江苏省无锡市锡东高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. 30B. 20C. 12D. 6
2. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. (0，3)D.
3. 若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
4. 在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（ ）
A. 156B. 180C. 194D. 672
5. 已知在8个电子元件中，有2个次品，6个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到2个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有35名的年龄位于区间内.已知该地区这种疾病的患病率为，年龄位于区间内人口占该地区总人口的.现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. ，，当时，都有，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
8. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若，则或
B 若，则
C.
D.
10. 已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则（ ）
A. 事件与事件相互对立B. 事件与事件相互独立
C. D.
11 设函数，则（ ）
A.
B. 函数的图象过点的切线方程为
C. 函数既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值
D. 方程有两个不等实根，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若随机变量的分布列为
则当时，实数的取值范围是______.
13. 已知的展开式中含的项的系数为______.
14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
①函数的对称中心坐标为______；
②计算______
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球.
（1）若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示）
16. 已知展开式的二项式系数和为512，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被8整除的余数.
17. 已知函数，，其中是自然对数的底数，.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）是否存在实数，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．
（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；
（3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．
19. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）函数在区间上存在零点，求值；
（3）记函数，设（）是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.
0
1
2
3
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1