【二轮复习】高考数学 专题8.1 直线与圆综合（题型专练）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc16194" 【题型1 直线方程、倾斜角与斜率的求解】 PAGEREF _Tc16194 \h 3
\l "_Tc5747" 【题型2 直线的平行与垂直问题】 PAGEREF _Tc5747 \h 5
\l "_Tc29414" 【题型3 圆的方程的求解】 PAGEREF _Tc29414 \h 7
\l "_Tc21031" 【题型4 圆的切线长与切线方程问题】 PAGEREF _Tc21031 \h 8
\l "_Tc18052" 【题型5 圆的弦长与中点弦问题】 PAGEREF _Tc18052 \h 11
\l "_Tc9026" 【题型6 直线与圆有关的最值问题】 PAGEREF _Tc9026 \h 13
\l "_Tc20215" 【题型7 两圆的公共弦问题】 PAGEREF _Tc20215 \h 16
\l "_Tc30646" 【题型8 两圆的公切线长、公切线方程或条数问题】 PAGEREF _Tc30646 \h 18
1、直线与圆综合
直线与圆是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，直线的方程、点到直线的距离公式、圆的方程等多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长等，多以选择题或填空题的形式考查；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解.
【知识点1 平行和垂直的直线的设法】
1.平行的直线的设法
平行：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Ax+By+m=0.
2.垂直的直线的设法
垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
【知识点2 距离公式】
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
【知识点3 直线与圆相交时的弦长求法】
1.圆的弦长的求法：
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【知识点4 圆的切线及切线方程问题】
1.自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2.求过圆上的一点的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【知识点5 两圆的公切线问题】
1.两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
2.两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系.
3.求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
【题型1 直线方程、倾斜角与斜率的求解】
【例1】（2023·安徽合肥·三模）已知直线l的一个方向向量为p=sinπ3,csπ3，则直线l的倾斜角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．4π3
【解题思路】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.
【解答过程】由题意可得：直线l的斜率k=csπ3sinπ3=33=tanπ6，即直线l的倾斜角为π6.
故选：A.
【变式1-1】（2023·山西太原·模拟预测）已知点A(2,3)，B(-3,-2)与直线l:kx-y-k+1=0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．k≥2或k≤34B．k≥34或k≤-14C．-4≤k≤34D．34≤k≤2
【解题思路】直线l经过定点M(1,1)，求得MA、MB的斜率，再数形结合可得直线l的斜率k的取值范围.
【解答过程】解：已知点A(2,3)，B(-3,-2)与直线l:kx-y-k+1=0，且直线l与线段AB相交，
直线l:kx-y-k+1=0，即直线l:k(x-1)-y+1=0，它经过定点M(1,1)，
MA的斜率为3-12-1=2，MB的斜率为-2-1-3-1=34，
则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤34，
故选：A.
【变式1-2】（2023·广东珠海·模拟预测）过点P-1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（ ）
A．x-2y+5=0B．x+2y-3=0
C．2x-y+4=0D．2x+y=0
【解题思路】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】直线x+2y+3=0的斜率为-12，故所求直线的斜率为2，
所以，过点P-1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是y-2=2x+1，
即2x-y+4=0.
故选：C.
【变式1-3】（2023·吉林·模拟预测）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，则AB边上的高所在的直线方程是（ ）
A．2x+y-7=0B．2x-y-1=0
C．x+2y-8=0D．x-2y+4=0
【解题思路】设AB边上的高所在的直线为l，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
【解答过程】设AB边上的高所在的直线为l，
由已知可得，kAB=1-21-3=12，所以直线l的斜率kl=-2.
又l过C2,3，所以l的方程为y-3=-2x-2，
整理可得，2x+y-7=0.
故选：A.
【题型2 直线的平行与垂直问题】
【例2】（2023·安徽蚌埠·三模）已知直线l 1：ax+2y+1=0，l 2：3-ax-y+a=0，则条件“a=1”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件
【解题思路】根据两直线垂直的性质，可得3-a×-a2=-1，求出a的值，即可判断.
【解答过程】若l1⊥l2，则3-a×-a2=-1，
解得a=1或a=2.
故a=1是l1⊥l2的充分不必要条件.
故选：B.
【变式2-1】（2023·上海松江·二模）已知直线l1:ax+y+1=0与直线l2:x+ay-2=0，则“l1//l2”是“a=1”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【解题思路】由l1//l2，求得a=±1，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【解答过程】由题意，直线l1:ax+y+1=0，直线l2:x+ay-2=0，
因为l1//l2，可得a×a=1×1,a≠-2，即a2=1，解得a=±1，
所以“l1//l2”是“a=1”的必要非充分条件.
