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【二轮复习】高考数学 专题7.3 空间角与空间中的距离问题（题型专练）（新高考专用）.zip
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这是一份【二轮复习】高考数学 专题7.3 空间角与空间中的距离问题（题型专练）（新高考专用）.zip，文件包含二轮复习高考数学专题73空间角与空间中的距离问题题型专练新高考专用原卷版docx、二轮复习高考数学专题73空间角与空间中的距离问题题型专练新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10761" 【题型1 几何法求异面直线所成的角】 PAGEREF _Tc10761 \h 3
\l "_Tc21057" 【题型2 向量法求异面直线所成的角】 PAGEREF _Tc21057 \h 3
\l "_Tc9937" 【题型3 几何法求线面角】 PAGEREF _Tc9937 \h 5
\l "_Tc27947" 【题型4 向量法求线面角】 PAGEREF _Tc27947 \h 6
\l "_Tc2797" 【题型5 几何法求二面角】 PAGEREF _Tc2797 \h 8
\l "_Tc26724" 【题型6 向量法求二面角】 PAGEREF _Tc26724 \h 10
\l "_Tc20533" 【题型7 几何法求点、线、面距离】 PAGEREF _Tc20533 \h 12
\l "_Tc27349" 【题型8 向量法求点、线、面距离】 PAGEREF _Tc27349 \h 14
\l "_Tc27825" 【题型9 立体几何中的探索性问题】 PAGEREF _Tc27825 \h 16
1、空间角与空间中的距离问题
空间角与空间中的距离问题是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，空间角与点、线、面距离问题通常在选择题、多选题及解答题的第二小问考查，难度中等.在高考二轮复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用，学会灵活求解.
【知识点1 几何法求空间角】
1.几何法求异面直线所成的角
(1)求异面直线所成角一般步骤：
①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；
②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；
③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；
④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.
(2)可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).
2.几何法求线面角
(1)垂线法求线面角(也称直接法)：
①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；
②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.
(2)公式法求线面角(也称等体积法)：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.
公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.
3.几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
【知识点2 用向量法求空间角的解题策略】
1.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
2.向量法求直线与平面所成角的主要方法:
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
3.向量法求二面角的解题思路:
用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.
【知识点3 空间距离的求解策略】
1.向量法求点到直线距离的步骤：
(1)根据图形求出直线的单位方向向量.
(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量.
(3)垂线段长度.
2.求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离.
②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求.
③等体积法.
④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为.
【题型1 几何法求异面直线所成的角】
【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）在正四面体ABCD中，E，F 是棱BC，AB的中点，则异面直线 DE 与CF 所成角的余弦值是（ ）
A．55B．255C．16D．356
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，△SAB是等边三角形，点D为AB的三等分点且靠近点B，点E为BS的中点，则异面直线AS与DE所成角的余弦值为（ ）
A．54B．64C．104D．114
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，点E为正方形ABB1A1的中心，点F为棱CC1的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ）
A．25B．35C．255D．55
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=6，点E在线段C1D1上，且2D1E=EC1，M为线段BE的中点，若BE=214，则异面直线AD1与CM所成角的余弦值为（ ）
A．23535B．33535C．3517D．43535
【题型2 向量法求异面直线所成的角】
【例2】（2023·新疆乌鲁木齐·乌市一中校考三模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，AD=1，AB=2，△PAB是等腰三角形，点E是棱PB的中点，则异面直线EC与PD所成角的余弦值是（ ）
A．33B．63C．64D．22
【变式2-1】（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥面ACC1A1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A．225B．53C．55D．35
【变式2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是边长为2的等边三角形，AC=BC=2，若三棱锥P-ABC的体积等于33时，异面直线PA与BC所成角的余弦值为（ ）
A．33B．34C．24D．23
【变式2-3】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示，AB=4,BC=3,AC=5,D为棱AB的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线A1D和B1C所成的角的余弦值为（ ）
A．325B．25C．425D．16225
【题型3 几何法求线面角】
【例3】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB,D为棱A1C1的中点，则直线AD与平面B1BCC1所成角的正弦值为（ ）
A．5134B．5117C．175D．176
【变式3-1】（2023·河南开封·统考模拟预测）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（ ）
A．直线BC1与A1C所成的角为60°B．直线BC1与AB1所成的角为45°
C．直线BC1与平面ABB1A1所成的角为60°D．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°
【变式3-2】（2023·贵州贵阳·校联考三模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=60°，则AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值等于（ ）
A．22B．32C．64D．104
【变式3-3】（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别是棱AD，B1C1的中点．若点P为侧面正方形ADD1A1内（含边界）的动点，且B1P//平面BEF，则B1P与侧面ADD1A1所成角的正切值最大为（ ）
A．2B．1C．52D．5
【题型4 向量法求线面角】
【例4】（2023·陕西西安·统考一模）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点E在线段DD1上.
