【二轮复习】高考数学 题型12 5类平面向量（解题技巧）.zip

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奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）
技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧
技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧
技法03 极化恒等式的应用及解题技巧
技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧
技法05 范围与最值的应用及解题技巧
技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧
“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握
知识迁移
形如条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
例1-1．（全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
解析：由图可想到“爪字形图得：，解得：
答案：A
例1-2．（2023江苏模拟）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
解：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得
，且，由可得，
所以，由已知可得：，所以
答案：C
1．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
（全国·高考真题）在中，，．若点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：，故选A．
（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，
故选：A
4．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5．（江苏·高考真题）设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是
【答案】
【详解】依题意，，
∴，∴，，故.
【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.
技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识迁移
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
例2-1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时
故选 .
例2-2．（衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值；
同理，设，由等和线结论，.此为的最大值.
综上可知.
例2-3．已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________
【解析】如图,取中点为,
显然,当与重合时,取最小值1.
将平行移动至与相切处,
为切点时,取最大值.
延长交于,易知.
由等和线及平行截割定理,.
所以的最大值为.
故的取值范围是.
在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，
若，则的最大值为( )

解：如图所示：
过作的垂线，垂足为，则，当三点共线时，高线最长，即
如图，正六边形，是内（包括边界）的动
点，设，则的取值范围是____________
解：连接因为正六边形，由对称性知道
，设与交于点，与交于点，
当在上时，在上射影最小为；
当与重合时，在上射影最大为；
则
设则
则
如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设
则的取值范围是____________
解：设圆与直线相切于点，过作于，作直线，且直线与圆相切与，连，则过圆心，且，由图可知，对圆内任意一点
在直线上的射影长度满足：，
又，
所以
而，所以
若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______
【解析】令,
则,
即,
其中.
由知点在线段上,如下图:
由于在中,,
且点在线段上(含端点,
因此,其中是边上的高.
可得.
可得.
所以,.
再由
可知.
（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，将由点坐标转化后数形结合求解
【详解】以点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则，
，设，则，解得，
故，即，
数形结合可得当时，取最小值2，
当直线与圆相切时，，取得最大值 .
故选：B
技法03 极化恒等式的应用及解题技巧
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。
知识迁移
极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
例3-1．（全国·高考真题）设向量满足，，则
A．1B．2C．3D．5
由极化恒等式可得：，故选A．
例3-2．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
设CD中点为O点，由极化恒等式可得：
故选：B.
1．（江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .
【答案】
极化恒等式
因为是上的两个三等分点,所以
联立解得:
所以
如图,在中,已知,点分別在边上,
且,若为的中点,则的值为________
解：取的中点,连接,则,
在中,,
（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
记AB的中点为M，连接CM，则
由极化恒等式可得：
即
故选：D
技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧
平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本技法我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的lg相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
知识迁移
奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；或
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则，或
例4-1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心内心
C．外心重心垂心D．外心重心内心
因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.

例4-2．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【详解】，
令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
例4-3．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】延长交于点P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨设，其中．
，
，解得．
当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故，则，故C为锐角，
∴，解得，
故选：B．
1．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）若是内一点，，则是的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】D
【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.
【详解】取线段的中点，连接，则，而，

因此，即三点共线，线段是的中线，且是靠近中点的三等分点，
所以是的重心.
故选：D
2．（2023·江苏·高三专题练习）在中，若，则点H是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
【答案】A
【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.
【详解】因为，则，
所以，即点H在边的高线所在直线上，
同理可得：，
所以点H为的三条高线的交点，即点H是的垂心.
故选：A.
3．（2023春·湖南株洲·高三炎陵县第一中学校联考期末）（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
【答案】AB
【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可；
对于B：利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等.
对于C：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.
对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.
【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，
所以，，
同理可得、，
所以，
又因为，
所以.正确；
对于B：记点到的距离分别为，，
因为，
则，
即，
又因为，所以，所以点是的内心，正确；
对于C：因为，
所以，所以，
所以，
所以，
化简得：，
又因为不共线，
所以，所以，
所以，错误；
对于D：因为是的外心，，所以,，
所以，
因为，则，
化简得：，由题意知同时为负，
记，，则，
因为，所以，
所以，
所以，错误.
故答案为：AB.
技法05 范围与最值的应用及解题技巧
平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。本讲内容难度较大，需要综合学习。
例5-1．（浙江·高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1B．2C．D．
【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，
，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．
例5-2．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A．B．C．D．
【详解】试题分析：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
例5-3．（2023·全国·高三专题练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
1．（湖南·高考真题）已知是单位向量，.若向量满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.
2．（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.
考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质
【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到，，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到，利用基本不等式可求得，由此可得的最大值.
【详解】，
即，；
，
即，；
设向量与所成夹角为，
（当且仅当时取等号）；
又，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向量夹角的余弦值表示为关于的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.
4．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，与的夹角为，由题意，计算，，判断出点C的轨迹为以OD为直径的圆，利用向量基底表示，将转化为，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解最小值.
【详解】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，
与的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF.
由，，，得，，
因为，所以，在中，由余弦定理得.
又由，得，即，
所以点C的轨迹为以OD为直径的圆.
因为
，
当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在平面内，定点，满足，且，则 ；平面内的动点满足，，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】（1）利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出，进而根据，平方后计算出，从而求出；然后建立平面直角坐标系，设出，表达出和，利用三角函数有界性求出最大值.
【详解】因为，，
所以，两边平方得：，
即，解得：，
因为，
所以，
因为
所以；
可得到△ABC是等边三角形，且边长为，
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，
，，
因为，所以设，，
由可得：是线段PC的中点，则，
则
，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：，