【二轮复习】高考数学 12 立体几何必考经典解答题全归类（重难点练习）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc6601" 【题型1 立体几何中的体积问题】 PAGEREF _Tc6601 \h 3
\l "_Tc21846" 【题型2 立体几何中的线段长度问题】 PAGEREF _Tc21846 \h 5
\l "_Tc3648" 【题型3 空间角问题】 PAGEREF _Tc3648 \h 7
\l "_Tc28103" 【题型4 空间中的距离问题】 PAGEREF _Tc28103 \h 9
\l "_Tc2452" 【题型5 立体几何中的折叠问题】 PAGEREF _Tc2452 \h 11
\l "_Tc15222" 【题型6 立体几何中的探索性问题】 PAGEREF _Tc15222 \h 13
\l "_Tc14501" 【题型7 立体几何中的作图问题】 PAGEREF _Tc14501 \h 15
\l "_Tc24711" 【题型8 立体几何建系繁琐问题（几何法）】 PAGEREF _Tc24711 \h 17
\l "_Tc17090" 【题型9 立体几何新定义问题】 PAGEREF _Tc17090 \h 19
空间向量与立体几何是高考的热点内容，空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深；第一小问主要考察空间线面位置关系的证明，难度较易；第二、三小问一般考察空间角、空间距离与几何体的体积等，难度中等；空间向量作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，解题时需要灵活建系．
【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】
1.求几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
2.求组合体的表面积与体积的一般方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
【知识点2 几何法与向量法求空间角】
1.几何法求异面直线所成的角
(1)求异面直线所成角一般步骤：
①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；
②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；
③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；
④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.
2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
3.几何法求线面角
(1)垂线法求线面角(也称直接法)：
①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；
②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.
(2)公式法求线面角(也称等体积法)：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.
公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.
4.向量法求直线与平面所成角的主要方法:
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
5.几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
6.向量法求二面角的解题思路:
用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.
【知识点3 空间距离的求解策略】
1.向量法求点到直线距离的步骤：
(1)根据图形求出直线的单位方向向量.
(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量.
(3)垂线段长度.
2.求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离.
②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求.
③等体积法.
④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为.
【知识点4 立体几何中的探索性问题的求解策略】
1.与空间向量有关的探索性问题的求解策略：
在立体几何中，与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角、二面角或点线面距离满足特定要求时的存在性问题．
解决这两类探索性问题的解题策略是：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
【题型1 立体几何中的体积问题】
【例1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形BCEF是矩形，侧面ADEF是直角梯形，AD//EF，AD⊥AF,AF=BF=AD=12EF=2,BE与CF交于点O，连接AO.
(1)证明：AO//平面CDE；
(2)若AB=23，求三棱锥A-BEF的体积.
【变式1-1】（2023·四川成都·统考一模）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1的中点，AB=2，AA1=4.
(1)求证：C1M⊥平面BDM；
(2)求三棱锥M-BC1D的体积.
【变式1-2】（2023·湖南永州·统考二模）如图所示，在四棱锥B-ACDE中，AE∥CD,AE⊥AC,CD=2AE=2，平面ACDE⊥平面ABC，点F为BD的中点．
(1)证明：AB⊥CD；
(2)若AC=BC=2,AF与平面ABE所成角的正弦值为28，求四棱锥B-ACDE的体积．
【变式1-3】（2023·四川雅安·统考一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，直线C1B⊥平面ABC，平面AA1C1C⊥平面BB1C1C.

(1)求证：AC⊥BB1；
(2)若AC=BC=BC1=2，在棱A1B1上是否存在一点P，使得四棱锥P-BCC1B1的体积为43？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.
【题型2 立体几何中的线段长度问题】
【例2】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，∠DAB=90°，AB=BC=4，PA=PC=5.
(1)求证：PB⊥AC；
(2)若平面PBD⊥平面PBC，且△PAD中，AD边上的高为3，求AD的长.
【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点E，F分别在棱AA1，CC1上，AE=1，CF=1，点M在线段BC1上，且3BM=2MC1.
(1)证明：DE//FM.
(2)点P在对角线BC1上，当二面角D-EF-P的余弦值为-63时，求C1P的长度.
【变式2-2】（2023·上海青浦·统考一模）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD．
(1)求证：BC⊥平面CDP；
(2)若直线AD与BP所成的角大小为60°，求DP的长．
【变式2-3】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O，∠BAD=60°,AB=23．
(1)若AA1=3，求证：平面A1OD1⊥平面BDC1；
(2)若直线OD1与平面A1OB1所成角的正弦值为427，求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．
【题型3 空间角问题】
【例3】（2023·甘肃平凉·校考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，CD⊥AD，AD=CD=2BC=2，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD.
(1)求证：CD⊥PA；
(2)求二面角C-PA-D的余弦值．
【变式3-1】（2023·四川自贡·统考一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E、F分别是PC、AD中点.
(1)判断直线DE与平面PFB的位置关系；
(2)若PB与平面ABCD所成角为45°，求平面PFB与平面EDB所成二面角大小的正弦值.
【变式3-2】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在线段AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.