(1)求证：AC⊥BE；
(2)当E是DD1的中点时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值.
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，△PAB是等边三角形，M为侧棱PB的中点，且AD=DC=2，AB=4.
(1)求证：CM//平面PAD；
(2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.
【变式4-2】（2023·广西·模拟预测）如图，在四棱锥E-ABCD中，E为顶点，底面ABCD为正方形，设面ABE与面DCE交于交线l.
(1)求证：CD//l；
(2)若在l上有一点F，AB=2EF=4，ED=FC，AF=33，平面CDE⊥平ABCD，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值.
【变式4-3】（2023·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥C-ABDE中，DE⊥平面BCD，AB=AD=23，BD=4，DE=22．
(1)求证：AE//平面BCD；
(2)若BC⊥CD，二面角A-BC-D的正切值为22，求直线CE与平面ABC所成角的正弦值．
【题型5 几何法求二面角】
【例5】（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）如图，已知PD⊥平面ABCD,CD=2AB=2AD=2,AB//CD,AD⊥CD,PC与底面ABCD所成角为θ，且tanθ=62．
(1)求证：CB⊥平面PBD；
(2)求二面角P-BC-D的大小．
【变式5-1】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在线段AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.
(1)证明：AC1⊥A1B；
(2)设直线AA1到平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-BC-B1的大小.
【变式5-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC,△ABC为正三角形，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，D为BC的中点.
(1)求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
(2)取AB的中点E，连接CE,C1E，求二面角C-AB-C1的余弦值.
【变式5-3】（2023·四川乐山·统考一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=λCD，点E在棱PC上，PA//平面EBD.
(1)试确定点E的位置，并说明理由；
(2)求平面PBC与平面PDB所成锐二面角的余弦值的取值范围.
【题型6 向量法求二面角】
【例6】（2023·全国·模拟预测）如图，AC=1，AA1=BB1=BC=2，CC1=22，AB=3，AA1∥BB1∥CC1，A1C1⊥BC．
(1)求证：平面A1C1CA⊥平面ABC；
(2)若AA1⊥AC，求二面角A1-C1B1-A的余弦值．
【变式6-1】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等边三角形，AB=AA1=6，∠ABB1=60°，D，E，F分别为BB1，CC1，BC的中点.
(1)在线段AA1上找一点G，使FG//平面A1DE，并说明理由；
(2)若平面AA1B1B⊥平面ABC，求平面A1DE与平面ABC所成二面角的正弦值.
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=2，AB=PC =5.
(1)求点B到平面PAC的距离；
(2)设点E为线段PB的中点，求二面角A-CE-B的正弦值.
【变式6-3】（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB⊥BC,AB=3,BC=4,E为边AD上的点，且AE=1.将△ABE沿BE翻折，使得点A到A1，满足平面A1BE⊥平面BCDE，连接A1C,A1D.
(1)求证：平面A1BC⊥平面A1EC；
(2)求二面角B-A1C-D的正弦值的大小.