故选：B.
【变式2-2】（2023·贵州毕节·模拟预测）直线l1:x+1+ay=1-aa∈R，直线l2:y=-12x，下列说法正确的是（ ）
A．∃a∈R，使得l1∥l2B．∃a∈R，使得l1⊥l2
C．∀a∈R，l1与l2都相交D．∃a∈R，使得原点到l1的距离为3
【解题思路】对A，要使l1∥l2，则k1∥k2，所以-11+a=-12，解之再验证即可判断；
对B，要使l1⊥l2，k1⋅k2=-1，-11+a=-12，解之再验证即可判断；
对C，当a=1时，l1与l2重合，即可判断；
对D，根据点到直线距离列方程即可判断.
【解答过程】对A，要使l1∥l2，则k1∥k2，所以-11+a=-12，解之得a=1，此时l1与l2重合，选项A错误；
对B，要使l1⊥l2，k1⋅k2=-1，-11+a⋅-12=-1，解之得a=-32，所以B正确；
对C，l1:x+1+ay=1-a过定点2,-1，该定点在l2上，但是当a=1时，l1与l2重合，所以C错误；
对D，d=Ax0+By0+CA2+B2=1-a12+1+a2=3，化简得8a2-20a+17=0，此方程Δ<0，a无实数解，所以D错误.
故选：B.
【变式2-3】（2023·贵州毕节·模拟预测）直线l1:x+1+ay=1-aa∈R，直线l2:y=-12x，给出下列命题：
①∃a∈R，使得l1//l2； ②∃a∈R，使得l1⊥l2；
③∀a∈R，l1与l2都相交； ④∃a∈R，使得原点到l1的距离为2.
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
【解题思路】利用两直线平行可得出关于a的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数a的值，可判断②；取a=1可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.
【解答过程】对于①，若l1//l2，则-1a+1=-121-a≠0，该方程组无解，①错；
对于②，若l1⊥l2，则-11+a⋅-12=-1，解得a=-32，②对；
对于③，当a=1时，直线l1的方程为x+2y=0，即y=-12x，此时，l1、l2重合，③错；
对于④，直线l1的方程为x+a+1y+a-1=0，
若∃a∈R，使得原点到l1的距离为2，则a-11+a+12=2，整理可得3a2-10a+7=0，
Δ=100-4×3×7>0，方程3a2-10a+7=0有解，④对.
故选：C.
【题型3 圆的方程的求解】
【例3】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=x2-5x+4的图像与坐标轴交于点A，B，C，则过A，B，C三点的圆的方程为 x-522+y-522=172 ．
【解题思路】用圆的标准方程即可求解.
【解答过程】函数f(x)=x2-5x+4的图像与坐标轴的交点分别为A(1,0)，B(4,0)，C(0,4)，
则线段AC的垂直平分线为y-2=14x-12，线段AB的垂直平分线为x=52．
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为52,52，半径r=52-12+522=342，
所以所求圆的方程为x-522+y-522=172．
故答案为：x-522+y-522=172.
【变式3-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知圆C上的点A2,0关于直线x+3y-6=0的对称点仍然在这个圆上，且圆C的圆心在x轴上，则圆C的标准方程是 (x-6)2+y2=16 .
【解题思路】由题意可知直线x+3y-6=0过圆心，进而求圆心和半径，即可得圆的方程.
【解答过程】由题意可知直线x+3y-6=0过圆心，且直线x+3y-6=0与x轴的交点为(6,0)，
则C(6,0)，可得r=CA=4，所以圆C的标准方程是(x-6)2+y2=16.
故答案为：(x-6)2+y2=16.
【变式3-2】（2023·广东揭阳·模拟预测）写出一个经过原点，截y轴所得弦长是截x轴所得弦长2倍的圆的标准方程为 (x-1)2+(y-2)2=5（答案不唯一 .
【解题思路】设出圆截x轴所得弦的端点坐标，求出圆心坐标，再求出圆的标准方程作答.
【解答过程】显然圆截x轴、y轴所得弦的一个端点为O(0,0)，
设圆截x轴所得弦的另一端点为A(a,0),a≠0，则该圆截y轴所得弦的另一端点为B(0,2a)或B(0,-2a)，
因此该圆的圆心C(a2,a)或C(a2,-a)，半径r=(a2)2+a2=52|a|，
所以该圆的标准方程为(x-a2)2+(y-a)2=54a2或(x-a2)2+(y+a)2=54a2，
取a=2，得圆的一个标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
故答案为：(x-1)2+(y-2)2=5.
