【二轮复习】高考数学 专题5.2 平面向量的数量积及其应用（题型专练）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc16669" 【题型1 平面向量的数量积】 PAGEREF _Tc16669 \h 2
\l "_Tc8723" 【题型2 平面向量夹角问题】 PAGEREF _Tc8723 \h 5
\l "_Tc13667" 【题型3 平面向量的模】 PAGEREF _Tc13667 \h 7
\l "_Tc20431" 【题型4 平面向量的垂直问题】 PAGEREF _Tc20431 \h 9
\l "_Tc24229" 【题型5 向量数量积的坐标运算】 PAGEREF _Tc24229 \h 11
\l "_Tc17992" 【题型6 向量数量积的综合应用】 PAGEREF _Tc17992 \h 12
\l "_Tc1950" 【题型7 向量数量积与解三角形综合】 PAGEREF _Tc1950 \h 17
1、平面向量的数量积及其应用
平面向量是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来分析，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，其中平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握，能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题.
【知识点1 平面向量数量积的解题方法】
1.平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【知识点2 数量积的两大应用】
1.夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
2.向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知识点3 向量数量积综合应用的方法和思想】
1.向量数量积综合应用的三大解题方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
【知识点4 极化恒等式】
1.极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
【题型1 平面向量的数量积】
【例1】（2023·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）在△ABC中，AB=4，AC=3，AB+AC=BC，则AC⋅BC=（ ）
A．-16B．16C．-9D．9
【解题思路】由BC=AC-AB得AB+AC=AC-AB，两边平方后得到AB⋅AC=0，从而利用AC⋅BC=AC⋅AC-AB求出答案.
【解答过程】由题意得在△ABC中，BC=AC-AB，
故由AB=4，AC=3，AB+AC=BC，
得AB+AC2=AC-AB2，AB2+2AB⋅AC+AC2=AB2-2AB⋅AC+AC2，
即16+9+2AB⋅AC=16+9-2AC⋅AB，
即AB⋅AC=0，
故AC⋅BC=AC⋅AC-AB=AC2-AC⋅AB=9.
故选：D.
【变式1-1】（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E在边BC上，BC=3BE，若G为线段DC上的动点，则AG⋅AE的最大值为（ ）
A．2B．83
C．103D．4
【解题思路】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.
【解答过程】由题意可知，如图所示

因为菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，
所以AB=AD=2,AB⋅AD=ABADcs120°=2×2×-12=-2，
设DG=λDC,λ∈0,1，则
AG=AD+DG=AD+λDC=AD+λAB，
因为BC=3BE，所以BE=13BC=13AD,
AE=AB+BE=AB+13AD,
AG⋅AE=AD+λAB⋅AB+13AD=13AD2+λAB2+(1+λ3)AD⋅AB
=13×22+λ×22+1+λ3×-2=103λ-23,
当λ=1时，AG⋅AE的最大值为83.
故选：B.
【变式1-2】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知平面向量a与b的夹角为45∘,a⋅b=2，且a=2，则a→-b→·a→+b→=（ ）
A．-22B．-2C．2D．22
【解题思路】首先根据已知条件结合数量积的定义运算求出b，然后再根据向量的运算法则进行求解即可.
【解答过程】a⋅b=a⋅b⋅cs45∘=2×22×b=2，解得：b=2.
因此可得：a→-b→·a→+b→=a→2-b→2=a→2-b→2=4-2=2.
故选：C.
【变式1-3】（2023下·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧BC，点P在圆弧上运动，则AB⋅AP的取值范围为（ ）
A．2,23B．2,5C．2,4D．4,33
【解题思路】根据给定条件，可得AP=AO+OP，求出OP,AB的夹角范围，再利用向量数量积的定义、运算律求解作答.
【解答过程】过点O作OD//AB交半圆弧于点D，连接AO,OP，如图，
而△ABC是正三角形，则∠BOD=π3，令OP,AB夹角为θ，
当点P在弧BD上时，0≤θ≤π3，当点P在弧CD上时，0≤θ≤2π3，于是-12≤csθ≤1，
显然AO=3,OP=1,∠OAB=π6，AP=AO+OP，
所以AB⋅AP=AB⋅(AO+OP)=AB⋅AO+AB⋅OP=|AB||AO|csπ6+|AB||OP|csθ
=2×3×32+2×1×csθ=3+2csθ∈[2,5].
故选：B.
