【二轮复习】高考数学考点6-4 利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题（考点精练）.zip

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【考点目录】
考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式
考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式
考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为
考点四：双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式
考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式
考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式
【考点分类】
考点一：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
证明：设
．
双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
【精选例题】
【例1】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，则，所以，
，即四边形面积等于.故答案为：.
【例2】设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】B【解析】由已知，不妨设，则，∵，
∴点在以为直径的圆上]即是以P为直角顶点的直角三角形，故，
即，又，
∴，
解得，∴，故选B．
【跟踪训练】
1.设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式求解即可.
【详解】由题知.设P点的纵坐标为，则.
故选：B
2.设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ）
A．1 B．2C．4D．8
【答案】A解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，
又∵，∴．
考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式
若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．
两式相减得，所以．
中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得
．
双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为，
【精选例题】
【例1】已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，），则G的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则=2，=－2，， ① ， ②
①－②得，所以===，
又==，所以=，又9==，解得=9，=18，所以椭圆方程为，故选D
【例2】过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率
【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率，故选：D
【例3】已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．点为上不在坐标轴上的任意一点，且，，，四条直线的斜率之积大于，则的离心率可以是
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质，结合题意即可求解.
【详解】设，依题意可得，则，，又，所以，，从而.故选：AC.
【跟踪训练】
1.已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出坐标，根据题意得，代入斜率公式，由点在双曲线上，消元整理得到的关系，进一步求得双曲线的离心率.
【详解】设，则，因为，即，由，所以，因为，所以，即，得，所以，即，又，所以，即，所以，故双曲线的离心率为．故选：D.
2.已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，根据对称性，知，然后表示出，又由于点A，P在双曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得，化简可求出离心率
【详解】设，，根据对称性，知，所以．
因为点A，P在双曲线上，所以，两式相减，得，所以
所以，所以，所以．故选：D
3.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】设，，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出，从而可求出，进而可求出离心率
【详解】，，则，，两式相减得，所以，因为P是AB的中点，
所以，，因为直线OP的斜率为，所以，因为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以，所以，，得，所以，所以离心率为故选：A
考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为
【精选例题】
【例1】若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得，，即得.
【详解】双曲线 的焦点 到渐近线： ，即 的距离为：，而，从而，故渐近线即.故选：B.
【例2】已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为
A． B．3 C． D．
【答案】A【解析】双曲线方程为，焦点到一条渐近线的距离为，故选A．
【跟踪训练】
1.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为，故选C．
2．已知双曲线的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】圆，而，则，故选A．
考点四：双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
【精选例题】
【例1】已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，在中，根据焦点到渐近线的距可得，离心率为2，
∴，解得：，∴∴双曲线的方程为.记的内切圆在边，，上的切点分别为，则，横坐标相等，，，
由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得，
同理内心的横坐标也为，故轴.设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点），在中，，
由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，∴，即，∴的范围是.故选：D.
【例2】（多选题）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．到轴的距离为 B．点的轨迹是双曲线
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【详解】设圆与三边的切点为，
，又，故，故，所以到轴的距离为，故A正确；过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，因为，则为的中点且，于是，
故点的轨迹是在以为圆心，半径为的圆上，故B不正确；
设椭圆的长半轴长为，它们的半焦距为，并设，
根据椭圆和双曲线的定义可得：，所以，
在中，由余弦定理得：，即，
在中，由余弦定理得：，即，由，两式相加，则，又，所以，
所以，所以，即，故C正确；，即，所以，即，故D正确.故选：ACD.
【例3】（多选题）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（ ）
A．圆和圆外切B．圆心在直线上
C．D．的取值范围是
【答案】AC
【详解】双曲线的，渐近线方程为，两渐近线倾斜角分别为和，设圆与轴切点为过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为，的的横坐标为，则由双曲线定义，所以由圆的切线长定理知，所以.的横坐标均为，即与轴垂直.故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知，中，，则只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上.选项B错误；在中，，，则由直角三角形的射影定理可知，即则，故.选项C正确；

由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，则的取值范围为，故，又，则
令，则在单调递减，在单调递增.
值域为故的值域为.
选项D错误.故选：AC.
【跟踪训练】
1.已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是______.
【答案】
【详解】 因，故，，，
如图，过点分别作，，，垂足分别为，
因为的内心，所以，
故点也在双曲线上，即为双曲线的右顶点，同理 ，所以三点共线，设直线的倾斜角为，因双曲线的渐近线方程为，倾斜角为，根双曲线的对称性，不妨设，因，所以，,所以，
因，所以，所以，故答案为：
2．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．点与点均在同一条定直线上
C．直线不可能与平行 D．的取值范围为
【答案】ABD
【详解】设双曲线半焦距为，双曲线的渐近线方程为，即，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，由题意知，所以，所以，故双曲线的方程为，故渐近线方程为，故A正确；对于B选项，记的内切圆在边、、上的切点分别为、、， 由切线长定理可得，，，由，即，
得，即，记的横坐标为，则，于是，得，
同理内心的横坐标也为，故轴，即、均在直线上，故B正确；对于C选项，当与轴垂直时，，故C错误；对于D选项，设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），在中，.
，由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，结合图形可知，即，所以，，故D正确.故选：ABD.
考点五：已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.
【精选例题】
【例1】已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，设，，，
椭圆和双曲线的离心率分别为，，
因是它们的一个公共点，且，则由余弦定理可得：
……①
在椭圆中，由定义知，①式化简为：……②
在双曲线中，由定义知，①式化简为：……③
由②③两式消去得：，等式两边同除得，
即，
由柯西不等式得，
.
故选：B
【例2】已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】A由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B、C由椭圆、双曲线的定义可得，而，即可判定；D记，应用余弦定理可得，由已知及B、C分析，即可判断.
【详解】设，的焦距为，由，共焦点知：，故A正确；
△是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故B错；
由且，易得，故C正确；
在△中，记，根据定义．
由余弦定理有．
整理得，两边同时除以，可得，故．
将代入，得．故D正确
故选：ACD．
【跟踪训练】
1．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：
考点六：设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则．
【精选例题】
【例1】已知椭圆过焦点的直线与椭圆C交于A，B两点（点A位于轴上方），若，则直线的斜率的值为 ．
【答案】
【详解】由题，点A位于轴上方且，则直线l的斜率存在且不为0，，设，则可得，设直线l方程为，联立直线与椭圆可得，
，，，解得，
则直线的斜率为.故答案为：.
【例2】已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，设直线的方程为，联立方程组，整理得，
设，可得，因为，即，可得，代入上式，可得， 可得，整理得，即，又由，可得，即，所以，可得，即.故选：C.
【例3】已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】设，则，从而，进而.过作，则.如图：
在中，，；在中，，
即，所以.故选：A
【跟踪训练】
1.斜率为的直线过椭圆的焦点，交椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】
【详解】设，，由得：，，即；不妨令，则直线，由得：，，，即，，；由椭圆对称性可知：当时，；椭圆的离心率为.故答案为：.
2.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：过作于点，设，因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在直角三角形中，，所以，所以，则.故选：A.
考点七：已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.
情形1.如图1.若,则

