的坐标，从而求得直线HN的方程，化简可得HN为y=y1+y2−4x1x2−x1，由此得证.
【解答过程】（1）由题可知，Fp2,0，准线x=−p2，K−p2,0，
因为直线l的斜率存在且不为0，所以设l：x=my−p2，
联立y2=2pxx=my−p2，消去x，得y2−2pmy+p2=0，
因为l与E相切，所以Δ=4p2m2−1=0，所以m=1或m=−1，
因为交y轴正半轴于点P，所以m=1,
因此y2−2py+p2=0，解得y=p，所以Ap2,p，
故AF⊥KF，所以S△AKF=12p2=2，所以p=2（负值舍去），
所以抛物线E的方程为y2=4x.
（2）由（1）知A1,2，又l：y=x+1，所以P0,1，
如图所示：
因为过点P的直线交E于M，N两点，所以MN斜率存在且不为零，
所以设MN：y=kx+1k≠0，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立y2=4xy=kx+1，消去x，得ky2−4y+4=0k≠0，
则Δ=161−k>0，所以k0，证fx2+12x2−12>0,alnx2+1+12x22−x2+12+12x2−12>0，alnx2+1+12x22−12x2>0,x22=1−a,a=1−x22.，(1+x2)ln(x2+1)−12x2>0,
令g(x)=(1+x)ln(x+1)−12x,x∈(0,1), ∵g′(x)=ln(x+1)+12>0,
∴g(x)在0,1上递增，∴g(x)>g(0)=0,命题得证.月份x
1
2
3
4
5
带货金额y/万元
350
440
580
700
880
参加过直播带货
未参加过直播带货
总计
女性
25
30
男性
10
总计
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
参加过直播带货
未参加过直播带货
总计
女性
25
5
30
男性
15
10
25
总计
40
15
55