【题型7 几何法求点、线、面距离】
【例7】（2023·陕西西安·统考一模）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点E在线段DD1上.
(1)求证：AC⊥BE；
(2)当E是DD1的中点时，求点D到平面BC1E的距离.
【变式7-1】（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=3,∠CAB=30∘，且AC⊥BC.
(1)求直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积与体积；
(2)求证：BC //平面AB1C1，并求出BC到平面AB1C1的距离.
【变式7-2】（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为3.
(1)证明：平面ADF1 //平面A1BC；
(2)求平面ADF1与平面A1BC间的距离.
【变式7-3】（2023·陕西商洛·统考一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，且D为棱AB的中点.
(1)证明：AB⊥平面CC1D；
(2)若2AA1=3AB=6，求点B1到平面ABC1的距离.
【题型8 向量法求点、线、面距离】
【例8】（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDQP中，平面ADQP⊥平面ABCD，四边形ADQP是边长为2的正方形，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，BC=4，∠ABC=60°．
(1)求点P到平面CDQ的距离；
(2)求二面角P-CD-B的余弦值．
【变式8-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段B1D1上动点．
(1)证明：CP ∥平面A1BD；
(2)当直线BP与平面A1BCD1所成的角正弦值为36时，求点D到平面A1BP的距离．
【变式8-2】（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=AD=1,CD=2,DE=EC，沿AE将△ADE折成△APE，如图2所示，连接PB,PC，得到四棱锥P-ABCE.
(1)若平面PAE∩平面PBC=l，求证： l//BC；
(2)若点T是PC的中点，求点T到直线EB的距离的取值范围.
【变式8-3】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=2，四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC=4，M为PC中点，E在线段BC上，且BE=1.
(1)求证：DM//平面PAB；
(2)求平面PDE与平面BDE夹角的余弦值；
(3)求点E到平面PDC的距离.
【题型9 立体几何中的探索性问题】
【例9】（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面A1ACC1为矩形，∠A1AB=2π3，三棱锥C1-ABC的体积为233．
(1)求侧棱AA1的长；
(2)侧棱CC1上是否存在点E，使得直线AE与平面A1BC所成角的正弦值为55？若存在，求出线段C1E的长；若不存在，请说明理由．
【变式9-1】（2023·陕西榆林·统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，BD⊥PC，∠ABC=60∘，四边形ABCD是菱形，PB=2AB=2PA，E是棱PD上的动点，且PE=λPD．
(1)证明:PA⊥平面ABCD．
(2)是否存在实数λ，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是21919?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=90°，P为AB边上一动点，PD//BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA'.
(1)证明：平面CBA'⊥平面PBA'；
(2)若PB=CB=2PD=4，且A'P⊥AP，线段A'C上是否存在一点E（不包括端点），使得锐二面角E-BD-C的余弦值为31414，若存在求出A'EEC的值，若不存在请说明理由.
【变式9-3】（2023·天津·校联考一模）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA//DQ，PA=AD=3DQ=3，点E、F分别为线段PB、CQ的中点．
(1)求证：EF//平面PADQ；
(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；
(3)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是427，若存在求出PMMC的值，若不存在，说明理由．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．15B．25C．35D．25
2．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A．102mB．112m
C．117mD．125m
3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1，E，F分别是棱BC,A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F-BC-A的平面角为γ，则（ ）
A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β
4．（2022·全国·统考高考真题）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（ ）
A．AB=2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC=CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
5．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43π
C．AC=22D．△PAC的面积为3
6．（2022·全国·统考高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（ ）
A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
7．（2023·天津·统考高考真题）如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1，M为BC中点.，N为AB的中点，
(1)求证：A1N//平面AMC1；
(2)求平面AMC1与平面ACC1A1所成夹角的余弦值；
(3)求点C到平面AMC1的距离．
8．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90°,AA1=2，A1到平面BCC1B1的距离为1．
(1)证明：A1C=AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
9．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)证明：EF//平面ADO；
(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；
(3)求二面角D-AO-C的正弦值.