【变式3-3】（2023·陕西安康·模拟预测）已知抛物线y=x2+2x-3的顶点为P，与坐标轴交于A,B,C三点，则过四点A,B,C,P中的三点的一个圆的标准方程为 (x+1)2+(y+1)2=5（答案不唯一） .
【解题思路】由抛物下方程求得P、A、B、C四点坐标，任取三点代入圆的一般方程计算并化简为标准方程即可.
【解答过程】令y=0，则x2+2x-3=0，
解得x1=1,x2=-3，不妨设A1,0,B-3,0；
令x=0，得y=-3，则C0,-3；抛物线的顶点P的坐标为P-1,-4.
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0.
当圆过A,B,C三点时，1+D+F=09-3D+F=09-3E+F=0⇒D=2E=2F=-3,
所以圆的方程为x2+y2+2x+2y-3=0⇒x+12+y+12=5.
当圆过B,C,P三点时，17-D-4E+F=09-3D+F=09-3E+F=0⇒D=4E=4F=3,
所以圆的方程为x2+y2+4x+4y+3=0⇒x+22+y+22=5.
当圆过A,B,P三点时，1+D+F=09-3D+F=017-D-4E+F=0⇒D=2E=3F=-3,
所以圆的程为x2+y2+2x+3y-3=0⇒x+12+y+322=254.
当圆过A,C,P三点时，1+D+F=017-D-4E+F=09-3E+F=0⇒D=8E=0F=-9,
当圆过A,C,P三点方程为x2+y2+8x-9=0⇒x+42+y2=25.
故答案为：(x+1)2+(y+1)2=5（答案不唯一）.
【题型4 圆的切线长与切线方程问题】
【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知圆O:x2+y2=4和点A4,4，由圆外一点P向圆O引切线，切点分别为M､N，若AP=PM=PN，则OP的最小值是（ ）
A．724B．722C．924D．922
【解题思路】设Px,y，利用OP2=OM2+PM2=4+PM2=4+PA2可得x+y=92，再由OP=x2+y2利用配方法可得答案.
【解答过程】设Px,y，连接OM，则OM⊥PM，可得OM2+PM2=OP2，
所以OP2=OM2+PM2=4+PM2=4+PA2，
即4+x-42+y-42=x2+y2，可得x+y=92，
所以OP=x2+y2=x2+92-x2=2x-942+818，
当x=94时，OP≥924.
故选：C.
【变式4-1】（2023·北京通州·三模）过直线y=x上的一点P作圆x-52+y-12=2的两条切线l1，l2，切点分别为A,B，当直线l1，l2关于y=x对称时，线段PA的长为（ ）
A．4B．22C．6D．2
【解题思路】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P的连线垂直于直线y=x，利用这一关系即可得到切线的长.
【解答过程】如图所示，圆心为C(5,1)，连接CP，

因为直线l1，l2关于y=x对称，所以CP垂直于直线y=x，
故CP=5-12=22，而AC=2，
所以PA=CP2-AC2=6.
故选：C.
【变式4-2】（22-23高三上·河北沧州·阶段练习）已知圆O:x2+y2=4,Mx0,y0为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A．x+y-22=0B．x+y-22=0
C．x+y-42=0D．x-y-22=0
【解题思路】利用过圆上点的切线的性质可得OM⊥l，利用点Mx0,y0表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解
【解答过程】由题意，点M在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；
点Mx0,y0在圆上，故OM⊥l，即kOMkl=-1
∵kOM=y0x0∴kl=-x0y0
故直线l的方程为：y-y0=-x0y0(x-x0)⇔x0x+y0y=x02+y02=4
令x=0,y=4x0;令y=0,x=4y0;
当l的横纵截距相等时，4x0=4y0⇔x0=y0
又x02+y02=4,x0>0,y0>0
解得：x0=2,y0=2
即2x+2y=4，即x+y-22=0
故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知点P在圆C: x-a2+y2=a2a>0．上，点A0,2，若PA的最小值为1，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．x=0或7x+24y-48=0B．x=0或7x-24y-48=0
C．x=1或24x-7y-48=0D．x=1或24x+7y-48=0
【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，根据PA的最小值为1，得到方程求出a的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.
【解答过程】由圆C方程可得圆心为Ca,0，半径r=a，因为PA的最小值为1，所以a2+4-a=1，
解得a=32，故圆C:x-322+y2=94．
若过点A0,2的切线斜率存在，
设切线方程为y=kx+2，则32k-0+21+k2=32，解得k=-724，
所以切线方程为y=-724x+2，即7x+24y-48=0；
若过点A0,2的切线斜率不存在，由圆C方程可得，圆C过坐标原点0,0，所以切线方程为x=0．
综上，过点A且与圆C相切的直线方程为x=0或7x+24y-48=0．
故选：A.
