2024年广东省深圳市蛇口育才教育集团中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. ﹣2021的绝对值是（ ）
A. ﹣2021B. 2021C. ±2021D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的代数意义即可求解．
【详解】解:﹣2021的绝对值是2021，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值等于它的相反数，这是解题的关键．
2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
B、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；
C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科学记数法表示为（ ）
A. 14.1×108B. 1.41×108C. 1.41×109D. 0.141×1010
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：14.1亿，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案．
【详解】解：∵抛物线开口向上
∴＞0
∵抛物线对称轴＞0
∴b＜0
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上
∴c＞0
∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限；
当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质．
5. 函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞1B. x≠2C. x＞1且x≠2D. x≥1且x≠2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义条件，得出不等式，再解出不等式，即可求出x取值范围．
【详解】根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故选：D．
【点睛】本题考查自变量的取值范围．二次根式和分式有意义的条件分别是被开方数≥0和分式的分母不能为0，是解本题的关键．
6. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）．
A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米
【答案】B
【解析】
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，设大树高为米，
小树高为米，
过点作于，则是矩形，
连接，
米，米，米，
在中，米，
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
7. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，特殊角正切值，先根据网格判断是等腰直角三角形，得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，即可得出．
【详解】解：由图可知，，，
，即，
，
，
故选A．
8. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
∵，
∴是y随x的增大而增大，
是y随x的增大而减小，
又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答．
【详解】解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为
则
，
则
∴
同理得，……
观察发现，每6个点为一个循环组依次循环．
∴点的坐标与的坐标相同，为．
故选：A
10. 我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为，和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x的增大而减小；
④当或时，函数的最小值是9；
⑤当与的图象恰好有3个公共点时或
其中结论正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】分别令和即可对结论①进行判断；观察函数的图象即可对结论②进行判断；根据函数的图象和增减性即可对结论③进行判断；根据函数与x轴有两个交点，且这两个交点是函数图象的最低点，可对结论④进行判断；根据函数与x轴的两个交点，与平行可分两种情况进行讨论：①经过点，②与函数只有一个交点，分别求出b的值即可对结论⑤进行判断．
【详解】解：∵令，得，
令，则
解得，
∴与坐标轴的交点为，和，
∴结论①正确；
观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为，
故结论②正确；
∵函数与x轴的两个交点坐标为，，且对称轴为x=2，
∴当或时，函数值y随x值的增大而增大，
故结论③不正确；
∵当或5时，，
∴当或时，函数的最小值是0．
故结论④不正确；
∵函数与x轴的两个交点为，，
又∵与平行，
∴当与的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：
①经过点，此时b=1，
②当与函数只有一个交点时，
则方程有两个相等的实数根，
将整理得：，
∴判别式，
解得：．
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图像与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12. 若单项式与是同类项，则的值是_______________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得．
【详解】由同类项的定义得：
解得
则
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．
13. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为6，则k的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到
，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】如图，连接，
∵轴，
∴，
∴，
而，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查对于几何图形的转化以及图形相似的知识，利用三角形相似的性质求出阴影部分面积即可．
通过对阴影部分的面积进行变形，转化成规则的长方形减去几个三角形的面积即可求出的面积，寻找相似的三角形，利用三角形相似的性质即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：的面积为：；
设与的交点为，与的交点为，
∵，的顶点均在格点上，
∴点G和点H是两个相邻格点的中点
∴，，
由平移的性质可知，，
，
，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为：．
15. 如图，在四边形 ABCD 中（AB＞CD）， ABC  BCD  90 ，AB=3，BC=，把 Rt△ABC沿着 AC 翻折得到 Rt△AEC，若 tan∠AED=则线段 DE 的长度为___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作DM⊥CE，首先得到∠ACB=60°，∠ECD=30°，再根据折叠可得到∠AED=∠EDM，设EM=m，由折叠性质可知，EC=CB，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长．
【详解】解：如图，过点D作DM⊥CE，
由折叠可知：∠AEC=∠B=90°，
∴AEDM，
∴∠AED=∠EDM，
∴tan∠AED=tan∠EDM=，
设EM=m，
由折叠性质可知，EC=CB=，
∴CM=-m，
由图可得，
即，
由翻折可知：∠ECA=∠BCA=60°，
∴∠ECD=30°，
∴tan∠ECD==，
∴DM=（-m）×=1-m，
∴tan∠EDM=＝，
即=，
解得，m=，
∴DM=，EM=，
在直角三角形EDM中，DE2=DM2+EM2，
解得，DE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16. 计算．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简负整数指数幂、绝对值、余弦值、零次幂，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
17. 先化简，再求值：，其中a=．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
将a=代入，
原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有_____________名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为___________度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
【答案】（1）50，72；（2）见解析；（3）96名；（4）．
【解析】
【分析】（1）用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中A类的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数；
（2）用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；
（3）用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；
（4）先利用列表法求出所有等可能结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%=50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；
故答案为：50，72；
（2）B类人数是：50－10－8－20=12名，补全条形统计图如图所示：
（3）名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
（4）所有可能的情况如下表所示：
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率．
【点睛】本题是统计与概率类综合题，主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
19. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）与之间的函数表达式为；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；
（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；
（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得，，
∴与之间的函数表达式为；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得，，，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：

=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
20. 如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
（3）
【解析】
【分析】（1）先判断出，得出，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数可得，即可求解；
（3）由锐角三角函数可求的长，通过证明，可得，可得结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
【小问3详解】
如图2，连接，
、
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
21. 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．
【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．
【答案】（1），（2）结论仍然成立，见详解（3）或
【解析】
【分析】（1）由题意知，，是等腰直角三角形，由是等腰直角三角形可知为中点，进而可知是的中位线，根据中位线的性质证明即可；
（2）如图2，延长到，使，连接，证明，可得，，证明，可得，．
（3）分两种情况求解：①如图3，作，垂足为，，垂足为，由题意知，，，，，由 ，由（2）知，求解的值，进而由计算求解即可； ②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为，由题意知，，，可得，根据，求的值，进而得到的值，由证明，有，求解的值，由（2）知求出的值，根据计算求解即可．
【详解】解：（1）∵点D是的中点
∴，
∴是等腰直角三角形
∵是等腰直角三角形
∴为中点
∵点H是的中点
∴是的中位线
∴
∴
（2）结论仍然成立． 理由如下：
如图2，延长到，使，连接，．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，．
（3）分两种情况求解：
①如图3，作，垂足为，，垂足为
由题意知，，，
∴
∴，
∴
∴
由（2）知
∴
②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为，
由题意知
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
解得，
由（2）知，
∴；
综上所述，的面积为或．
【点睛】本题考查了中位线，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
22. 综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标．
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围．
（3）【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ．
【答案】（1）①，洒水车喷出水的最大射程为；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①用待定系数法求出函数解析式，令，求出x的值即可；
②根据平移的特点求出点B的坐标即可；
（2）根据点F的纵坐标为，得出，求出此时或，利用二次函数的性质，进行求解即可；
（3）设点，，求出，求出，得出答案即可．
【小问1详解】
解：①由题意得：，，
∵是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则，
解得或（舍去），
∴洒水车喷出水的最大射程为；
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∵平移后仍过点，
∴y2是由y1向左平移得到的，
∵，点B是由点C向左平移得到的，
∴点B的坐标为；
【小问2详解】
解：∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得或（舍去），
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为，
∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是，
∴的取值范围为；
【小问3详解】
解：设，
由（1）②可知，
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
设点，，
则有，
解得，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴h的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合．
售价（元/件）
60
65
70
销售量（件）
1400
1300
1200