10．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．
(1)求A到平面A1BC的距离；
(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10761" 【题型1 几何法求异面直线所成的角】 PAGEREF _Tc10761 \h 3
\l "_Tc21057" 【题型2 向量法求异面直线所成的角】 PAGEREF _Tc21057 \h 3
\l "_Tc9937" 【题型3 几何法求线面角】 PAGEREF _Tc9937 \h 5
\l "_Tc27947" 【题型4 向量法求线面角】 PAGEREF _Tc27947 \h 6
\l "_Tc2797" 【题型5 几何法求二面角】 PAGEREF _Tc2797 \h 8
\l "_Tc26724" 【题型6 向量法求二面角】 PAGEREF _Tc26724 \h 10
\l "_Tc20533" 【题型7 几何法求点、线、面距离】 PAGEREF _Tc20533 \h 12
\l "_Tc27349" 【题型8 向量法求点、线、面距离】 PAGEREF _Tc27349 \h 14
\l "_Tc27825" 【题型9 立体几何中的探索性问题】 PAGEREF _Tc27825 \h 16
1、空间角与空间中的距离问题
空间角与空间中的距离问题是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，空间角与点、线、面距离问题通常在选择题、多选题及解答题的第二小问考查，难度中等.在高考二轮复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用，学会灵活求解.
【知识点1 几何法求空间角】
1.几何法求异面直线所成的角
(1)求异面直线所成角一般步骤：
①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；
②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；
③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；
④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.
(2)可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).
2.几何法求线面角
(1)垂线法求线面角(也称直接法)：
①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；
②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.
(2)公式法求线面角(也称等体积法)：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.
公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.
3.几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
【知识点2 用向量法求空间角的解题策略】
1.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
2.向量法求直线与平面所成角的主要方法:
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
3.向量法求二面角的解题思路:
用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.
【知识点3 空间距离的求解策略】
1.向量法求点到直线距离的步骤：
(1)根据图形求出直线的单位方向向量.
(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量.
(3)垂线段长度.
2.求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离.
②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求.
③等体积法.
④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为.
【题型1 几何法求异面直线所成的角】
【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）在正四面体ABCD中，E，F 是棱BC，AB的中点，则异面直线 DE 与CF 所成角的余弦值是（ ）
A．55B．255C．16D．356
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，△SAB是等边三角形，点D为AB的三等分点且靠近点B，点E为BS的中点，则异面直线AS与DE所成角的余弦值为（ ）
A．54B．64C．104D．114
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，点E为正方形ABB1A1的中心，点F为棱CC1的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ）
A．25B．35C．255D．55
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=6，点E在线段C1D1上，且2D1E=EC1，M为线段BE的中点，若BE=214，则异面直线AD1与CM所成角的余弦值为（ ）
A．23535B．33535C．3517D．43535
【题型2 向量法求异面直线所成的角】
【例2】（2023·新疆乌鲁木齐·乌市一中校考三模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，AD=1，AB=2，△PAB是等腰三角形，点E是棱PB的中点，则异面直线EC与PD所成角的余弦值是（ ）
A．33B．63C．64D．22
【变式2-1】（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥面ACC1A1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A．225B．53C．55D．35
【变式2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是边长为2的等边三角形，AC=BC=2，若三棱锥P-ABC的体积等于33时，异面直线PA与BC所成角的余弦值为（ ）
A．33B．34C．24D．23
【变式2-3】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示，AB=4,BC=3,AC=5,D为棱AB的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线A1D和B1C所成的角的余弦值为（ ）
A．325B．25C．425D．16225
【题型3 几何法求线面角】
【例3】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB,D为棱A1C1的中点，则直线AD与平面B1BCC1所成角的正弦值为（ ）
A．5134B．5117C．175D．176
【变式3-1】（2023·河南开封·统考模拟预测）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（ ）
A．直线BC1与A1C所成的角为60°B．直线BC1与AB1所成的角为45°
C．直线BC1与平面ABB1A1所成的角为60°D．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°
【变式3-2】（2023·贵州贵阳·校联考三模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=60°，则AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值等于（ ）
A．22B．32C．64D．104
【变式3-3】（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别是棱AD，B1C1的中点．若点P为侧面正方形ADD1A1内（含边界）的动点，且B1P//平面BEF，则B1P与侧面ADD1A1所成角的正切值最大为（ ）
A．2B．1C．52D．5
【题型4 向量法求线面角】
【例4】（2023·陕西西安·统考一模）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点E在线段DD1上.