【题型5 圆的弦长与中点弦问题】
【例5】（2023·广东广州·模拟预测）直线l:y=kx-2与圆C:x2+y2-6x-7=0交于A，B两点，则AB的取值范围为（ ）
A．7,4B．27,8C．3,4D．23,8
【解题思路】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出AB的取值范围.
【解答过程】由题易知直线l:y=kx-2恒过M0,-2，
圆C:x2+y2-6x-7=0化为标准方程得C:x-32+y2=16，
即圆心为C3,0，半径r=4，
圆心到M0,-2距离CM=3-02+0+22=13<4，
所以M0,-2在圆C内，

则直线l与圆C交点弦AB最大值为直径即8，
AB最小时即为圆心到直线距离最大，
即CM⊥l时，此时AB=242-13=23，
所以AB的取值范围为23,8.
故选：D.
【变式5-1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知直线l:y=3x与圆C:x2+y2-4y=0相交于A,B两点，则△ABC的面积为（ ）
A．105B．65C．2385D．5
【解题思路】求出圆心和半径，由垂径定理得到|AB|，从而求出△ABC的面积.
【解答过程】圆C的方程为x2+(y-2)2=4，故圆心坐标为C(0,2)，半径r=2，
点C到线段AB的距离为d=|3×0-2|32+12=210，
故|AB|=2r2-d2=6105，
∴△ABC的面积S=12|AB|⋅d=65.
故选：B.
【变式5-2】（2023·陕西·一模）已知圆C：x2+y2-4x+8y=0关于直线3x-2ay-22=0对称，则圆C中以a2,-a2为中点的弦长为（ ）
A．25B．5C．10D．210
【解题思路】圆C：x2+y2-4x+8y=0关于直线3x-2ay-22=0对称，即说明直线过圆心C2,-4，可求出a=2，再由垂径定理即可求出弦长.
【解答过程】圆方程配方得x-22+y+42=20，圆心C2,-4，r=25，
∵圆C：x2+y2-4x+8y=0关于直线3x-2ay-22=0对称，
∴可知直线过圆心C2,-4，即3×2+8a-22=0，解得a=2，
故a2,-a2=1,-1，
则圆心与点1,-1的距离的平方为10，
则圆C中以1,-1为中点的弦长为2252-10=210.
故选：D.
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）如图，已知过点P1,2的两条直线分别与圆E：x2+y2-4x-6y+12=0交于点A，B和点C，D，且A，C在B，D的右侧，AB=CD=255，则AC+BD=（ ）
A．835B．435C．865D．465
【解题思路】解法一：作辅助线，求出圆心到弦的距离及PC，PD，根据三角形相似得到FC及GD，即可得结果；解法二：根据等腰梯形中位线定理得到AC+BD=2MN，求EN，PN，利用正弦函数的定义运算求解.
【解答过程】解法一：由题意可知：圆E：x-22+y-32=1，则E2,3，
连接PE，则PE=2，取CD的中点N，
设直线PE分别与AC，BD交于点F，G，连接EN，
因为AB=CD，可知直线PA,PC关于直线PE对称，
结合圆的对称性可得：EN⊥PC，PF⊥AC，GP⊥BD，
可得EN=1-552=255，PN=22-2552=305，
所以PC=30+55，PD=30-55，
又因为△PCF∽△PDG，则PCPE=FCEN，PDPE=GDEN，
可得FC=23+25，GD=23-25，
所以AC+BD=2FC+2GD=835；
解法二：由题意可得：圆E：x-22+y-32=1，则E2,3，
连接PE，则PE=2，
设AB，CD的中点分别为M，N，连接MN，
因为AB=CD，可知直线PA,PC关于直线PE对称，
结合圆的对称性可得：AC∥BD，则AC+BD=2MN，
连接EN，则EN⊥PC，所以EN=1-552=255，PN=22-2552=305，
则sin∠PEN=PNPE=155，可得MN=2EN⋅sin∠PEN=435，
所以AC+BD=835.
故选：A.

【题型6 直线与圆有关的最值问题】
【例6】（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知点P是直线l:3x+4y-2=0上的一个动点，过点P作圆C:(x+2)2+(y+3)2=12的两条切线PM,PN，其中M,N为切点，则∠MPN的最大值为（ ）
A．120°B．90°C．60°D．150°
【解题思路】根据直角三角形边与角的关系分析得到，当PC最小时，∠MPN最大，再根据当PC⊥l时，PC最小即可求解.