【题型2 平面向量夹角问题】
【例2】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知向量a，b，c满足a=b=c=3，且a+b+23c=0，则cs=（ ）
A．-223B．-13C．13D．223
【解题思路】根据题意，结合向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为a=b=c=3，且a+b+23c=0，则a+b=-23c，两边平方可得
a2+b2+2a⋅b=49c2，即18+2a⋅b=49×9，所以a⋅b=-7，
且a-b=a-b2=a2+b2-2a⋅b=9+9-2×-7=42，
则cs=a-b⋅ba-b⋅b=a⋅b-b2a-b⋅b=-7-942×3=-223.
故选：A.
【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）已知单位向量e1，e2的夹角为60°，向量a=-2e1+3e2，b=2me1-2e2，m∈Z，向量a，b的夹角的余弦值为-217，则m=（ ）
A．1B．-4C．2D．-5
【解题思路】根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，列出方程，即可得到结果.
【解答过程】由题意，得e1⋅e2=12，
所以a2=-2e1+3e22=4e12-12e1⋅e2+9e22=7，
b2=2me1-2e22=4m2e12-8me1⋅e2+4e22=4m2-4m+4．
而a⋅b=-2e1+3e2⋅2me1-2e2=-4me12+6me1⋅e2+4e1⋅e2-6e22=-m-4，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=-m-47×4m2-4m+4=-217．
整理，得11m2-20m-4=0，解得m=2或m=-211（舍去）．
故选：C．
【变式2-2】（2023·全国·学军中学校联考二模）O为平行四边形ABCD外一点，OA=3,OB=3,OC=2,∠AOB=π6,∠BOC=π3,∠AOC=π2，则向量OD与向量OB的夹角为（ ）
A．5π6B．2π3C．π3D．π6
【解题思路】由平面向量数量积的运算律与夹角公式求解，
【解答过程】由向量运算可知OD=OC+CD=OC+OA-OB，
则OB⋅OD=OB⋅(OC+OA-OB)=6×12+33×32-9=-32，
而OD2=(OC+OA-OB)2=OC2+OA2+OB2+2OC⋅OA-2OC⋅OB-2OA⋅OB，
OD2=4+3+9+0-6-9=1，得|OD|=1，
所以：cs∠BOD=OB⋅ODOBOD=-321⋅3=-12
所以向量OD与向量OB的夹角为2π3
故选：B.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a=OA，b=OB，c=OC，满足4OC⋅AC=1-OA2，4OB⋅CB=1-OC2，则向量a-4b与c-2b所成夹角的最大值是（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解题思路】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到4c2-4a⋅c=1-a2，4b2-4b⋅c=1-c2，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到csθ=a-4b24+34a-4b2，利用基本不等式可求得csθ≥32，由此可得θ的最大值.
【解答过程】∵4OC⋅AC=4OC⋅OC-OA=4OC2-4OC⋅OA=1-OA2，
即4c2-4a⋅c=1-a2，∴4c2-4a⋅c+a2=2c-a2=1；
∵4OB⋅CB=4OB⋅OB-OC=4OB2-4OB⋅OC=1-OC2，
即4b2-4b⋅c=1-c2，∴4b2-4b⋅c+c2=2b-c2=1；
设向量a-4b与c-2b所成夹角为θ，
∴csθ=a-4b⋅c-2ba-4b2⋅c-2b2=a⋅c-2a⋅b-4b⋅c+8b2a-4b2 =a⋅c-2a⋅b+1-c2+4b2a-4b2=14a2-1+1-2a⋅b+4b2a-4b2=14a-4b2+34a-4b2 =a-4b24+34a-4b2≥2a-4b24⋅34a-4b2=32（当且仅当a-4b=3时取等号）；
又θ∈0,π，∴θmax=π6.
故选：A.
【题型3 平面向量的模】
【例3】（2023·云南昭通·校考模拟预测）已知|AB|=3,|BC|=2,|AB-3BC|=6,则|AB+CB|=（ ）
A．4B．10C．10D．16
【解题思路】根据条件，利用模的平方可求出AB⋅BC的值，再将|AB+CB|变形并平方，即可求得答案.