图1 图2
如图2.若，则
【精选例题】
【例1】过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________
【答案】满足情形1，即，故，则
【例2】已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即， 如下图所示:由点到直线距离公式可知：，
又，，，即，设，
由双曲线对称性可知，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化简可得：，即，由双曲线离心率公式可知：.故选：A.
【跟踪训练】
1.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】满足情形2，即，.
2．是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设直线方程为，与渐近线方程联立方程组解得因为，所以，选B.
1．已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为2，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】画出图形，结合解三角形知识、数量积的定义、椭圆的定义以及平方关系即可求解.
【详解】
如图所示：
设，由题意，，
两式相比得，
又，且，
所以，
而由余弦定理有，即，
且由椭圆定义有，
所以，解得.
故选：C.
2．椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，利用点差法可推出，设线段中点为，结合题意推出，，代入化简，即可得答案.
【详解】设，则，
两式相减得，
由已知椭圆与直线交于M，N两点，可知，
故，即，
设线段中点为，则，而，
连接原点与线段中点所得直线的斜率为，即，
故，即，
故选：A
3．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线距离为，则双曲线实轴长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由双曲线的性质可得双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式可得，再结合离心率即可得解.
【详解】由题意，双曲线的一个渐近线为即，
设双曲线的的右焦点为，则，
所以焦点到渐近线的距离，
又离心率，所以，
所以双曲线实轴长.
故选：D.
4．（多选题）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点在椭圆上，则（ ）
A．的最大值为3
B．的周长为4
C．若，则的面积为
D．若，则
【答案】ACD
【分析】先求出椭圆方程，然后根据椭圆的几何性质逐项判断即可.
【详解】
由题意，椭圆离心率为，则，
则，代入，得，
所以，
对，由题意，故正确；
对的周长为，故B错误；
对，若，则由余弦定理得：
.
即，故，
故，故C正确；
对D，由余弦定理
，
即，
解得，故，故D正确，
故选:ACD
5．（多选题）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为，则直线方程为
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若直线方程为，则
【答案】AC
【分析】根据椭圆中点弦的性质，可以判断ABC，对于D,直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得，从而判断正误．
【详解】对于A：设,则，相减可得，所以，故 A错误；
对于B：根据，，所以，所以直线方程为，即，故B正确；
对于C：若直线方程为，点，则，所以C错误；
对于D：若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，解得，
所以，故D正确；
故选：AC．
6．（多选题）设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】A选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D选项，首先根据点差法分析可得，结合双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断.
【详解】对于选项A：因为双曲线关于y轴对称，
所以当直线AB的方程为时，线段AB的中点为，故A正确；
当直线AB的斜率存在且不为0时，
设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项B：可得，则，即，
双曲线的渐近线方程为，由于与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B错误；
对于选项C：可得，则，即，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，即，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：AD.
7．（多选题）若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（ ）
A．，B．
C．若，则D．若，则的最小值为2
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B；再结合B，基本不等式等讨论CD选项即可.
【详解】解：依题意，，解得，A不正确；
令，由余弦定理得： ，
因为在椭圆中，在双曲线中，，
所以，故B选项正确；
当时，，即，
所以，即，
所以，，故C选项正确；
当时，，即，
所以，，有，
因为，
所以，，解得，D不正确；
故选：BC
8．（多选题）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则的最小值为2D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B，C，D作答.
【详解】由椭圆和双曲线的定义得：，解得，，A正确；
在中，由余弦定理得：，
整理得，，即，
当时，，即，B正确；
当时，，，
当且仅当时取“=”，而，C不正确；
在椭圆中，，即，
在双曲线中，，即，
于是得，而，则，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明
常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a，c的关系.
9．己知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】先由题意求出，再由点差法可以求出直线的斜率，由直线的点斜式化简即可求解.
【详解】根据题意，因为焦点在轴上，所以，则，
即椭圆，所以P点为椭圆内一点，
设，则，，
两式相减得，变形得，
因为点为线段的中点，所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
10．已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则
【答案】3
【分析】本题考查点差法，根据点差法的内容，设点，作差，计算得出结合离心率为，求得同理求得代入问题计算即可.
【详解】因为双曲线的离心率为 所以
不妨设因为点在上，所以
两式相减,得,
因为点是的中点，所以, ,
所以 即所以
同理
因为所以
故答案为：3.