【二轮复习】高考数学 专题06 导数（考点精讲）

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考法一 含参单调性的分类讨论
【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求在上的最小值．
【变式】
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
2．（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知函数 其中．
(1)若，求函数的单调区间和极值;
(2)当时，讨论函数的单调区间．
3．（2023秋·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，讨论的单调性.
考法二 讨论零点个数
【例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知为实数，函数
(1)当时，求函数的极值点；
(2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．
【变式】
1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）设函数，，其中，曲线在处的切线方程为
(1)若的图象恒在图象的上方，求的取值范围；
(2)讨论关于的方程根的个数．
2.(2022·广东广州检测)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
考法三 已知零点个数求参数
【例3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数，其中.
(1)若，求的单调区间；
(2)若恰有2个不同的极值点，求的取值范围；
(3)若恰有2个不同的零点，求的取值范围.
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知函数，且.
(1)求在上的最大值；
(2)设函数，若函数在上有三个零点，求的取值范围.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程有三个根，求的取值范围．
考法四 恒成立与能成立问题
【例4-1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
【例4-2】（2022·北京·统考高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
2．（2023秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）设，.
(1)当时，求的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若有恒成立，求的取值范围.
3．（2023秋·江西·高三临川一中校联考阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．
考法五 不等式的证明
【例5-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)求的极值；
(2)证明：当时，．（参考数据：）
【例5-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围；
(3)设，证明：．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数，求证：当时，．
考法六 三角函数型
【例6】（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
【变式】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)设函数，求在的零点个数．
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，的导函数为．
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)当时，记函数的极大值和极小值分别为，，求证：．
考法七 切线问题
【例7】（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【变式】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求证：存在，使得直线与函数的图像相切．
2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与曲线相交于不同的两点，，曲线在A，B点处的切线交于点，求的值；
(2)当曲线在处的切线与曲线相切时，若，恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，函数.
(1)若是增函数，求的取值范围；
(2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.
考法八 极值点偏移
【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
【变式】
1．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数.
(1)若对恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.
2．（2023·安徽合肥 ）已知函数有两个极值点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
3（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；
考法九 交点或零点之间的关系
【例9】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．
【变式】
1．（2023·新疆·统考三模）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．
2．（2023·河南·校联考二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.
考法十 根据极值（点）求参数
【例10】（2023·新疆·校联考模拟预测）已知函数，是的导函数.
(1)若，求证：当时，恒成立；
(2)若存在极小值，求的取值范围.
【变式】
1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.
(1)证明：恰有一个零点；
(2)设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.
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2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，，证明：.