【解答过程】由|AB|=3,|BC|=2,|AB-3BC|=6，
可得|AB⃑-3BC⃑|2=(AB⃑-3BC⃑)2=|AB⃑|2+9|BC⃑|2-6AB⃑⋅BC⃑=36，
即9+36-6|AB|⋅|BC|=36,AB⋅BC=32，
所以|AB⃑+CB⃑|2=(AB⃑-BC⃑)2=|AB⃑|2+|BC⃑|2-2AB⃑⋅BC⃑=10，
故|AB+CB|=10，
故选：B.
【变式3-1】（2023·河北张家口·统考一模）已知向量a，b，c都是单位向量，若(a-c)2+(b-c)2=3，则a-b的最大值为（ ）
A．154B．2C．152D．3
【解题思路】根据数量积的运算律得到(a+b)⋅c=12，设a+b,c=θ，即可得到a+b2≥14，再由a-b2=4-a+b2求出a-b的范围，即可得解.
【解答过程】由(a-c)2+(b-c)2=3，得a2+b2+2c2-2(a+b)⋅c=3，即(a+b)⋅c=12．
设a+b,c=θ，则a+b⋅c=a+bcsθ=12，显然csθ≠0，
所以a+b2=14cs2θ≥14．
又(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2=4，所以a-b2=4-a+b2≤4-14=154，
所以a-b≤152，即a-b的最大值为152．
故选：C．
【变式3-2】（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量a,b的夹角为π3,|a→|=2,|b→|=1，若a+λb⊥b，则a+λb=（ ）
A．3B．23C．2D．22
【解题思路】由a+λb⊥b，利用向量数量积运算可得λ=-1，即求a-b，又a-b=a-b2，代入条件运算可得解.
【解答过程】∵ a+λb⊥b，
∴a+λb⋅b=0，即a⋅b+λb2=0，
∴λ=-a⋅bb2=-1×2×csπ312=-1，
∴a+λb=a-b=a-b2=a2-2a⋅b+b2
=22-2×2×1×csπ3+12=3.
故选：A.
【变式3-3】（2023下·浙江·高二学业考试）已知平面向量a、b满足|a|=2|a-b|,|b|=3，则|3a-2b|+|a-2b|的最大值是（ ）
A．410B．12C．82D．2+63
【解题思路】由题意可得a⋅b=3|a|2+368，从而可得3a-2b+a-2b=312|a|2-2+18-12|a|2，令m=3,1,n=12|a|2-2,18-12|a|2，利用m⋅n≤mn即可求解.
【解答过程】由a=2a-bb=3可得3a2-8a⋅b+36=0，即a⋅b=3|a|2+368，
∴|3a-2b|2=9|a|2-12a⋅b+4|b|2=92|a|2-18，即|3a-2b|=312|a|2-2，
|a-2b|2=|a|2-4a⋅b+4|b|2=18-12|a|2，即|a-2b|=18-12|a|2，
∴|3a-2b|+|a-2b|=312|a|2-2+18-12|a|2，
令m=3,1,n=12|a|2-2,18-12|a|2，
则m⋅n≤mn，即312|a|2-2+18-12|a|2≤32+12⋅12|a|2-22+18-12|a|22=410，
当且仅当12|a|2-2=318-12|a|2,即a2=1645时，等号成立，
所以|3a-2b|+|a-2b|的最大值是410.
故选：A.
【题型4 平面向量的垂直问题】
【例4】（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量a，b，c，满足a+b+λc=0，若a⊥b，则λ=（ ）
A．-2B．±2C．2D．±2
【解题思路】由a+b+λc=0，可得a2+2a⋅b+b2=λ2c2，后结合|a|=|b|=1与a⊥b可得答案.
【解答过程】由a+b+λc=0得a+b=-λc，所以a+b2=-λc2，
即a2+2a⋅b+b2=λ2c2.因为a⊥b，所以a⋅b=0，又将|a|=|b|=1代入a2+2a⋅b+b2=λ2c2，整理得λ2=2，解得λ=±2.
故选：D．
【变式4-1】（2023·天津和平·统考三模）如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,AD=23AB,AE=13AC,DM=ME，BN=NC，若MN⊥BC，则csA的值为（ ）
A．66B．306C．63D．33
【解题思路】将MN,BC用AB,AC表示，利用MN⋅BC=0列方程，解方程求得csA的值.
【解答过程】依题意MN=AN-AM=12AB+AC-12AD+AE
=12AB+AC-1223AB+13AC
=16AB+13AC，
又BC=AC-AB.
