2024年广东省揭阳市惠来县九年级中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省揭阳市惠来县九年级中考数学一模试卷，共15页。

1．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣3B．0C．4D．|﹣1|
2．（3分）2024年1月3日，我国自主研制的AG60E电动飞机首飞成功．AG60E的最大平飞速度为218km/h，航程1100000米，1100000用科学记数法可以表示为（ ）
A．1.1×107B．0.11×107C．1.1×106D．11×105
3．（3分）河洛大鼓，俗称“说书”，是河南传统地方曲种之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．如图是河洛大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．（3分）下列各点中，在反比例函数y＝﹣图象上的点是（ ）
A．（﹣4，2）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣2，1）D．（2，1）
6．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，直线a、b被直线c所截．若a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．50°C．60°D．150°
8．（3分）不透明的袋子中装有3个红球，2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3xB．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3xD．1﹣2（x﹣1）＝3x
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：2a2﹣8＝ ．
12．（3分）已知近视眼的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足的关系为y＝，则当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为 m．
13．（3分）小刚开学后，第一次测试数学得了70分，语文得了84分，则英语至少得 分，才能使三科平均分不低于80分．
14．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ 度．
15．（3分）若3a﹣b＝1，则6a﹣2b+1的值为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）（1）计算：；
（2）化简：（x+y）（x﹣2y）﹣（x﹣y）2．
17．（8分）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（≈1.732，结果精确到1米）？
18．（8分）已知一长方形公园ABCD（AB＜BD）的面积为4800m2，围绕这个公园的栅栏长为280m，求这个公园的长BD和宽AB．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）实践与操作：过点A作三角形BC边上的高AD（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）计算：在（1）的条件下，若AB＝2，∠C＝30°，求AD的长．
20．（9分）猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示，共分成4组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70）．下面给出了部分信息：
七年级学生B组的竞答成绩为：81，81，82，84，82，86，82，86．
八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81．
七八年级抽取的竞答成绩统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级学生共有1000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有多少人？
21．（9分）某生物兴趣小组观察甲、乙两种植物生长，得到植物的高度y（厘米）与观察时间x（天）的函数关系，制作如下的活动报告．
根据以上报告内容，解决下列问题：
（1）根据图象求甲植物的高度y甲与观察时间x之间的函数关系式；
（2）在图中画出y乙关于x的函数图象，观察图象可知，第 天，甲、乙两种植物高度相同．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）【初步感知】
（1）如图1，点A，B，P均在⊙O上，若∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 度；
【深入探究】
（2）如图2，小明遇到这样一个问题：⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接PA，PB，PC．求证：PB＝PA+PC；小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
（3）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA，PB，PC，若PB＝2PA，则的值为 ．
23．（12分）【问题提出】
如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，且BE＝4．动点F以每秒1个单位的速度从点B出发，在折线段BA﹣AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG⊥EF，交矩形ABCD的边于点G，连接FG．设动点F的运动路程为x，线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形的面积为S．
【初步感知】
如图2，动点F由点B向点A运动的过程中，经探究发现S是关于x的二次函数，如图2所示，抛物线顶点P的坐标为（3，t），与y轴的交点N的坐标为（0，16），与x轴的交点为点M．
（1）求矩形ABCD的边AB和AD的长；
【深入探究】
（2）点F由点A向终点运动的过程中，求S关于x的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），当x3﹣x2＝x2﹣x1时，3个路程对应的面积S均相等．
参考答案
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：|﹣1|＝1，
∵4＞1＞0＞﹣3，
∴最大的数是4，
故选：C．
2．【解答】解：1100000＝1.1×106，
故选：C．
3．【解答】解：从正面看，可得选项B的图形，
故选：B．
4．【解答】解：在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
5．【解答】解：当x＝﹣4时，y＝，故（﹣4，2）不在反比例函数y＝﹣图象上；
当x＝﹣2时，y＝1，故（﹣2，﹣4）不在反比例函数y＝﹣图象上；
当x＝﹣2时，y＝1，故（﹣2，1）在反比例函数y＝﹣图象上；
当x＝2时，y＝﹣1，故（2，1）不在反比例函数y＝﹣图象上；
故选：C．
6．【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝4，
故选：D．
7．【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°．
故选：B．
8．【解答】解：摸出红球的概率为，
故选：B．
9．【解答】解：解不等式x+2≤3，得：x≤1，
所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
在数轴上表示：
故选：D．
10．【解答】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，