(1)求证：AC⊥BE；
(2)当E是DD1的中点时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值.
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，△PAB是等边三角形，M为侧棱PB的中点，且AD=DC=2，AB=4.
(1)求证：CM//平面PAD；
(2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.
【变式4-2】（2023·广西·模拟预测）如图，在四棱锥E-ABCD中，E为顶点，底面ABCD为正方形，设面ABE与面DCE交于交线l.
(1)求证：CD//l；
(2)若在l上有一点F，AB=2EF=4，ED=FC，AF=33，平面CDE⊥平ABCD，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值.
【变式4-3】（2023·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥C-ABDE中，DE⊥平面BCD，AB=AD=23，BD=4，DE=22．
(1)求证：AE//平面BCD；
(2)若BC⊥CD，二面角A-BC-D的正切值为22，求直线CE与平面ABC所成角的正弦值．
【题型5 几何法求二面角】
【例5】（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）如图，已知PD⊥平面ABCD,CD=2AB=2AD=2,AB//CD,AD⊥CD,PC与底面ABCD所成角为θ，且tanθ=62．
(1)求证：CB⊥平面PBD；
(2)求二面角P-BC-D的大小．
【变式5-1】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在线段AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.
(1)证明：AC1⊥A1B；
(2)设直线AA1到平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-BC-B1的大小.
【变式5-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC,△ABC为正三角形，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，D为BC的中点.
(1)求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
(2)取AB的中点E，连接CE,C1E，求二面角C-AB-C1的余弦值.
【变式5-3】（2023·四川乐山·统考一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=λCD，点E在棱PC上，PA//平面EBD.
(1)试确定点E的位置，并说明理由；
(2)求平面PBC与平面PDB所成锐二面角的余弦值的取值范围.
【题型6 向量法求二面角】
【例6】（2023·全国·模拟预测）如图，AC=1，AA1=BB1=BC=2，CC1=22，AB=3，AA1∥BB1∥CC1，A1C1⊥BC．
(1)求证：平面A1C1CA⊥平面ABC；
(2)若AA1⊥AC，求二面角A1-C1B1-A的余弦值．
【变式6-1】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等边三角形，AB=AA1=6，∠ABB1=60°，D，E，F分别为BB1，CC1，BC的中点.
(1)在线段AA1上找一点G，使FG//平面A1DE，并说明理由；
(2)若平面AA1B1B⊥平面ABC，求平面A1DE与平面ABC所成二面角的正弦值.
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=2，AB=PC =5.
(1)求点B到平面PAC的距离；
(2)设点E为线段PB的中点，求二面角A-CE-B的正弦值.
【变式6-3】（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB⊥BC,AB=3,BC=4,E为边AD上的点，且AE=1.将△ABE沿BE翻折，使得点A到A1，满足平面A1BE⊥平面BCDE，连接A1C,A1D.
(1)求证：平面A1BC⊥平面A1EC；
(2)求二面角B-A1C-D的正弦值的大小.
【题型7 几何法求点、线、面距离】
【例7】（2023·陕西西安·统考一模）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点E在线段DD1上.
(1)求证：AC⊥BE；
(2)当E是DD1的中点时，求点D到平面BC1E的距离.