由于MN⊥BC，所以MN⋅BC=0，
即16AB+13AC⋅AC-AB=0，
即-16AB2+13AC2-16AB⋅AC=0，
即-16AB2+13AC2-16AB⋅ACcsA=0，
即-16×3+13×2-16×3×2×csA=0，解得csA=66.
故选：A.
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=-1,-2，b=4,-2，若a-λb⊥a+μb，则（ ）
A．4λμ=1B．4λμ=-1
C．4λ+μ=1D．4λ+μ=-1
【解题思路】用坐标表示向量a-λb,a+μb，根据向量垂直的坐标运算建立方程，并化简得结果.
【解答过程】法一：用坐标表示向量a-λb,a+μb
由题意可知，a-λb=-1-4λ,-2+2λ,a+μb=-1+4μ,-2-2μ，
由a-λb⊥a+μb得，
-1-4λ-1+4μ+-2+2λ-2-2μ=0，
整理得，5-20λμ=0，
所以4λμ=1．则A对；
法二：因为向量a=-1,-2,b=4,-2，
所以a=5,b=25,a⋅b=-4+4=0，
又a-λb⊥a+μb，
所以a-λb⋅a+μb=a2+μ-λa⋅b-λμb2=5-20λμ=0，
所以4λμ=1.
故选：A．
【变式4-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量a,b的夹角为120∘，且a,b是函数fx=x2-5x+6的两个零点.若a+λb⊥a(λ>2)，则λ=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】由题知a=2,b=3或a=3,b=2.，再根据向量垂直的数量积表示，数量积的运算律分别讨论求解即可.
【解答过程】解：因为函数fx=x2-5x+6的两个零点分别为2，3，
所以a=2,b=3或a=3,b=2.
又a+λb⊥a，
所以a+λb⋅a=0，则a2+λa⋅b=0，即|a|2+λabcs120∘=0.
当a=2,b=3时，4+λ×2×3×-12=0，解得λ=43（舍去）；
当a=3,b=2时，9+λ×3×2×-12=0，解得λ=3，满足λ>2.
综上，λ=3
故选：A.
【题型5 向量数量积的坐标运算】
【例5】（2023·四川雅安·统考一模）已知向量a=1,3,b=-2,-1，则a+b⋅2a-b=（ ）
A．10B．18C．-7,8D．-4,14
【解题思路】根据平面向量的坐标运算法则进行运算即可.
【解答过程】因为向量a=1,3,b=-2,-1，
所以a+b⋅2a-b=-1,2⋅4,7=-1×4+2×7=10，
故选:A.
【变式5-1】（2023·河南·统考三模）已知a=(-2,6)，b=(4,λ)，若a⊥(a-b)，则向量a,b的夹角的余弦值为（ ）
A．-22B．22C．-32D．32
【解题思路】根据向量垂直及数量积的运算律有a⋅b=a2，应用数量积、模长坐标运算得方程6λ-8=40求参数，再由向量夹角公式求余弦值.
【解答过程】由题意a⋅(a-b)=a2-a⋅b=0，故a⋅b=a2，
所以6λ-8=40，故λ=8，
由csa,b=a⋅b|a||b|=40210×45=22.
故选：B.
【变式5-2】（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）已知平面向量a=255,55，b为单位向量，且(a+2b)⊥(a-b)，则向量b在向量a上的投影向量的坐标为（ ）
A．-255,-55B．255,55C．255,-55D．-255,55
【解题思路】根据向量垂直求得a⋅b，由投影向量的概念求得结果.
【解答过程】由题意a=1,b=1，
∵(a+2b)⊥(a-b)，∴(a+2b)⋅(a-b)=0，即a2+a⋅b-2b2=0，
∴a⋅b=-a2+2b2=1，
则向量b在向量a上的投影向量为a⋅baaa=a=255,55，
故选：B.
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(a-b)，且a//b，则|c|=（ ）
A．2B．3C．5D．6
【解题思路】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为(a+b)⋅(a-b)=a2-b2=0，然后利用向量的模的坐标运算公式和向量共线的坐标关系得到方程组，求解即得x,y的值，进而计算向量c=(x,y)的模.
【解答过程】因为a=(x,1)，b=(2,y)，
由(a+b)⊥(a-b)可得，(a+b)⋅(a-b)=a2-b2=0，
即x2+1-4+y2=0，整理得x2-y2=3.