【解答过程】要使得∠MPN最大，则PC最小，PC的最小值即为圆心C到直线的距离．
由题意知，PM=PN，CM=CN=23，
sin∠CPM=CMPC=23PC，且∠MPN=2∠MPC，
所以∠MPN最大时，PC最小．
由题意知，|PC|min=3×-2+4×-3-232+42=4．
所以sin∠CPM=234=32，则∠CPM=60°，
即∠MPN的最大值为2×60°=120°.
故选：A．
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）已知点A是直线l:2x+y+4=0上任意一点，过点A作圆C:(x-2)2+(y-1)2=1的两条切线，切点坐标分别为M，N，则|MN|的最小值为（ ）
A．2199B．4199C．8199D．16199
【解题思路】由S四边形AMCN=2S△AMC，S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN，可得|MN|=21-1|AC|2，当|AC|最小时，MN最小，数形结合可得当AC⊥l时|AC|最小，运算得解.
【解答过程】易知当|MN|最小时，MN不经过点C，
此时S四边形AMCN=2S△AMC=2×12×|AM|×|MC|=|AM|①，
S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN=12×|AC|×|MN|②，
由①②可得|AM|=12×|AC|×|MN|，即|MN|=2|AM||AC|=2|AC|2-1|AC|=21-1|AC|2，
所以当|AC|最小时，MN最小，
又因为点A是直线l:2x+y+4=0上任意一点，
所以当AC⊥l时，|AC|取得最小值，且|AC|min=|4+1+4|5=95=955，
所以|MN|min=21-1|AC|min2=21-581=4199.
故选：B．
【变式6-2】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知直线l:x+y-3=0上的两点A,B，且AB=1，点P为圆D:x2+y2+2x-3=0上任一点，则△PAB的面积的最大值为（ ）
A．2+1B．22+2C．2-1D．22-2
【解题思路】找到圆上的点到直线距离的最大值作为△PAB的高，再由面积公式求解即可.
【解答过程】把圆D:x2+y2+2x-3=0变形为(x+1)2+y2=4，
则圆心D-1,0，半径r=2，
圆心D到直线l:x+y-3=0的距离d=1+312+12=22，
则圆D上的点到直线AB的距离的最大值为d+r=22+2，又AB=1，
∴△PAB的面积的最大值为12×22+2×1=2+1．
故选：A．
【变式6-3】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知EF是圆C:x2+y2-2x-4y+3=0的一条弦，且CE⊥CF，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线l:x-y-3=0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，则线段AB长度的最小值是（ ）
A．42-2B．42+2
C．22-1D．22+1
【解题思路】根据已知条件先确定出点P的轨迹方程，然后将问题转化为“以AB为直径的圆要包括圆(x-1)2+(y-2)2=1”，由此利用圆心C1,2到直线l的距离结合点P的轨迹所表示圆的半径可求解出AB的最小值.
【解答过程】由题可知：⊙C:(x-1)2+(y-2)2=2，圆心C1,2，半径r=2，
又CE⊥CF，P是EF的中点，所以CP=12EF=1，
所以点P的轨迹方程(x-1)2+(y-2)2=1，圆心为点C1,2，半径为R=1，
若直线l:x-y-3=0上存在两点A,B，使得∠APB≥π2恒成立，
则以AB为直径的圆要包括圆(x-1)2+(y-2)2=1，
点C1,2到直线l的距离为d=1-2-312+(-1)2=22，
所以AB长度的最小值为2d+1=42+2，
故选：B．
【题型7 两圆的公共弦问题】
【例7】（2023·河南·二模）若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A．2ax+by-1=0B．2ax+by-3=0
C．2ax+2by-1=0D．2ax+2by-3=0
【解题思路】将两圆方程相减得到直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0，然后再根据公共弦AB的长为1即可求解.
【解答过程】将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0，
即2ax+2by-a2-b2=0，
因为圆C1的圆心为(0,0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，
则C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为32，
所以a2+b24(a2+b2)=32，解得a2+b2=3，
所以直线AB的方程为2ax+2by-3=0，
故选：D.
【变式7-1】（2023·山西·模拟预测）已知圆C1:x2+(y-2)2=5和C2:(x+2)2+y2=5交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A．3B．23C．23D．223
【解题思路】先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长的求法求得AB.
【解答过程】将x2+(y-2)2=5和(x+2)2+y2=5相减得直线AB:y=-x，
点(0,2)到直线x+y=0的距离d=22=2，
所以|AB|=25-2=23．
故选：B.
