【二轮复习】高考数学考点5-1 立体几何解答题中的斜体建坐标系问题(考点精练）.zip

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考点一：求直线和平面所成的角
如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（易错点）
考点二：求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
③已知和分别是二面角的半平面的法向量，记二面角的大小为，若半平面，半平面（），则当与同号时，二面角的大小等于的夹角的大小．当与异号时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
【精选例题】
【例1】（2024新高考新试卷结构九省联考试题）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【小问1详解】连接，因为底面是边长为2的正方形，所以，又因为，，所以，所以，点为线段中点，所以，在中，，，所以，则，
又，平面，平面，所以平面.
【小问2详解】由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，则，
则，，
设面的法向量为，面的法向量为，则，取，则
取，则.设二面角大小为，
则，所以二面角的正弦值为.
【例2】如图，在三棱锥中，平面平面，，，．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）证明：取中点，连结，因为，所以；因为，所以；
因为平面，所以平面；因为平面，所以．
（2）由（Ⅰ）知，平面，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，，，如图建立空间直角坐标系．由已知，易得，，在中，，所以得，，，所以设平面的法向量为，则
即令，则，，于是．又因为平面的法向量为，所以．由题知二面角为锐角，所以其余弦值为 ．
【例3】如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，.
(1)证明：平面平面；
(2)是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；；(2)存在，．
【详解】（1）因为，是的中点，所以，在直角中，，，所以，
在中，，，所以，得，又平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面得，
又，所以平面，由平面得，平面平面．
（2）存在点满足条件，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，，，，设平面的法向量为，
则，令得，所以平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由已知得，解得，即，所以存在点使平面与平面的夹角为，此时．
【例4】已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有两点.如图，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连接.
(1)当平面时，求的长；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）平面平面，平面平面，则有，得，又，则.
（2）方法一：如图，取中点，连接.平面平面，平面平面，平面，，所以平面，平面，则，，由，可得，，即是二面角的平面角，又，在中，，则，，即二面角的余弦值是.
方法二：.如图，过点作平面的垂线，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
.易知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，则，.即二面角的余弦值是.
【例5】如图，在三棱柱中，平面平面.
(1)若分别为的中点，证明：平面；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）如图，取的中点，连接交于点，连接，因为是的中点，是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.
（2）因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，则，在中，不妨设，则，连接，因为，所以.又平面平面，所以平面平面，且平面平面平面，故平面.设的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图，则，
则，，设平面的法向量为，则，即，
不妨取，则有，易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.
【例6】如图，四棱锥P-ABCD中，，，，平面平面PAC．
(1)证明：；
(2)若，是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）取中点，连接，则，又，，所以四边形为正方形，则，，又在中，，则，所以，，即．又平面平面PAC，平面平面，平面ABCD，所以平面，又面，所以．
（2）连接，交于，连，由于，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，所以平面，
平面，所以，因为，所以，
所以两两垂直，以为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则平面PAC的一个法向量是，又，，，所以，，，设是平面的法向量，则，令，可得，所以，所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【跟踪训练】
1.如图，矩形中，，，点，在边，上，且.将矩形沿折起至，使得，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）在矩形中，，，所以，同理，故，①连结、，在中，由余弦定理知：，
所以，，又因为，，所以，所以，即，②，由①，②及，平面，可得平面.
（2）以为坐标原点，，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，，设平面的法向量，则，令，则，，所以.因为，所以，所以与平面所成角的正弦值为.
2.在直角梯形中，，，，如图（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．
(1)求证：；
(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，．
【详解】（1）证明：因为，且，可得，，又因为，可得，
所以，则，因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，又因为平面，所以.
（2）解：因为平面，且平面，所以，以点为原点，所在的直线分别为轴，过点作垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，所以，．设平面的法向量为，则，令，可得，所以．假设存在点，使得与平面所成角为，设，（其中），则，，所以，整理得，解得或（舍去），
综上所述，在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时．
3.如图，在五面体中，底面为平行四边形，平面，为等边三角形，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）不妨设，则，在平行四边形中，，，，连接，由余弦定理得，即，，.
又，，，平面，又平面.平面平面.
（2）取中点，连接，，，由（1）易知平面，且.如图，以为原点，分别以射线所在直线为轴，竖直向上为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，得，令，得，设平面的法向量为，则，得，令，得，，所以平面与平面夹角的余弦值.
4．如图，斜三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，侧面为菱形，且．

(1)求证：；
(2)若，三棱柱的体积为24，求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）取的中点，连接，由题知为正三角形，而也是正三角形，
，又面，且，面，又面，
；
（2），，，又，，即，又面，且，，
面，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，三棱柱的体积为，，，
，设平面的法向量为，则，取得，设直线与平面所成角为，则.

5．如图，三棱锥中，，平面平面，点是棱的中点，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
条件①：；
条件②：直线与平面所成角为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）选择条件①.取的中点，连接.由于是等边三角形，故，
又平面平面，平面，平面平面，故平面，
而平面，故，即，所以，
又，故，则，即.因为，平面，所以平面，平面，所以.
选择条件②.取的中点，连接.由于是等边三角形，故，又平面平面，平面，平面平面，故平面，所以在平面内的射影是，
所以是直线与平面所成角.所以.由平面，而平面，故，即，所以，又，故，则，即.因为，平面，所以平面，平面，所以.
（2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是，由点是棱的中点，所以，于是，又，设是平面的一个法向量，
则，令，则，所以，又是平面的一个法向量，设二面角的大小为，由题可知为锐角，所以.