又因为a∥b，所以xy=2，
联立x2-y2=3xy=2，解得x=2y=1或x=-2y=-1，
故|c|=x2+y2=5，
故选C.
【题型6 向量数量积的综合应用】
【例6】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=2EC，AE⋅BD=-23，则AF⋅BF+2CF的最小值为（ ）
A．-2B．-4C．-15225D．-7312
【解题思路】根据AE⋅BD=-23，根据线性运算进行变换可求得∠DAB=π3；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF⋅EF，得到关于t的二次函数，求得二次函数最小值即为结果.
【解答过程】由题意知：BE=23BC，设∠DAB=θ，
∴AE⋅BD=AB+BE⋅AD-AB=AB⋅AD-AB2+23BC⋅AD-23BC⋅AB
=4csθ-4+83-83csθ=-23，∴csθ=12⇒θ=π3.
以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
∴A-3,0，E233,-13，设F0,t，则AF=3,t，EF=-233,t+13，
∴AF⃑⋅BF⃑+2CF⃑=3AF⃑⋅EF⃑=3t2+t-6，
当t=-16时，AF⋅BF+2CF的最小值为-7312
故选：D.
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AB=3，AD=CD=2，M是CD的中点，N在BC上，且BN=13BC，则csBM,DN=（ ）
A．-31010B．-1010C．1010D．31010
【解题思路】解法一 建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，从而求出BM，DN的坐标，最后利用向量的夹角公式即可得解；解法二 以AB，AD为基底，通过向量的线性运算用基底将BM，DN表示出来，再利用向量的夹角公式即可得解．
【解答过程】解法一 如图，建立平面直角坐标系，则B3,0，D0,2，M1,2，C2,2，
∴BC=-1,2，BM=-2,2，∴BN=13BC=-13,23，∴N83,23，
则DN=83,-43，∴csBM,DN=-2×83+2×-43-22+22×832+-432=-31010，
故选：A．

解法二 设AB=a，AD=b，则a=3，b=2，a⊥b，BM=BA+AD+DM=AD+DM-AB=b+13a-a=b-23a，DN=DA+AB+BN=DA+AB+13BC=DA+AB+13BA+AD+DC
=89AB-23AD=89a-23b，
∴BM=b-23a2=22，
DN=89a-23b2=453，BM⋅DN=b-23a⋅89a-23b=-8，
∴csBM,DN=BM⋅DNBM⋅DN=-822×453=-31010，
故选：A．
【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知△ABC中，AB=AC=22，AB+λBCmin=2λ∈R，AM=12MB，AP=sin2α⋅AB+cs2α⋅AC，α∈π6,π3，则MP的取值范围为（ ）
A．423,453B．43,453
C．173,413D．43,413
【解题思路】根据已知可得A到BC的距离为2，△ABC为等腰直角三角形，若D,E为BC的两个四等分点，N为BC中点，P在线段DE上运动，且AN=2，数形结合求MP的取值范围.
【解答过程】由AB+λBCmin=2λ∈R，结合向量加法法则知：A到BC的距离为2，
又AB=AC=22，则BC=4，所以AB2+AC2=BC2，故△ABC为等腰直角三角形，
由AP=sin2α⋅AB+cs2α⋅AC，则sin2α+cs2α=1，所以P,B,C共线，
又α∈π6,π3，则sin2α,cs2α∈[14,34]，若D,E为BC的两个四等分点，N为BC中点，如下图示，

所以P在线段DE上运动，且AN=2，BD=1，BE=3，
由图：若MP⊥BC，则MP//AN，又AM=12MB，此时BP=23BN=43∈[1,3]，
故上述情况MPmin= 23AN=43，易知ME=MP2+(BE-BP)2=169+259=413，
由图知：P与E重合时，MPmax=ME=413，
综上，MP的取值范围为43,413.
故选：D.