【变式7-2】（2023·安徽滁州·模拟预测）已知圆O1:x2+y2=1与圆O2：x2+y2-2x+2y+F=0F<1相交所得的公共弦长为2，则圆O2的半径r=（ ）
A．1B．3C．5或1 D．5
【解题思路】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆O2圆心与半径表达式可得答案.
【解答过程】x2+y2=1与O2：x2+y2-2x+2y+F=0F<1两式相减得l:2x-2y-1-F=0，即公共弦所在直线方程.
圆O2方程可化为O2:x-12+y+12 =2-F，可得圆心O21,-1，O2半径r=2-F.则圆心O2到l的距离为d=2+2-F-14+4=3-F22，
半弦长为22，则有3-F222+222=r2=2-F，解得F=-3或F=1（舍），此时r=5 .
故选：D.
【变式7-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为x-y=0
B．公共弦AB所在直线的方程为x+y-1=0
C．公共弦AB的长为22
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值不是22+1
【解题思路】AB选项，两圆方程相减得到公共弦AB所在直线的方程；C选项，求出圆心O11,0到x-y=0的距离，进而由垂径定理求出公共弦AB的长；D选项，P到直线AB距离的最大值为圆心O1到AB距离加上圆O1的半径，求出答案.
【解答过程】AB选项，两圆方程相减得到4x-4y=0，即x-y=0，
故公共弦AB所在直线的方程为x-y=0，A正确，B错误；
C选项，O1:x2+y2-2x=0的圆心为O11,0，半径为1，
则圆心O11,0到x-y=0的距离为d=1-01+1=22，
故有垂径定理得公共弦AB的长为212-d2=2，C错误；
D选项，P为圆O1上一动点，
则P到直线AB距离的最大值为圆心O1到AB距离加上圆O1的半径，
即22+1，故D错误.
故选：A.
【题型8 两圆的公切线长、公切线方程或条数问题】
【例8】（2023·河南·模拟预测）已知直线l:xcsα+ysinα=10≤α≤2π与圆C:x-22+y-52=4相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】根据点到直线的距离公式和两圆位置关系即可求解.
【解答过程】由已知直线l:xcsα+ysinα=10≤α<2π，
则原点到直线l的距离为1sin2α+cs2α=1，
由直线l与圆C:x-22+y-52=4相切，
则满足条件的直线l即为圆x2+y2=1和圆x-22+y-52=4的公切线，
因为圆x2+y2=1和圆x-22+y-52=4外切，
所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，
所以满足条件的直线l有3条．
故选: B．
【变式8-1】（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）下列直线中，不是圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16公切线的一条直线是（ ）
A．y=-34x+54B．y=724x-2524
C．y=512x-1312D．x=-1
【解题思路】根据斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时设y=kx+m，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解.
【解答过程】当直线的斜率不存在时，设为x=m，
若直线是圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16公切线
则满足m-0=1m-3=4，所以m=-1
所以直线x=-1是圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16公切线
当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m
若直线是圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16公切线
则满足mk2+1=13k+m-4k2+1=4即m2=1+k23k+m-42=41+k2，所以3k+m-42=4m2
即3k-42-2m3k-4-15m2=0，即3k-4-3m3k-4+5m=0
所以k=724m=-2524或k=-34m=54，所以切线方程是y=724x-2524和y=-34x+54
综上：切线方程有y=724x-2524和y=-34x+54和x=-1
故选：C.
【变式8-2】（2023·山西·模拟预测）已知圆C1：x2+y-a2=a2a>0的圆心到直线x-y-2=0的距离为22，则圆C1与圆C2：x2+y2-2x-4y+4=0的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【解题思路】先根据题意求得a=2，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.
【解答过程】圆C1：x2+y-a2=a2的圆心为0,a，半径为a，
所以圆心到直线x-y-2=0的距离为d=0-a-212+12=22，解得a=2或a=-6．
因为a>0，所以a=2.
所以圆C1：x2+y-22=4的圆心为C10,2，半径为r1=2．
圆C2：x2+y2-2x-4y+4=0的标准方程为x-12+y-22=1，
圆心坐标为C21,2，半径r2=1，
圆心距d=0-12+2-22=1=r1-r2，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
【变式8-3】（2023·广西北海·一模）已知圆C1：x-32+y+42=1与C2：x-a2+y-a+32=9恰好有4条公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．-∞,0∪4,+∞B．-∞,1-6∪1+6,+∞
C．0,4D．-∞,-1∪3,+∞
【解题思路】根据两圆有4条公切线，得到两圆外离，然后根据外离列不等式，解不等式即可得a的取值范围.
【解答过程】因为圆C1：x-32+y+42=1与C2：x-a2+y-a+32=9恰好有4条公切线，所以圆C1与C2外离，所以a-32+a-3+42>4，解得a>3或a<-1，即实数a的取值范围是-∞,-1∪3,+∞.