故选：B．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．【解答】解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2），
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
12．【解答】解：令y＝200，
即：200＝，
解得：x＝0.5，
故200度近视眼镜镜片的焦距为0.5米．
故答案为：0.5．
13．【解答】解：设英语得x分，
根据题意得：70+84+x≥3×80，
解得x≥86，
∴英语至少得86分，
故答案为：86．
14．【解答】解：由题意得：∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°，
故答案为：35．
15．【解答】解：∵3a﹣b＝1，
∴6a﹣2b＝2．
∴6a﹣2b+1＝2+1＝3．
故答案为：3．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）（x+y）（x﹣2y）﹣（x﹣y）2
＝x2﹣2xy+xy﹣2y2﹣（x2﹣2xy+y2）
＝x2﹣2xy+xy﹣2y2﹣x2+2xy﹣y2
＝xy﹣3y2．
17．【解答】解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，
∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△BDE中，BD＝400m，∠D＝30°，
∴BE＝BD＝200m，
∴DE＝＝200≈346（m），
答：另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上．
18．【解答】解：设这个公园的长为x m，则宽为：（140﹣x）m，根据题意可得：
x（140﹣x）＝4800，
解得：x1＝60，x2＝80，
当BD＝60时，宽为：AB＝140﹣60＝80（m），此时BD＜AB，不合题意；
故BD＝80时，宽为：AB＝140﹣80＝60（m），
答：这个公园的长BD为80m，宽AB为60m．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝＝1，
∴AD＝＝．
20．【解答】解：（1）由题意可知，七年级C、D组人数为20×（20%+20%）＝8（人），
∴把被抽取七年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为81，82，
故中位数a＝＝81.5；
在被抽取的八年级20名学生的数学竞赛成绩中，83分出现的次数最多，故众数b＝83；
m%＝8÷20＝40%，故m＝40．
故答案为：81.5，83，40；
（2）八年级成绩较好，理由：因为八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以八年级成绩较好；
（3）1000×＝250（人），
答：估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有250人．
21．【解答】解：（1）设度y甲＝kx+b，把（0，4），（12，12）代入得：
，
解得，
∴y甲＝x+4；
（2）由表格可知y乙关于x的函数图象过（0，2），（2，4），（4，6），（6，8），（8，10），（12，10）...，
画出图象如下：
由图象可知，第6天或第9天，甲、乙两种植物高度相同；
故答案为：6或9．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．【解答】【初步感知】解：∵∠AOB＝90°，
∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
故答案为：45；
【深入探究】证明：如图②，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAE＝180°，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，∠ACB＝60°，
又∵AE＝PC，
∴△PBC≌△EBA（SAS），
∴PB＝EB，
∴∠APB＝∠ACB＝60°，
∴△PBE为等边三角形，
∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；
【启发应用】解：如图③，延长PA至点G，使AG＝PC，连接BG．
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAG＝180°，
∴∠BCP＝∠BAG，
∵BA＝BC，AG＝PC，
∴△PBC≌△GBA（SAS），
∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，
∵∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝∠GBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴PG＝BP，
∵PG＝PA+AG＝PA+PC，
∴PC＝PG﹣PA＝×2PA﹣PA＝3PA，
∴＝＝，
故答案为：．
23．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴的交点N的坐标为（0，16），
即当t＝0时，S＝16，
当t＝0时，点F与点B重合，此时线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形为△ABG，如图1，
AG＝BE＝4，S＝AB•AG＝16．
∴AB＝8；
如图2，
过点G作GH⊥BC于点H，由此推得：△FBE∽△EHG，
∴，
当FB＝3时，即，
∴EH＝6，
∴AG＝BH＝4+6＝10．
∴t＝×（8﹣3）×10＝25，
设抛物线为S＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵抛物线顶点P的坐标为（3，25），
∴抛物线为 S＝a（x﹣3）2+25，
∵抛物线与y轴的交点N的坐标为（0，16），
∴16＝a（0﹣3）2+25，
∴a＝﹣1，
∴S＝﹣（x﹣3）2+25＝﹣x2+6x+16．
当S＝0时，
解得：x1＝﹣2 x2＝8，
∴抛物线与x轴的交点为点M的坐标为（8，0），
由此可知，当点F与点A重合时，点G与点D重合，
在Rt△ABE中，，
由△ABE∽△DEA得＝，即＝，
∴AD＝20；
（2）如图4，过点F作FH⊥BC于点H，
由此推得△FHE∽△ECG，得＝，即＝，
∴CG＝24﹣2x，
∴DG＝8﹣（24﹣2x）＝2x﹣16．
∴S＝DG•DF＝×（2x﹣16）×[20﹣（x﹣8）]＝﹣x2+36x﹣224；
（3）存在3个路程x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），当x3﹣x2＝x2﹣x1时，3个路程对应的面积S均相等．理由如下：
由S＝﹣x2+6x+16知，抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴x2+x1＝2×3＝6，
当x3﹣x2＝x2﹣x1时，则x3＝2x2﹣x1＝2（x2+x1）﹣3x1＝12﹣3x1，
∴+6x1+16＝+36x3﹣224＝﹣+36（12﹣3x1）﹣224，
整理得：+21x1﹣24＝0，
Δ＝212﹣4×4×（﹣24）＝825＞0，
∴存在，当x3﹣x2＝x2﹣x1时，3个路程对应的面积S均相等．年级
七年级
八年级
平均数
80
80
中位数
a
83
众数
82
b
项目主题
观察甲、乙两种植物的生长
记录数据

观察时间x（天
0
2
4
6
8
10
12
14
16
…
甲植物的高度y甲厘米）
4
5.33
6.67
8
9.33
10.67
12
13.33
14.67
…
乙植物的高度y乙厘米）
2
4
6
8
10
10
10
10
10
…

建立模型
发现植物的高度y（厘米）与观察时间x（天）之间存在函数关系，关系式为：
甲植物：y甲＝？
乙植物：y乙＝？
绘制图象