【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2，点P在边CD上，则AP⋅BP的最小值为（ ）
A．2116B．218C．2132D．74
【解题思路】方法一：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算律将问题转化为二次函数形式求向量数量积的最值；
方法二：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后建立平面直角坐标系，将问题转化为向量数量积的坐标表示，得出二次函数，最后利用二次函数性质求出向量数量积的最值即可；
方法三：同方法二一样，但是选择另外的边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，将问题转化为平面向量坐标形式求解即可；
【解答过程】解法一 由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2，
得AC2=AB2+BC2，AC2=AD2+DC2，
所以AB⊥BC，AD⊥DC，
∠DAC=∠BAC=60°．
设DP=x，则0≤x≤3，所以
AP⋅BP=AD+DP⋅BA+AD+DP
=AD⋅BA+AD⋅AD+AD⋅DP+DP⋅BA+DP⋅AD+DP⋅DP
=1×1×12+1+1×x×-32+x2
=x2-32x+32=x-342+2116≥2116，
当且仅当x=34时，AP⋅BP取得最小值2116．
解法二： 由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2，
得AC2=AB2+BC2，AC2=AD2+DC2，
所以AB⊥BC，AD⊥DC，
∠DAC=∠BAC=60°，∠ACB=∠ACD=30°，
连接BD，交AC于点O，则易知BD⊥AC，
建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
则A-12,0，B0,-32，C32,0，D0,32，
所以DC=32,-32．
设DP=λDC0≤λ≤1，
则DP=32λ,-32λ，
所以P32λ,-32λ+32，
AP=12+32λ,32-32λ，BP=32λ,3-32λ，
则AP⋅BP=34λ+94λ2+32-34λ-32λ+34λ2
=3λ2-32λ+32=3λ-142+2116≥2116，
当且仅当λ=14时，AP⋅BP取得最小值2116．
解法三 由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2，
得AC2=AB2+BC2，AC2=AD2+DC2，
所以AB⊥BC，AD⊥DC，
∠DAC=∠BAC=60°，∠ACB=∠ACD=30°，
如图，
分别以DA,DC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
所以A1,0，B32,32．
因为点P在边CD上，
所以设P0,y0≤y≤3，
所以AP=-1,y，BP=-32,y-32，
所以AP⋅BP=-1×-32+y×y-32
=y2-32y+32=y-342+2116≥2116，
当且仅当y=34时，AP⋅BP取得最小值2116．
故选：A.
【题型7 向量数量积与解三角形综合】
【例7】（2023·全国·模拟预测）在△ABC，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若AC=3DC,bsinA+3acsB=0，且2a+c=12，则BD的最小值为（ ）
A．2B．2C．26D．32
【解题思路】已知bsinA+3acsB=0，由正弦定理边化角，化简可得B=2π3，设CD=m,BD=n，在△ADB和△CDB中，由余弦定理可得3n2=4(a-3)2+12，可求BD的最小值.
【解答过程】由bsinA+3acsB=0及正弦定理可得sinBsinA+3sinAcsB=0，
由A∈0,π，sinA>0可得tanB=-3，故B=2π3．
通解 设CD=m,BD=n，由AC=3DC可得AD=2m，
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accs∠ABC=a2+c2+ac，又2a+c=12，
所以9m2=a2+(12-2a)2+a12-2a，得3m2=a2-12a+48．
在△ADB和△CDB中，由余弦定理得cs∠ADB=4m2+n2-c24mn，cs∠CDB=m2+n2-a22mn，
由∠ADB+∠CDB=π可得4m2+n2-c24mn=-m2+n2-a22mn，
故3n2=-6m2+2a2+c2=-2a2-12a+48+2a2+(12-2a)2=4(a-3)2+12，
当a=3时，3n2取得最小值12，即3n2≥12，得n≥2，故BD的最小值为2．
优解 由题意知BD=BA+AD=BA+23AC=BA+23AB+BC=13BA+23BC，
两边同时平方得BD2=19BA2+49BA⋅BC+49BC2=19c2-29ac+49a2≥219c2×49a2-29ac=29ac，
又2a+c=12，所以当且仅当c2=4a2，即a=3,c=6时取等号，
则BD2≥29ac=19×2a×c=19×6×6=4，故BD的最小值为2．
故选：B.
【变式7-1】（2023·四川·校联考模拟预测）在△ABC中，AC=2BC,AB⋅BC=-3AC⋅BC，则sinB=（ ）
A．14B．64C．144D．154
【解题思路】根据向量数量积的运算律化简得到c=322a，再结合b=2a和余弦定理即可得到答案.
【解答过程】记BC=a,AC=b,AB=c，由已知，b=2a，
因为(AB+BC)2=AC2，所以AB2+2AB⋅BC+BC2=AC2，
即c2+2AB⋅BC+a2=b2，所以AB⋅BC=b2-a2+c22，
因为(AC+CB)2=AB2，所以AC2+2AC⋅CB+CB2=AB2，
即b2-2AC⋅BC+a2=c2，所以AC⋅BC=a2+b2-c22，
因为AB⋅BC=-3AC⋅BC，
所以b2-a2-c2=-3a2+b2-c2，化简得c=322a.