(1)证明：AC1⊥A1B；
(2)设直线AA1到平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-BC-B1的大小.
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知四边形ABCD是矩形，BC=λAB，λ∈2,+∞．如图，将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，顶点B1在平面ABCD上的射影O恰好落在边AD上．
(1)求证：AB1⊥平面B1CD；
(2)求AOAD的取值范围；
(3)若二面角B1-AC-D的余弦值为13，求BC与平面AB1C所成角的正弦值．
【题型4 空间中的距离问题】
【例4】（2023·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥C-ABDE中，DE⊥平面BCD，BD=4，DE=22，AB=AD=23．
(1)求证：AE//平面BCD；
(2)若BC⊥CD，且直线BC与AE所成角为30°，求点E到平面ABC的距离．
【变式4-1】（2023·天津北辰·校考模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=2，四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC=4，M为PC中点，E在线段BC上，且BE=1.

(1)求证：DM//平面PAB；
(2)求直线PB与平面PDE所成角的正弦值；
(3)求点E到PD的距离.
【变式4-2】（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=3,∠CAB=30∘，且AC⊥BC.
(1)求直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积与体积；
(2)求证：BC //平面AB1C1，并求出BC到平面AB1C1的距离.
【变式4-3】（2023·江苏·校联考模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=2，AD=DC=CB=1，PA=PD=2.

(1)设平面PAB与平面PCD的交线为l，求证：l//平面ABCD；
(2)点E在棱PB上，直线AE与平面ABCD所成角为π6，求点E到平面PCD的距离.
【题型5 立体几何中的折叠问题】
【例5】（2023·广东中山·中山纪念中学三模）在直角梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD=2AB=25，∠ABC=90°，如图（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．

(1)求证：CD⊥AB；
(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．
【变式5-1】（2023·湖南·校联考模拟预测）在图1中，△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，AB=22，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且EC=2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得FB=4．

(1)证明：FO⊥平面ABC．
(2)求二面角E-FA-C的余弦值．
【变式5-2】（2023·全国·校联考模拟预测）如图①，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=CD=2，∠BAD=60∘．将△BCD沿着BD折叠，使得点C到达点C'的位置，且二面角A-BD-C'为直二面角，如图②．已知P,G,F分别是AC',AD,AB的中点，E是棱AB上的点，且C'E与平面ABD所成角的正切值为233．
(1)证明：平面PGF//平面C'DB；
(2)求四棱锥P-GFED的体积．
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=90°,CD=2AD=2,AB=3,E为线段AB上靠近点A的三等分点，将△ADE沿着DE折叠，得到四棱锥A-BCDE，使平面ADE⊥平面BCDE,P为线段CE上的点．
(1)求证：AD⊥AP；
(2)是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成角的正弦值为66?若存在，求出线段EP的长；若不存在，请说明理由．
【题型6 立体几何中的探索性问题】
【例6】（2023·四川雅安·统考一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，直线C1B⊥平面ABC，平面AA1C1C⊥平面BB1C1C．

(1)求证：AC⊥BB1；
(2)若AC=BC=BC1=2，在棱A1B1上是否存在一点P，使二面角P-BC-C1的余弦值为31010？若存在，求B1PA1B1的值；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为AD的中点，F在线段AB上．
(1)在线段PB上是否存在一点M，使得PC⊥平面EFM，若存在，请求出PMMB的值；若不存在，请说明理由；
(2)在（1）的条件下，求二面角E-MF-B的正弦值．
【变式6-2】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在几何体ABCDE中，CA=CB,CD⊥平面ABC,BE∥CD,BE=2CD.

(1)求证：平面ADE⊥平面ABE；
(2)若CA=AB,BE=3,AB=4，在棱AC上是否存在一点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为277？若存在，请求出AFAC的值；若不存在，请说明理由.
【变式6-3】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，A1B⊥AC1，AC=AA1=2BC，点P满足AP=λAC (0≤λ≤1).
(1)求证：平面A1ACC1⊥平面ABC.
(2)若∠A1AC=60°，是否存在λ，使二面角B-A1P-C的平面角的余弦值为34？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
【题型7 立体几何中的作图问题】
【例7】（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD//EA，且FD=12EA=1.

(1)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；
(2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值.
【变式7-1】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）如图1所示，在边长为3的正方形ABCD中，将△ADC沿AC折到△APC的位置，使得平面APC⊥平面ABC，得到图2所示的三棱锥P-ABC．点E,F,G分别在PA,PB,PC上，且AE=2EP，PF=2FB，PG=2GC．记平面EFG与平面ABC的交线为l．
(1)在图2中画出交线l，保留作图痕迹，并写出画法．
(2)求二面角A-FG-E的余弦值．
【变式7-2】（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，CD=CC1=AC1=2，∠DCB=π3，且cs∠C1CD=cs∠C1CB=34.
(1)试在平面ABCD内过点C作直线l，使得直线l//平面C1BD，说明作图方法，并证明：直线l∥B1D1；
(2)求平面BC1D与平面A1B1D所成锐二面角的余弦值.
【变式7-3】（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=PB=AB=AD=2BC=2，设平面PAB与平面PCD的交线为l．
(1)作出交线l（写出作图步骤），并证明l⊥平面PAD；
(2)记l与平面ABCD的交点为Q，点S在交线l上，且PS=λPQ(0