2024年广东省韶关市新丰县中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、班级、姓名、座号、准考证号．用2B铅笔把对应号码的标题涂黑．
3．在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效．
一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解本题的关键．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2. 由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从左面看第一层是三个正方形，第二层是左边一个正方形．
故选D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解左视图是由左视方向看到的平面图形，属于基础题，难度不大．
3. 预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据385000用科学记数法表示为（ ）
A. 3.85×106B. 3.85×105C. 38.5×105D. 0.385×106
【答案】B
【解析】
【分析】先将385000写成a×10n，其中1＜|a|＜10，n为将385000写成a小数点向左移动的位数．
【详解】解：385000=3.85×105．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n、确定a和n的值是解答本题的关键．
4. 下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
5. 一组数据2，3，2，5，4的众数是（ ）．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据．
直接根据众数的定义即可解答．
【详解】解：数据2，3，2，5，4出现次数最多的是2，则众数为2．
故选A．
6. 生活中到处可见黄金分割美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）．
A. 1.52米B. 1.38米C. 1.42米D. 1.24米
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段比例的定义列出a，b的比例关系，再代入b的值求a即可；
【详解】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，
∴，
∵b为2米，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24（米）；
故选：D．
【点睛】此题考查了线段的比例：若a∶b=k，说明a是b的k倍；掌握线段比例的概念是解题关键．
7. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第四象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第一象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答．第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【详解】解：点在第四象限．
故选：A．
8. 不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么csα的值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出OA的长度，即可解决问题．
【详解】解：点A的坐标为(4，3)，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，坐标与图形，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
10. 如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．
【详解】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥AB交AB于点E，
则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠DBC＝45°，
∴BP＝5−x，QE＝，
∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×(5−x)×=（0＜x≤5），
∴此时图象为抛物线开口方向向下；
（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5，如图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥BC交BC于点E，
则有AB＋BP＝BQ＝x，∠DBC＝45°，
∴BP＝x−5，QE＝，
∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×（x−5）×=（5＜x≤5），
∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：B．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确的求出函数解析式是解题的关键．
二．填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 因式分解：__．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解即可得．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____0（填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出的大小关系，进而判断出的符号．
【详解】解：由图可知：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查利用数轴判断式子符号．解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定的大小关系．
13. 若x，y为实数， 且 ，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查非负数的性质，几个非负数的和为0，则每一个非负数同时为0．利用非负数的性质得到，，然后求出代数式的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：．
14. 已知，则代数式的值为 ______ ．
【答案】8
【解析】
【分析】将变形为，再利用整体代入即可计算求值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，运用整体代入的思想解决问题是解题关键．
15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是________°．
【答案】105
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，
∵∠DCB+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAB=105°．
故答案为105
16. 如图，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】由为矩形，得到为直角，且三角形与三角形全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到，，，利用勾股定理求出的长，由求出的长，在中，设，表示出，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的长．
【详解】∵矩形，
∴，
由折叠可得，
∴，，，
在中，，，
根据勾股定理得：，即，
设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，则．
故答案：．
【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和求特殊角三角函数值，先计算零指数幂，特殊角三角函数值和算术平方公式，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
19. 今年植树节，九年级（1）班同学参加义务植树活动，共同种植一批樟树苗，如果每人种4棵，则剩余25棵；如果每人种5棵，则还缺20棵，求该班的学生人数和樟树苗的棵数．
【答案】学生为45人，樟树苗为205棵
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程成为解题的关键．
设该班的学生人数为x人，根据等量关系“如果每人种4棵，则剩余25棵；如果每人种5棵，则还缺20棵”列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设该班的学生人数为x人，
根据题意得，解得．
樟树苗的棵数为：（棵）．
答：该班的学生为45人，樟树苗为205棵．
四、解答题（二）（本大题4小题，第20至22题每小题7分，第23题9分，共30分）
20. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．
（1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度．
【答案】（1）中心投影；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）由中心投影的定义确定答案即可；
（2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
【小问1详解】
此光源属于点光源，
此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影；
【小问2详解】
，，
，
，
，
即：，
解得：，
路灯的高度为5米．
21. 如图，在正方形网格中，的顶点分别为．

（1）以点为位似中心，在轴的左侧将放大到原来的两倍，得到，放大后，两点的对应点分别为，画出，并写出点，的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）画图见解析，，
（2）10
【解析】
【分析】（1）根据位似图形的性质，找到点、即可；
（2）利用割补法求的面积．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，

由图形可知，，；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查了作图位似变换，点的坐标的特征，三角形的面积等知识，准确画出是解题的关键．
22. 如图，在中，，以为直径的分别交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，利用圆周角定理推知是等腰等边上的高线，结合等腰三角形的性质证得结论；
（2）如图，连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角 的度数，然后利用弧长公式进行解答．
【小问1详解】
证明：如图，连接．

∵是圆O的直径，
∴， 即．
又∵，
∴是边上的中线，
∴；
【小问2详解】
连接，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴ 的长为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点．
23. 【项目式学习】为了测量某段河流的宽度，两个数学研学小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的数H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如表t
请选择其中一个方案及其数据：
（1）求的度数；
（2）求出河宽(精确到).参考数据：，，，
【答案】（1）
（2）河宽为192米
【解析】
【分析】（1）本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握定理即可解题．
（2）本题根据三角形外角性质得到，根据等腰三角形性质推出，再利用，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知，在中，．
【小问2详解】
解：如选第一组则求解如下：
是的外角，
，
，
，
，
在在中，，
（米），
答：河宽为192米．
如选第二组则求解如下：
设为a，在中，，，
在中，，，
，（米），
答：河宽为192米．
【点睛】本题考查了三角形外角性质、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质和锐角三角函数，熟练掌握相关性质定理即可解题 ．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24. 如图，一次函数y＝x＋b与反比例函数y＝ (k＜0)图象交于点A(－4，m)，B(－1，2)，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）填空：m= ，b= ，k= ；
（2）观察图象，直接写出在第二象限内x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若S△PCA=S△PDB，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）－4＜x＜－1 （3）
【解析】
【分析】（1）将点B代入反比例函数和一次函数即可求出k和b值，再将点A代入求出的一次函数中求出m的值；（2）根据两函数图象的上下关系结合A、B的坐标，即可得出不等式的解集；（3）P是线段AB上的一点，设，分别表示△PCA和△PDB的面积，列出等式求解即可．
【小问1详解】
将B(－1，2)代入y＝x＋b 和y＝中，
解得，，k=-2,
∴一次函数为，
将A代入得，，
解得；
故答案为：；
【小问2详解】
根据两函数图象一次函数图象在反比例函数图象上方时，－4＜x＜－1；
【小问3详解】
P是线段AB上的一点，设，
，
，
∴，
∴,
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用待定系数法求函数解析式及反比例函数图象上点的坐标特征以及面积问题，掌握数形结合思想是解题的关键．
25. 综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】
（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上.
【深入探究】
（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论；
（3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；
（4）过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形．
理由：设与交于点，如图，
由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形．
（2）证明：四边形是矩形，，，，
，，，
，
，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
，
，，
，
，
，
点，，在同一条直线上．
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，
，，
，
设，
则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
（4），理由如下：
如图，过点作于，设交于，
由折叠得：，，，
设，，
由（3）得：，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．
项目课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
测量方案
示意图
说明
点B，C在点A的正东方向
点B在点A正东方向，点C在点A正西方向
数据
，，
，，