所以csB=a2+c2-b22ac=a2+322a2-2a22a⋅322a=24，
因为B∈0,π，所以sinB=1-cs2B=144.
故选：C.
【变式7-2】（2023·河北沧州·校考三模）在△ABC中，若OA=OB=OC=OP，AB=AC=2，A=120°，则AP⋅AB的取值范围为（ ）
A．-2,8B．-2,6C．-4,6D．-4,8
【解题思路】根据三角形外心的性质，结合正弦定理、平面向量数量积的定义、圆的几何性质进行求解即可.
【解答过程】因为OA=OB=OC=OP，
所以O为△ABC的外心，且P为△ABC外接圆上一动点，
又AB=AC=2，A=120°，
所以△ABC外接圆的半径r=BCsin120°×12=2.
如图，作PD⊥AB，垂足为D，则AP⋅AB=AP⋅ABcs∠PAD=ABAD=2AD.
所以，当PD与圆相切时，AP⋅AB取最值，即P在P1处取最大值6，
在P2处取最小值-2，
故选：B.
【变式7-3】（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，点D在线段BC上，AB⊥AD,BD=3,CD=1，点M是△ABC外接圆上任意一点，则AB⋅AM最大值为（ ）
A．33+1B．33-1C．3+3D．3-3
【解题思路】先根据余弦定理求出线段AD,AC,AB的长度，再根据正弦定理求出△ABC外接圆的半径，最后将AM写成AM=AO+OM后再求AB⋅AM，当AB与OM同向时，AB⋅AM取得最大值.
【解答过程】在△ABD中，AB2=BD2-AD2=9-AD2，cs∠ADB=ADBD=AD3，
在△ADC中，由余弦定理得，
AC2=AD2+CD2-2AD⋅CD⋅cs∠ADC =AD2+CD2+2AD⋅CD⋅cs∠ADB =AD2+1+2AD⋅AD3 =53AD2+1，
又因为AB=AC，所以9-AD2 =53AD2+1，解得AD=3，
从而AB=AC=BD2-AD2=6，sin∠ABD=ADBD=33.
设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R=ACsin∠ABD=633=32，
故R=322.
所以AB⋅AM=AB⋅(AO+OM) =AB⋅AO+AB⋅OM =6×62+AB⋅OM=3+AB⋅OM，
当AB与OM同向时，AB⋅AM取得最大值为AB⋅AM=3+6×322=3+33=3(3+1).
故选：A.
1．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a,b,c满足a=b=1,c=2，且a+b+c=0，则cs〈a-c,b-c〉=（ ）
A．-45B．-25C．25D．45
【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.
【解答过程】因为a+b+c=0,所以a+b=-c,
即a2+b2+2a⋅b=c2,即1+1+2a⋅b=2,所以a⋅b=0.
如图,设OA=a,OB=b,OC=c,
由题知,OA=OB=1,OC=2,△OAB是等腰直角三角形,
AB边上的高OD=22,AD=22,
所以CD=CO+OD=2+22=322,
tan∠ACD=ADCD=13,cs∠ACD=310,
cs〈a-c,b-c〉=cs∠ACB=cs2∠ACD=2cs2∠ACD-1
=2×3102-1=45.
故选:D.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3，则a⋅b=（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【解题思路】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【解答过程】解：∵|a-2b|2=|a|2-4a⋅b+4b2，
又∵|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,
∴9=1-4a⋅b+4×3=13-4a⋅b，
∴a⋅b=1
故选：C.
3．（2023·北京·统考高考真题）已知向量a，b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1)，则|a|2-|b|2=（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【解答过程】向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1)，
所以|a|2-|b|2=(a+b)⋅(a-b)=2×(-2)+3×1=-1.
故选：B.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA⋅PD的最大值为（ ）
A．1+22B．1+222
C．1+2D．2+2
【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA⋅PD =12-22sin2α-π4，或PA⋅PD =12+22sin2α+π4然后结合三角函数的性质即可确定PA⋅PD的最大值.