【变式7-1】（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=3,∠CAB=30∘，且AC⊥BC.
(1)求直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积与体积；
(2)求证：BC //平面AB1C1，并求出BC到平面AB1C1的距离.
【变式7-2】（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为3.
(1)证明：平面ADF1 //平面A1BC；
(2)求平面ADF1与平面A1BC间的距离.
【变式7-3】（2023·陕西商洛·统考一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，且D为棱AB的中点.
(1)证明：AB⊥平面CC1D；
(2)若2AA1=3AB=6，求点B1到平面ABC1的距离.
【题型8 向量法求点、线、面距离】
【例8】（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDQP中，平面ADQP⊥平面ABCD，四边形ADQP是边长为2的正方形，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，BC=4，∠ABC=60°．
(1)求点P到平面CDQ的距离；
(2)求二面角P-CD-B的余弦值．
【变式8-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段B1D1上动点．
(1)证明：CP ∥平面A1BD；
(2)当直线BP与平面A1BCD1所成的角正弦值为36时，求点D到平面A1BP的距离．
【变式8-2】（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=AD=1,CD=2,DE=EC，沿AE将△ADE折成△APE，如图2所示，连接PB,PC，得到四棱锥P-ABCE.
(1)若平面PAE∩平面PBC=l，求证： l//BC；
(2)若点T是PC的中点，求点T到直线EB的距离的取值范围.
【变式8-3】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=2，四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC=4，M为PC中点，E在线段BC上，且BE=1.
(1)求证：DM//平面PAB；
(2)求平面PDE与平面BDE夹角的余弦值；
(3)求点E到平面PDC的距离.
【题型9 立体几何中的探索性问题】
【例9】（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面A1ACC1为矩形，∠A1AB=2π3，三棱锥C1-ABC的体积为233．
(1)求侧棱AA1的长；
(2)侧棱CC1上是否存在点E，使得直线AE与平面A1BC所成角的正弦值为55？若存在，求出线段C1E的长；若不存在，请说明理由．
【变式9-1】（2023·陕西榆林·统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，BD⊥PC，∠ABC=60∘，四边形ABCD是菱形，PB=2AB=2PA，E是棱PD上的动点，且PE=λPD．
(1)证明:PA⊥平面ABCD．
(2)是否存在实数λ，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是21919?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=90°，P为AB边上一动点，PD//BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA'.
(1)证明：平面CBA'⊥平面PBA'；
(2)若PB=CB=2PD=4，且A'P⊥AP，线段A'C上是否存在一点E（不包括端点），使得锐二面角E-BD-C的余弦值为31414，若存在求出A'EEC的值，若不存在请说明理由.
【变式9-3】（2023·天津·校联考一模）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA//DQ，PA=AD=3DQ=3，点E、F分别为线段PB、CQ的中点．
(1)求证：EF//平面PADQ；
(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；
(3)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是427，若存在求出PMMC的值，若不存在，说明理由．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．15B．25C．35D．25
2．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A．102mB．112m
C．117mD．125m
3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1，E，F分别是棱BC,A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F-BC-A的平面角为γ，则（ ）
A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β
4．（2022·全国·统考高考真题）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（ ）
A．AB=2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC=CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
5．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43π
C．AC=22D．△PAC的面积为3
6．（2022·全国·统考高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（ ）
A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
7．（2023·天津·统考高考真题）如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1，M为BC中点.，N为AB的中点，
(1)求证：A1N//平面AMC1；
(2)求平面AMC1与平面ACC1A1所成夹角的余弦值；
(3)求点C到平面AMC1的距离．
8．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90°,AA1=2，A1到平面BCC1B1的距离为1．
(1)证明：A1C=AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
9．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)证明：EF//平面ADO；
(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；
(3)求二面角D-AO-C的正弦值.
10．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．
(1)求A到平面A1BC的距离；
(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．
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