2024年春季湘江新区初三数学联考试卷及参考答案

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. -3 12. 13.
14. (若将扇面理解为双面贴韧纸得答案，不扣分) 15. 12 16.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．原式= -----------------------------4分
=
=1---------------------------------------------------------6分
18．原式= -----------------------2分
.---------------------------------------------------------5分
当时，原式= .------------------6分
19．（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°．
又∵∠ACD=130°，∴∠CAB=50°．
由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=25°．-----------------------3分
（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA．∴∠CAN=∠CMN．-------------------------------------4分
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC．------------------------------------------------------------5分
在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）．--------6分
20．(1)40， 8，；------------------------------------------3分
(2) C, C-----------------------------------------------------------5分
(3)画树状图为：

或者列表为：
共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种
（抽中两名女志愿者）．-------------------------------------8分
21. （1）由题意得：在Rt△ABC中，
（米），
∴AB的高度为2.24米.---------------------------------------------------------------2分
（2）如图，延长FE交射线CB于点M，过点A作AN⊥FM于点N，
∵AB⊥CB，NM⊥CB，AN⊥NM，
∴四边形ABMN是矩形，
∴NM=AB=2.24（米）.--------------------------------------------------5分
∵HE⊥FM，则HE//AN，
∴.
在中，（米），
∴（米），
∴篮框D到地面的距离约为3.1米.-----------------------------------------8分
22. 任务1：由题意，得，
∴，
由题意知，,，
∴，
∴，
∴．-------------------------------------------------------------3分
任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，
依题意得，---------------------------------------------7分
解得
空矿泉水瓶的重量为．----------------------------------------------9分
23．（1）∵ABCD是矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴，---------------------------------------------2分
∵F为BC的中点，
∴是的中位线，
∴；-------------------------------------------------------4分
（2）由（1）知EF是的中位线，
∴，
∴
∴．-------------------------------------------------------6分
∵，
∴，
∴，即，
∴.
∵，
∴，
解得，．-----------------------------------------------------9分
24．（1）设正比例函数图象上“制高点”的坐标为，根据题意
解之，得，
所以要求点的坐标为.---------------------------------------------------------------------------2分
(2)设点A的坐标为，根据题意，得
消去n并整理，得.
∵点A是反比例图象上唯一的的“立足点”，
∴关于n的一元二次方程的判别式，，
∴，解得.
∴反比例函数的解析式为，点A的坐标为. ---------------------------------4分
设点B是反比例函数图象上的一个“制高点”，根据题意，得
消去n并整理，得，
解之，得，，
∴，，
∴点B，C的坐标分别为，，
∴直线BC的解析式为.
∵面积等于的面积.
∴MA//BC
可设直线的解析式为，将代入，得，
∴直线的解析式为，
联立解得或，∴.
在中，令，得，
将直线向上平移4个单位的直线，直线与双曲线的交点为M，此时也满足面积等于的面积.
由解得或.
将，分别代入得或.
∴M点坐标为或.
综上，M点坐标为或或.---------------------------7分
(3) ∵，且实数,
∴，，,
∴,
∴,
∴，,
∴.
由，得；由，得,
∴
∵函数,
∴当时，函数值随自变量的增大而减小.
当时，；当时，
∴,
∴.---------------------------------------------------------------10分
25. （1）如图，连接DE,AC．
∵直径，
∴AC=AD，EC=ED，
∴,，
∴，
又∵，
∴.
在和中，
∵，DG=DG，，
∴≌，
∴DE=DP，
∴CE=DP.------------------------------------------------3分
（2）连接OC，在中，,
在中，
∵
∴.
在中，，
∴.
在中，.
在中，.-----------------------------------------6分
（3）连接PB，∵AB是圆O的直径,
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
H
∴.
在和中，
∵，，
∴∽，
∴，
∴，
∴DQ=CQ-CD=4.
∵在中，AF=FQ=8，
∴，.
∵ACDP是圆O的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
同理，，
∴∽，
∴，
∴.
过点P作PH⊥CD于点H，在Rt△PHQ中，
∴.
又∵∽，
∴，
∴.-----------------------------------------------------------10分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
C
D
C
B
B
C
男1
男2
女1
女2
男1
（男1男2）
（男1女1）
（男1女2）
男2
（男2男1）
（男2女1）
（男2女2）
女1
（女1男1）
（女1男2）
（女1女2）
女2
（女2男1）
（女2男2）
（女2女1）