【二轮复习】高考数学 专题2.4 函数的图象与函数的零点问题（题型专练）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc6765" 【题型1 函数图象的画法与图象变换】 PAGEREF _Tc6765 \h 2
\l "_Tc26686" 【题型2 函数图象的识别】 PAGEREF _Tc26686 \h 5
\l "_Tc27682" 【题型3 函数图象的应用】 PAGEREF _Tc27682 \h 7
\l "_Tc20769" 【题型4 函数零点所在区间的判断】 PAGEREF _Tc20769 \h 9
\l "_Tc26125" 【题型5 求函数的零点或零点个数】 PAGEREF _Tc26125 \h 11
\l "_Tc22973" 【题型6 根据函数零点的分布求参数】 PAGEREF _Tc22973 \h 14
\l "_Tc11460" 【题型7 根据函数零点个数求参数范围】 PAGEREF _Tc11460 \h 17
\l "_Tc6423" 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 PAGEREF _Tc6423 \h 20
1、函数的图象与函数的零点问题
函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式等，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大.
函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大.
【知识点1 函数的图象问题】
1.作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2.函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【知识点2 函数的零点问题】
1.函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)1；
令f(x)=2x+lg2x=0，可得2x=-lg2x>0，即lg2x0，所以f(x)=0等价于3a=x3x2+x+1，令g(x)=x3x2+x+1，则g'(x)=x2x2+2x+3x2+x+12．因为x2+2x+3>0，则g'(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立，所以g(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增，
当x→-∞时，g(x)→-∞；当x→+∞时，g(x)→+∞．所以直线y=3a与g(x)的图像只有一个交点，即f(x)只有一个零点．
［方法三］：【通性通法】含参分类讨论＋零点存在性定理
f'(x)=x2-2ax-a,Δ=4a2+4a．
①当-1≤a≤0时，Δ≤0,f'(x)≥0,f(x)单调递增，f(0)=-a>0,f(-3)=-9-6a0,f(x)单调递增，当x10，hx没有零点；当a>0时，hx先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.
【解答过程】（1）［方法一］：【最优解】指数找朋友
当a=1时，fx≥1等价于x2+1e-x-1≤0．
设函数gx=x2+1e-x-1，则g'x=-x2-2x+1e-x=-x-12e-x．
g'x≤0，所以gx在0,+∞单调递减．
而g0=0，故当x≥0时，gx≤0，即fx≥1．
［方法二］：【通性通法】直接利用导数研究函数的单调性求得最小值
当a=1时，f(x)=ex-x2,f'(x)=ex-2x．
令g(x)=ex-2x,g'(x)=ex-2，令g'(x)=0，得x=ln2．则函数y=g(x)在区间[0,ln2)内单调递减，在区间[ln2,+∞)内单调递增，从而g(x)≥g(ln2)=2-2ln2>0，所以函数y=f(x)在区间[0,+∞)内单调递增，有f(x)≥f(0)=1．
［方法三］：【最优解】指对等价转化
当x≥0时，f(x)=ex-x2≥1⇔x≥lnx2+1．
令g(x)=x-lnx2+1,g'(x)=1-2xx2+1=(x-1)2x2+1≥0，函数y=g(x)在区间[0,+∞)上单调递增，故g(x)≥g(0)=0，有x≥lnx2+1，故当x≥0时，f(x)≥1．
（2）［方法一］：指数找朋友
设函数hx=1-ax2e-x，
fx在0,+∞只有一个零点当且仅当hx在0,+∞只有一个零点．
（i）当a≤0时，hx>0，hx没有零点；
（ii）当a>0时，h'x=axx-2e-x．
当x∈0,2时，h'x0时，f(x)=0⇔ax=exx，原问题转化为动直线y=ax与曲线h(x)=exx在区间(0,+∞)内只有一个公共点．由h'(x)=(x-1)exx2得函数y=h(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,+∞)内单调递增．设y=ax与y=h(x)的切点为Px0,exx0，则h'x0=x0-1ex0x02，于是函数y=h(x)在点P处的切线方程为y-ex0x0=x0-1ex0x02x-x0．由切线过原点可得x0=2，故a=h'(2)=e24．
［方法五］：【通性通法】含参讨论
因为f'(x)=ex-2ax，x∈0,+∞，
当a≤0时，f(x)在区间(0,+∞)内单调递增，又f(0)=1>0，故f(x)无零点；
当a>0时，f″(x)=ex-2a．
①当0f'(0)=1,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增，又f(0)=1>0，故f(x)无零点；
②当120时，f(x)=0⇔ex2-ax=0，记φ(x)=ex2-ax，则φ'(x)=12ex2-a；
当0