【解答过程】如图所示，OA=1,OP=2，则由题意可知:∠APO=π4，
由勾股定理可得PA=OP2-OA2=1

当点A,D位于直线PO异侧时或PB为直径时，设∠OPC=α,0≤α<π4，
则：PA⋅PD =|PA|⋅|PD|csα+π4
=1×2csαcsα+π4
=2csα22csα-22sinα
=cs2α-sinαcsα
=1+cs2α2-12sin2α
=12-22sin2α-π4
0≤α<π4，则-π4≤2α-π4<π4
∴当2α-π4=-π4时，PA⋅PD有最大值1.

当点A,D位于直线PO同侧时，设∠OPCα,0<α<π4，
则：PA⋅PD =|PA|⋅|PD|csα-π4
=1×2csαcsα-π4
=2csα22csα+22sinα
=cs2α+sinαcsα
=1+cs2α2+12sin2α
=12+22sin2α+π4，
0≤α<π4，则π4≤2α+π4<3π4
∴当2α+π4=π2时，PA⋅PD有最大值1+22.
综上可得，PA⋅PD的最大值为1+22.
故选：A.
5．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a=3,1,b=2,2，则csa+b,a-b=（ ）
A．117B．1717C．55D．255
【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得a+b,a-b,a+b⋅a-b，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【解答过程】因为a=(3,1),b=(2,2)，所以a+b=5,3,a-b=1,-1，
则a+b=52+32=34,a-b=1+1=2，a+b⋅a-b=5×1+3×-1=2，
所以csa+b,a-b=a+b⋅a-ba+ba-b=234×2=1717.
故选：B.
6．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a=1,1,b=1,-1，若a+λb⊥a+μb，则（ ）
A．λ+μ=1B．λ+μ=-1
C．λμ=1D．λμ=-1
【解题思路】根据向量的坐标运算求出a+λb，a+μb，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【解答过程】因为a=1,1,b=1,-1，所以a+λb=1+λ,1-λ，a+μb=1+μ,1-μ，
由a+λb⊥a+μb可得，a+λb⋅a+μb=0，
即1+λ1+μ+1-λ1-μ=0，整理得：λμ=-1．
故选：D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则t=（ ）
A．-6B．-5C．5D．6
【解题思路】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【解答过程】解：c=3+t,4,csa→,c→=csb,c→,即9+3t+165c=3+tc,解得t=5,
故选：C.
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a，b满足a-b=3，a+b=2a-b，则b= 3 ．
【解题思路】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令c=a-b，结合数量积的运算律运算求解.
【解答过程】法一：因为a+b=2a-b，即a+b2=2a-b2，
则a2+2a⋅b+b2=4a2-4a⋅b+b2，整理得a2-2a⋅b=0，
又因为a-b=3，即a-b2=3，
则a2-2a⋅b+b2=b2=3，所以b=3.
法二：设c=a-b，则c=3,a+b=c+2b,2a-b=2c+b，
由题意可得：c+2b2=2c+b2，则c2+4c⋅b+4b2=4c2+4c⋅b+b2，
整理得：c2=b2，即b=c=3.
故答案为：3.
9．（2022·全国·统考高考真题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+b⋅b= 11 ．
【解题思路】设a与b的夹角为θ，依题意可得csθ=13，再根据数量积的定义求出a⋅b，最后根据数量积的运算律计算可得．
【解答过程】解：设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为13，即csθ=13，
又a=1，b=3，所以a⋅b=a⋅bcsθ=1×3×13=1，
所以2a+b⋅b=2a⋅b+b2=2a⋅b+b2=2×1+32=11．
故答案为：11．
10．（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E．DF//AB且交AC于点F,则|2BE+DF|的值为 1 ；(DE+DF)⋅DA的最小值为 1120 ．
【解题思路】设BE=x，由(2BE+DF)2=4BE2+4BE⋅DF+DF2可求出；将(DE+DF)⋅DA化为关于x的关系式即可求出最值.
【解答过程】设BE=x，x∈0,12，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE=30∘,BD=2x,DE=3x,DC=1-2x，
∵ DF//AB，∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2BE+DF)2=4BE2+4BE⋅DF+DF2=4x2+4x(1-2x)×cs0∘+(1-2x)2=1，
∴|2BE+DF|=1，
∵(DE+DF)⋅DA=(DE+DF)⋅(DE+EA)=DE2+DF⋅EA
=(3x)2+(1-2x)×(1-x)=5x2-3x+1=5x-3102+1120，
所以当x=310时，(DE+DF)⋅DA的最小值为1120.
故答案为：1；1120.