故选：D.
1．（2023·全国·高考真题）已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（ ）
A．1+322B．4C．1+32D．7
【解题思路】法一：令x-y=k，利用判别式法即可；法二：通过整理得x-22+y-12=9，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x-y=k，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【解答过程】法一：令x-y=k，则x=k+y，
代入原式化简得2y2+2k-6y+k2-4k-4=0，
因为存在实数y，则Δ≥0，即2k-62-4×2k2-4k-4≥0，
化简得k2-2k-17≤0，解得1-32≤k≤1+32，
故x-y 的最大值是32+1，
法二：x2+y2-4x-2y-4=0，整理得x-22+y-12=9，
令x=3csθ+2，y=3sinθ+1，其中θ∈0,2π，
则x-y=3csθ-3sinθ+1=32csθ+π4+1，
∵θ∈0,2π，所以θ+π4∈π4,9π4，则θ+π4=2π，即θ=7π4时，x-y取得最大值32+1，
法三：由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9，
设x-y=k，则圆心到直线x-y=k的距离d=|2-1-k|2≤3，
解得1-32≤k≤1+32
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）过点0,-2与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（ ）
A．1B．154C．104D．64
【解题思路】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2+8k+1=0，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【解答过程】方法一：因为x2+y2-4x-1=0，即x-22+y2=5，可得圆心C2,0，半径r=5，
过点P0,-2作圆C的切线，切点为A,B，
因为PC=22+-22=22，则PA=PC2-r2=3，
可得sin∠APC=522=104,cs∠APC=322=64，
则sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcs∠APC=2×104×64=154，
cs∠APB=cs2∠APC=cs2∠APC-sin2∠APC=642-1042=-14<0，
即∠APB为钝角，
所以sinα=sinπ-∠APB=sin∠APB=154；
法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C2,0，半径r=5，
过点P0,-2作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，
可得PC=22+-22=22，则PA=PB=PC2-r2=3，
因为PA2+PB2-2PA⋅PBcs∠APB=CA2+CB2-2CA⋅CBcs∠ACB
且∠ACB=π-∠APB，则3+3-6cs∠APB=5+5-10csπ-∠APB，
即3-cs∠APB=5+5cs∠APB，解得cs∠APB=-14<0，
即∠APB为钝角，则csα=csπ-∠APB=-cs∠APB=14，
且α为锐角，所以sinα=1-cs2α=154；
方法三：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C2,0，半径r=5，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离d=2>r，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2，即kx-y-2=0，
则2k-2k2+1=5，整理得k2+8k+1=0，且Δ=64-4=60>0
设两切线斜率分别为k1,k2，则k1+k2=-8,k1k2=1，
可得k1-k2=k1+k22-4k1k2=215，
所以tanα=k1-k21+k1k2=15，即sinαcsα=15，可得csα=sinα15，
则sin2α+cs2α=sin2α+sin2α15=1，
且α∈0,π，则sinα>0，解得sinα=154.
故选：B.

3．（2022·北京·高考真题）若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴，则a=（ ）
A．12B．-12C．1D．-1
【解题思路】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【解答过程】由题可知圆心为a,0，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0-1=0，解得a=12．
故选：A．
4．（2021·全国·高考真题）已知点P在圆x-52+y-52=16上，点A4,0、B0,2，则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，PB=32
D．当∠PBA最大时，PB=32
【解题思路】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【解答过程】圆x-52+y-52=16的圆心为M5,5，半径为4，
直线AB的方程为x4+y2=1，即x+2y-4=0，
圆心M到直线AB的距离为5+2×5-412+22=115=1155>4，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为1155-4<2，最大值为1155+4<10，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
BM=0-52+2-52=34，MP=4，由勾股定理可得BP=BM2-MP2=32，CD选项正确.
故选：ACD.
5．（2023·全国·高考真题）已知直线l:x-my+1=0与⊙C:x-12+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值 2（2,-2,12,-12中任意一个皆可以） ．
【解题思路】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解出．
【解答过程】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB=24-d2，
所以S△ABC=12×d×24-d2=85，解得：d=455或d=255，
由d=1+11+m2=21+m2，所以21+m2=455或21+m2=255，解得：m=±2或m=±12．
故答案为：2（2,-2,12,-12中任意一个皆可以）．
6．（2022·天津·高考真题）若直线x-y+m=0m>0与圆x-12+y-12=3相交所得的弦长为m，则m= 2 ．
【解题思路】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值.
