【二轮复习】高考数学 专题7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（题型专练）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc27738" 【题型1 空间几何体的结构特征】 PAGEREF _Tc27738 \h 2
\l "_Tc15144" 【题型2 多面体的表面积与体积】 PAGEREF _Tc15144 \h 3
\l "_Tc26253" 【题型3 旋转体的表面积与体积】 PAGEREF _Tc26253 \h 5
\l "_Tc8358" 【题型4 斜二测画法及其应用】 PAGEREF _Tc8358 \h 6
\l "_Tc29297" 【题型5 空间几何体中的最短路径问题】 PAGEREF _Tc29297 \h 7
\l "_Tc7676" 【题型6 空间几何体的截面问题】 PAGEREF _Tc7676 \h 8
\l "_Tc5383" 【题型7 空间几何体的外接球问题】 PAGEREF _Tc5383 \h 9
\l "_Tc28053" 【题型8 空间几何体的内切球问题】 PAGEREF _Tc28053 \h 10
1、基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，难度中等；在复习时，不仅要熟练掌握空间几何体的结构特征，还应加强几何体表面积和体积的解题训练.
【知识点1 空间几何体结构特征的判断】
1.空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
【知识点2 斜二测画法和展开图的常用结论】
1.斜二测画法的常用结论：
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：.
2.几何体的表面展开图的常用结论：
几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.
【知识点3 最短路径问题】
1.最短路径问题的解题策略
(1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面.
(2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解.
【知识点4 空间几何体表面积与体积的常见求法】
1.常见的求几何体体积的方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
2.求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
【知识点5 几何体与球的切、接问题的解题策略】
1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
2.空间几何体外接球问题的求解方法：
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，
把空间问题转化为平面问题求解.
(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元
素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.
(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心
的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
【题型1 空间几何体的结构特征】
【例1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）下列关于空间几何体的叙述，正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（ ）
A．AB1，AC，AD1的长度
B．AC，B1D，A1C的长度
C．B1C，A1D，B1D的长度
D．AC1，BD，CC1的长度
【变式1-2】（2022·广东广州·校联考三模）下列说法正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．平行六面体不是棱柱
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【变式1-3】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为π2，则圆台的高为（ ）
A．23B．15C．4D．32
【题型2 多面体的表面积与体积】
【例2】（2023·安徽·校联考模拟预测）中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台ABCD-A1B1C1D1，上下底面的中心分别为O1和O，若AB=2A1B1=4，∠A1AB=60°，则正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为（ ）
A．2023B．2823C．2063D．2863
【变式2-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液，AB=6,A1B1=2，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的34，若图1和图2中溶液体积分别为V1,V2，则V1V2=（ ）
A．34B．3839C．1D．152117
【变式2-2】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，如图，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（ ）
A．203B．163C．133D．83
【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）中国是世界上著名的文明古国之一，为世界文化和科技繁荣谱写了绚丽的篇章，陶瓷的制作工艺及发展，更是其中闪耀的一颗明珠．随着近代科学技术的发展，近百年来又出现了许多新的陶瓷品种．如图为一款陶瓷茶杯，杯盖可以使水温瞬间变成55∘C左右并保持恒温状态，将茶杯里面的茶水倒入杯盖中即可饮用到55∘C的温水．该款茶杯的杯身内部空间可看作上、下底面直径分别为8cm，10cm，高为6cm的圆台；杯盖内部空间可看作底面直径为8cm，高为3cm的圆锥．若茶杯中装满茶水，则最多可倒满几杯盖?（ ）
A．8B．7C．6D．5
【题型3 旋转体的表面积与体积】
【例3】（2023·陕西安康·校联考模拟预测）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥SO和圆柱OO1组合而成，点M,N在圆锥SO的底面圆周上，且△SMN的面积为7,sin∠MSN=74，圆锥SO的侧面积为42π，圆柱OO1的母线长为3，则该几何体的体积为（ ）
A．40π3B．44π3C．52π3D．56π3
【变式3-1】（2023·陕西商洛·统考一模）将一个底面半径为3，高为4的圆柱形铁块熔化为铁水，恰好制成一个实心铁球，则该实心铁球的半径是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【变式3-2】（2023·四川甘孜·统考一模）如图，一个底面半径为2r的圆锥，其内部有一个底面半径为r的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为3π⋅r3，则该圆锥的表面积为（ ）
A．8π⋅r2B．12π⋅r2C．833π⋅r2D．43π⋅r2
【变式3-3】（2023·山东·统考一模）陀螺起源于我国，在山西夏县新石器时代的遗址中，就出土了目前发现的最早的石制陀螺因此，陀螺的历史至少也有四千年，如图所示为一个陀螺的立体结构图，若该陀螺底面圆的直径AB=12cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=4cm，则这个陀螺的表面积是（ ）

