重庆市荣昌中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A 90种B. 30种C. 14种D. 11种
2. 二项式的各项系数之和为（ ）
A. 512B. C. 2D.
3. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
4. 从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（ ）
A. B.
C. D.
5. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A. 函数在区间上单调递增B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值
10. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 、为对立事件B.
C. D.
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，直线不是曲线的切线
B 当时，函数有三个零点
C. 若有三个不同的零点，，，则
D. 若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数在点处的切线方程为，则______．
13 若，则______．
14. 已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，且.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
16. 在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合.
（3）系数的绝对值最大的项是第几项；
17. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，E，F分别是棱PC，AB的中点.
（1）证明:平面.
（2）求平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.
18. 已知椭圆上、下顶点分别为，点在上，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线的方程.
19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.