【二轮复习】高考数学专题02 函数图象及性质(考点精讲）.zip

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01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（四大命题方向+四道高考预测试题，高考必考5-11分）
命题点1 函数图象的判定
命题点2 函数奇偶性（重点）
命题点3 比较大小 （难点）
命题点4 抽象函数性质综合应用（高频考点重难点）
04创新好题·分层训练（ 精选10道最新名校模拟试题+10道综合提升）
常见结论
1.几个常见的函数方程
(1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.
(5)余弦函数,正弦函数，，.
2.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期T=a；
（2），或，或,
或,则的周期T=2a；
(3)，则的周期T=3a；
(4)且，则的周期T=4a；
(5)
,则的周期T=5a；
，则的周期T=6a.
3 函数其他性质
1. 函数有零点
2. 函数无零点 ⇔f(x)max ≤ 0 或 f(x)min ≥ 0
3. 函数周期性： 的周期 T = |b - a|；
4. 函数对称性： 的对称轴 x = ；
5. 抽象函数对数型：若，则f(x) = ；
6. 抽象函数指数型：若 ；
7. 抽象函数正比型：若 ；
8. 抽象函数一次型：；
9. 抽象函数导数型：若，则 或

函数图象及性质中函数奇偶性是高考中必考点，特别是随着新高考结构改革最新高考趋势以及九省联考试卷来看，抽象函数性质的综合应用是高考多选退最后一题高频题型，比较大小也是高考中的一个高频考点，2024年高考试卷中，奇偶性是高考必考点，比较大小问题也是高频考点，抽象函数性质的综合应用在二轮复习中应高度重视，大概率作为多选题压轴题考查。
命题点1 函数图象的判定
典例01 （2022·全国·乙）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数图象的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
典例02（2022·全国·甲）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
命题点2 函数奇偶性（重点）
典例01（2023·全国·Ⅱ）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
典例02（2023·全国·乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
典例03（2021·全国·Ⅰ）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
命题点3 比较大小 （难点）
典例01（2023·全国·甲卷）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
典例02 （2021·全国·Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.故选：C.
典例03（2022·全国·甲卷）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．
命题点4 抽象函数性质综合应用（高频考点重难点）
一、单选题
典例01（2022·全国·乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D
二、多选题
典例02（2023·全国·Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.
典例03 （2022·全国·Ⅰ卷） 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.
[方法三]：因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.
预计2024年新高考中试卷结构中，函数奇偶性以及比较大小，抽象函数的综合性质还是以小题形式出现，函数奇偶性的判定将会在前几题中出现，对于比较大小一般出现在单选题的后两题中出现，抽象函数性质的综合应用将会以多选题的压轴题的形式出现。应在二轮复习中高度重视。
一、单选题
1．已知函数是偶函数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数定义可直接构造方程求得结果.
【详解】，为偶函数，
，则，解得：.故选：B.
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.
【详解】由题意可得：，
，且，则，
因为，则，
故选：B
二、多选题
3．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由为奇函数，可知，可得函数图像关于直线对称，再由，可得，函数图像关于点对称，再代入特值，可判断各选项.
【详解】由为奇函数可得，即，
，即，即，
所以函数的图像关于直线对称，
由是偶函数可得为奇函数，
，
即，
所以函数的图像关于点对称；
将代入，得，
将代入，得，B选项正确；
将代入得，得，A选项错误；
，C选项正确；
将代入，得，故，，D选项错误.
故选：BC.
4．已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．
C．D．为偶函数
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性判断AD；利用赋值法结合导数运算、函数性质判断BC．
【详解】因为为奇函数，则，
可得，所以为奇函数，故A正确；
又因为，可得，
则，可得，
所以是以为周期的周期函数，
可得，但没有足够条件推出，故B错误；
因为，则，
令，则，故C正确；
因为，则，可得，
又因为，则，
所以为偶函数，故D正确，
故选：ACD．
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A·新题速递
一、单选题
1．（2024上·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质求出函数的周期，再结合赋值法求出函数值.
【详解】函数的定义域为，
由为奇函数，得，即，
由为偶函数，得，即，
因此，即，则，
即函数的周期是8，由，得，
所以.
故选：D
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及三角函数的奇偶性结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由题意可知：的定义域为，
若，可得，
若为偶数，则为奇函数；
若为奇数，则为奇函数；
即充分性成立；
若为奇函数，则，即必要性成立；
综上所述：“”是“为奇函数”的充要条件.
故选：C.
3．（2024上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）已知函数，则是（ ）
A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.
【详解】若函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，
因为，所以函数是奇函数，
函数，
因为函数在上递增，函数在定义域上递增，
所以函数在上是增函数.
故选：A
4．（2024下·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考开学考试）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指对数函数的单调性确定的范围即得.
【详解】因，又因，则，
故，，故得：.
故选：D.
5．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.
【详解】由换底公式得，，，
所以.
故选：D.
6．（2024下·四川·高三四川省西充中学校联考期末）设，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算，对数函数的性质比较即得.
【详解】显然，又，则，即，，
所以.
故选：B
二、多选题
7．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在实数集单调递减
C．D．或
【答案】AC
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于的方程组，即可得的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据的解析式，求出的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得，即可判断选项C与选项D.
【详解】A，因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以，
因为①，所以，即②，
由得：，，所以选项A正确；
B，因为函数在上均为增函数，
故在上单调递增，所以选项错误；
C、D，因为，
所以，
又，当，即时等号成立，，
设，对称轴，
当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得或（舍）；
当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意.
综上，所以选项C正确，错误.
故选：.
8．（2024下·浙江·高三瓯海中学校联考开学考试）已知函数定义域为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．为偶函数
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据题中等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义逐一判断即可.