A．(144+1213)πcm2B．(144+2413)πcm2
C．(108+1213)πcm2D．(108+2413)πcm2
【题型4 斜二测画法及其应用】
【例4】（2023·四川眉山·统考一模）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则构成该多面体的面中最大的面积为（ ）
A．92B．9C．922D．932
【变式4-1】（2023·四川内江·统考三模）我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则该四棱锥中棱长的最大值为（ ）
A．2B．5C．6D．2
【变式4-2】（2023下·陕西·高一校联考期中）如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O'A'B'C'，则原四边形OABC的面积是（ ）
A．162B．82C．16D．8
【变式4-3】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6，侧棱长为211.将该三棱锥截去一个小三棱锥P-DEF后，剩余五面体的主视图如图所示，其中DE//AB，DE=AC=BC=3，且在主视图中，△DEF是以DE为斜边的等腰直角三角形.则FCPC的值为（ ）
A．14B．15C．2-24D．8-3216
【题型5 空间几何体中的最短路径问题】
【例5】（2023·广西南宁·统考一模）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长SA=3，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．23B．33C．6D．2π
【变式5-1】（2023·河南·校联考三模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB1的中点，M是截面A1ACC1上的一个动点（不包含边界），A1M⊥AB1，则AM+EM的最小值为（ ）
A．32B．52C．62D．72
【变式5-2】（2023下·湖北武汉·高一武汉市第一中学校联考期中）如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），P是BC中点，现有一只妈蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A．π2+36B．π2+16C．4π2+36D．4π2+1
【变式5-3】（2023·北京·统考模拟预测）如图所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段D1C1和B1C1上，且满足MC1=NC1=2，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段AC1和MN上的动点，则PQ+PO的最小值为（ ）
A．662B．26C．332D．23
【题型6 空间几何体的截面问题】
【例6】（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=VC=8，∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为（ ）
A．62B．63C．82D．83
【变式6-1】（2023·江西·统考模拟预测）已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC，点P，Q，T分别在棱BB1，CC1和AB上，且B1P=3BP，CQ=3C1Q，BT=3AT，则平面PQT截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【变式6-2】（2023·宁夏银川·校联考二模）2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一届世界杯是1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知半径为3的某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，AC⊥BC，AC=BC=4，PC=6，则该鞠（球）被平面PAB所截的截面圆面积为（ ）
A．7πB．233πC．8πD．253π
【变式6-3】（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，O2,O1为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r=2，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（ ）

A．2πB．135πC．145πD．165π
【题型7 空间几何体的外接球问题】
【例7】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=23，A1B1=6，AA1=42，则正三棱台ABC-A1B1C1的外接球表面积为（ ）

A．64B．64πC．256π3D．64π3
【变式7-1】（2023·浙江杭州·统考一模）空间中四个点A、B、C、M满足AB=BC=AC=3，CM=23，且直线CM与平面ABC所成的角为π3，则三棱锥A-MBC的外接球体积最大为（ ）
A．36πB．48πC．323πD．483π
【变式7-2】（2023·浙江温州·统考模拟预测）在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2，BD=BC=2，则三棱锥A-BCD外接球表面积的最小值为（ ）
A．25-2πB．25-1πC．25+1πD．25+2π
【变式7-3】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥P-ABC中，PA=AB，PA⊥平面ABC，∠ABC=π2，AB+BC=6，则三棱锥P-ABC外接球体积的最小值为（ ）
A．86πB．166πC．246πD．326π
【题型8 空间几何体的内切球问题】
【例8】（2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球的O球面上，底面△ABC是边长为3的等边三角形．若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则r=（ ）
A．1B．13-14C．32D．313-114
【变式8-1】（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为V1，它的内切球的体积为V2，则V1:V2=（ ）
A．2:3B．22:3
C．3:2D．2:1
【变式8-2】（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）在底面是边长为4的正方形的四棱锥P-ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为32，则四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A．617B．516C．413D．718
【变式8-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为26，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A．6πB．9πC．31π4D．21π
1．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（ ）
A．πB．6πC．3πD．36π
2．（2022·北京·统考高考真题）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T={Q∈SPQ≤5}，则T表示的区域的面积为（ ）
A．3π4B．πC．2πD．3π
3．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23B．24C．26D．27
4．（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（7≈2.65）（ ）
A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3
5．（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为0.99m的球体
B．所有棱长均为1.4m的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
6．（2023·全国·统考高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA= ．
7．（2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 ．
8．（2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
9．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=2，则该棱台的体积为 ．
10．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．