【解答过程】圆x-12+y-12=3的圆心坐标为1,1，半径为3，
圆心到直线x-y+m=0m>0的距离为1-1+m2=m2，
由勾股定理可得m22+m22=3，因为m>0，解得m=2.
故答案为：2.
7．（2022·全国·高考真题）设点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是 13,32 ．
【解题思路】首先求出点A关于y=a对称点A'的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【解答过程】解：A-2,3关于y=a对称的点的坐标为A'-2,2a-3，B0,a在直线y=a上，
所以A'B所在直线即为直线l，所以直线l为y=a-3-2x+a，即a-3x+2y-2a=0；
圆C:x+32+y+22=1，圆心C-3,-2，半径r=1，
依题意圆心到直线l的距离d=-3a-3-4-2aa-32+22≤1，
即5-5a2≤a-32+22，解得13≤a≤32，即a∈13,32；
故答案为：13,32.
8．（2022·全国·高考真题）设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为 (x-1)2+(y+1)2=5 ．
【解题思路】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【解答过程】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线2x+y-1=0上，
∴设点M为(a,1-2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2=R，
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1,-1)，R=5，
⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
故答案为：(x-1)2+(y+1)2=5
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线2x+y-1=0的交点(1,-1).R=5, ⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
故答案为：(x-1)2+(y+1)2=5.
9．（2022·全国·高考真题）过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 x-22+y-32=13或x-22+y-12=5或x-432+y-732=659或x-852+y-12=16925 ．
【解题思路】方法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【解答过程】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
（1）若过0,0，4,0，-1,1，则F=016+4D+F=01+1-D+E+F=0，解得F=0D=-4E=-6，
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0，即x-22+y-32=13；
（2）若过0,0，4,0，4,2，则F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=-4E=-2，
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即x-22+y-12=5；
（3）若过0,0，4,2，-1,1，则F=01+1-D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=-83E=-143，
所以圆的方程为x2+y2-83x-143y=0，即x-432+y-732=659；
（4）若过-1,1，4,0，4,2，则1+1-D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=-165D=-165E=-2，所以圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0，即x-852+y-12=16925；
故答案为：x-22+y-32=13或 x-22+y-12=5或 x-432+y-732=659或x-852+y-12=16925．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设点A0,0，B4,0，C-1,1，D4,2
（1）若圆过A、B、C三点，圆心在直线x=2，设圆心坐标为(2,a)，
则4+a2=9+(a-1)2⇒a=3,r=4+a2=13，所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13；
（2）若圆过A、B、D三点， 设圆心坐标为(2,a)，则4+a2=4+(a-2)2⇒a=1,r=4+a2=5，所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5；
（3）若圆过 A、C、D三点，则线段AC的中垂线方程为y=x+1，线段AD 的中垂线方程 为y=-2x+5，联立得x=43,y=73⇒r=653 ，所以圆的方程为(x-43)2+(y-73)2=659；
（4）若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为y=1， 线段BC中垂线方程为 y=5x-7，联立得x=85,y=1⇒r=135，所以圆的方程为(x-85)2+y-12=16925．
故答案为：x-22+y-32=13或 x-22+y-12=5或 x-432+y-732=659或x-852+y-12=16925．
10．（2022·全国·高考真题）写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 y=-34x+54或y=724x-2524或x=-1 ．
【解题思路】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【解答过程】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，
于是|c|1+b2=1，|3+4b+c|1+b2=4.
故c2=1+b2①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c，
再结合①解得b=0c=1或b=-247c=-257或b=43c=-53，
所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x-24y-25=0，3x+4y-5=0.
(填一条即可)
[方法二]：
设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r1=1，
圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心C(3,4)，半径r2=4，
则|OC|=5=r1+r2，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+1=0符合题意；
又由方程(x-3)2+(y-4)2=16和x2+y2=1相减可得方程3x+4y-5=0，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3y=0，
直线OC与直线x+1=0的交点为(-1,-43)，
设过该点的直线为y+43=k(x+1)，则k-43k2+1=1，解得k=724，
从而该切线的方程为7x-24y-25=0.(填一条即可)
[方法三]：
圆x2+y2=1的圆心为O0,0，半径为1，
圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心O1为(3,4)，半径为4，
两圆圆心距为32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为kOO1=43，所以kl=-34，设方程为y=-34x+t(t>0)
O到l的距离d=|t|1+916=1，解得t=54，所以l的方程为y=-34x+54，
当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，k<0，
由题意p1+k2=13k+4+p1+k2=4，解得k=-724p=2524，y=724x-2524
当切线为n时，易知切线方程为x=-1，
故答案为：y=-34x+54或y=724x-2524或x=-1.