【详解】由得，
所以，故是奇函数，所以正确；
由得，
所以，故是偶函数，所以B正确；
由题意得
，令得，
由是奇函数得，
且，解得，
当时，，所以错误.
由题意得
，令得
当时，，所以正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据已知等式进行恰当的赋值.
9．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）若函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点对称D．
【答案】BCD
【分析】对于A，令,可得；对于B，令，可得，即可判断；对于C，令得，再令即可判断；对于D，根据条件可得,继而，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.
【详解】对于A，令，则，
因为，所以，则，
故A错误；
对于B，令，则，
则，故B正确；
对于C，令得，，
所以，
令得，，
则的图象关于点对称，故C正确；
对于D，由得，
又，所以，
则，，
所以，则函数的周期为，
又，，
则，
，
则，
所以，
故D正确，故选：BCD.
10．（2024下·江西·高三校联考开学考试）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为上的减函数
【答案】ABC
【分析】令，解得即可判断A；令求得，令求得，令求得即可判断B；令可得，即可判断C；由AB即可判断D.
【详解】A：令，代入，
得，解得，故A正确；
B：令，代入，
得，又，所以；
令，代入，
得，
令，代入，
得，所以，故B正确；
C：令，代入，
得，则，
所以函数为奇函数，故C正确；
D：由选项AB知，，，则，
所以函数不为R上的减函数，故D错误.
故选：ABC
B·综合提升
一、单选题
1．（2024上·北京石景山·高三统考期末）设函数，则是（ ）
A．偶函数，且在区间单调递增
B．奇函数，且在区间单调递减
C．偶函数，且在区间单调递增
D．奇函数，且在区间单调递减
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案.
【详解】的定义域为，
，
所以是奇函数，AC选项错误.
当时，
，
在上单调递增，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误.
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，D选项正确.
故选：D
2．（2024下·全国·高三专题练习）已知则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的性质比较大小.
【详解】由于是上的减函数，
则，所以，
由于是上的增函数，
则，所以，
由于是上的增函数，
则，所以，
所以.
故选：A.
3．（2024下·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意实数，都满足且，，当时，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题得出函数的周期性和奇偶性，即可求解.
【详解】由，有，可得，所以的周期为2．
令，代入，可得，所以，
故函数为奇函数，
所以
因为，所以，所以．
故选：C
4．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知实数满足，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据的单调性判断大小，再比较大小得解.
【详解】因为， 所以，
又为减函数， 所以， 即，
又，故，
所以，
故选：D.
5．（2024·广东深圳·统考一模）已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可求解.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故不是偶函数，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，
又定义域为全体实数，它关于原点对称，且，
即函数是定义域为的偶函数，
当时，单调递增，满足题意.
故选：D.
6．（2024下·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，求导确定其单调性，根据单调性确定的大小，通过对数函数的性质确定的大小，最后根据的单调性得答案.
【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减，
所以在上单调递增；
，即；
令，
当时，，则单调递增，
所以，
即，
所以.
而在上单调递增，
故有，即.
故选：A.
二、多选题
7．（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意，结合函数的性质，所以，可判定A错误；再由函数是以4为周期的周期函数，得到，可判定B正确；结合，结合周期性，可判定C错误；求得，进而可判定D正确.
【详解】由题意知，
所以，所以，所以A错误；
又由， 因为关于点中心对称，
所以，所以，
又因为，所以，
所以函数是以4为周期的周期函数，所以，所以B正确；
由，所以C错误；
因为，
所以，所以，所以D正确.
故选：BD.
8．（2024下·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）已知函数 的定义域为 且，则（ ）
A．B．有最小值C．D．是奇函数
【答案】ACD
【分析】利用赋值法，可判断A；由，可判断BC；利用赋值，结合奇函数的条件，即可判断D.
【详解】A.令，得，即，故A正确；
B.令，则，
因为，自变量每增加1个单位，函数值减小1个单位，所以函数无最小值，故B错误；
C.因为，则，故C正确；
D.令，，即，
所以，则函数是奇函数，故D正确.
故选：ACD
9．（2024下·湖北武汉·高三武钢三中校考开学考试）已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由是偶函数得出是奇函数，由已知两条件推出是以4为周期的函数，然后在已知式中对自变量赋值求解．
【详解】由是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，故．
对于A，由，
代入，得，
又是奇函数，
则，
所以是周期函数，且周期为4，，故A正确；
对选项B，令得，，令得，，
故，故B正确；
对于C：令得，
即，
若，则，
但不一定为0，故C错误；
对于D：令，得，
故，，所以，
令，得，则
则，由是以4为周期得，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数的奇偶性及周期性，进而得到函数的性质，然后利用赋值法求解.
10．（2024下·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知函数满足，，则（ ）
A．B．
C．的定义域为RD．的周期为4
【答案】ABD
【分析】赋值，令，即可判断A；令，可判断C；令，结合函数奇偶性定义可判断B；令，推出，即可推出函数的周期，判断D.
【详解】令，则，即，A正确，
令，则无意义，即的定义域不为R，C错误；
由可知，
令，则，即，
故，B正确；
，
故，即的周期为4，D正确，
故选：ABD考点
考向
考题
函数图象及性质
① 函数图象的判定
② 函数奇偶性（重点）
③比较大小（难点）
④抽象函数性质综合应用
（高频考点重难点）
2022 全国乙卷T8
2022 全国甲卷T5
2023 ⅡT4 乙卷T5 甲卷T14
2022全国乙卷T16
2021 乙卷T9 ⅠT13
2023 甲卷T11
2022 甲卷 T12
2021 ⅡT7
2023 ⅠT11
2022乙T12 ⅠT12 ⅡT8
2021甲T12 ⅡT8 T14