甘肃省白银市2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

这是一份甘肃省白银市2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了回答选择题时，考试结束后，本试卷主要考试内容，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号．考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第—册（数列、解析几何、计数原理）占30%．选择性必修第二册第—意（导数）、第二章（空间向量）占70%．
1．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．4
3．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（ ）
A．480种B．360种C．240种D．600种
5．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为．若，则在处的瞬时变化率为（ ）
A．18B．20C．24D．26
7．设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（ ）
A．64B．72C．76D．80
8．已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在底面为平行四边形的四棱倠中，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
10．若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（ ）
A．函数为上的凹函数 B．函数为上的凸函数
C．函数为上的凸函数 D．函数为上的凹函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某城市今年空气质量为“优”的天数为54，力争3年后使空气质量为“优”的天数达到128，则这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为______．
13．若函数存在极值，则的取值范围是______．
14．已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设等差数列的前项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．（15分）
如图，在三棱锥中，平面平面．
（1）证明：．
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）
已知3是函数的极小值点．
（1）求的值；
（2）若，且有3个零点，求的取值范围．
18．（17分）
在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点．
（1）求；
（2）求；
（3）若点在棱BC上，且平而，求的长．
19．（17分）
已知函数
（1）若求曲线在点处的切线方程．
（2）若证明：在上单调递增．
（3）当时，恒成立，求的取值范围．
高二阶段性检测数学参考答案
1．D因为所以所以．
2．C双曲线的离心率
3．B与所成角的余弦值为与所成角的大小为
4．A先排四个肉包的顺序，再插入两个素包，则不同的吃法共有种．
5．C设圆心坐标为依题意可得化简得
6．A因为四边形的周长为12，所以所以因为所以所以
由得则
所以在处的瞬时变化率为18．
7．D设是该等比数列的前项和，依题意可知
则成等比数列，即成等比数列，
则解得
8．B 令则因为当时，所以在上单调递增．又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数．由得解得或
9．AD ，A正确，B错误．D正确，C错误．
10．BCD 令得，A错误．令得则，B正确．，C正确．令得则，D正确．
11．ABD因为为上的增函数，所以为上的凹函数，A正确．的导函数当时，则为上的减函数，所以为上的凸函数，B正确．
设则
当时，不恒成立，
所以在上有凸也有凹，C错误．
设为的导函数，则
设函数则
当时，当时，
所以则为上的增函数，所以为上的凹函数，D正确．
12． 设这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为则解得
13． 依题意可得解得．
14．7 曲线可变形为恒过点由在抛物线上，得解得从而的方程为当与的准线垂直时，点到的焦点与到点的距离之和取得最小值，最小值为7．
15．解：（1）设的公差为则
解得所以
（2）由（1）知
所以
16．（1）证明：取的中点连接
因为所以
又所以平面
因为平面所以
（2）解：以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所
示的空间直角坐标系，则
则．
设平面的法向量为
则，即令得．
由得直线与平面所成角的正弦值为
17．解：（1）因为
所以令
得或若则当时，
当时，故在和上单调递增，
在上单调递减．因为3是的极小值点，所以
即符合题意．若则恒成立，
在上单调递增，无极值点，不符合题意．
若则当时，当时，
故在和上单调递增，
在上单调递减．因为3是的极小值点，
所以即符合题意．综上所述，或
（2）因为所以
则在和上单调递增，在上单调递减．
因为有3个零点，所以
解得故的取值范围为
18．解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，所以
（1）．
（2）设则
设平面的法向量为则
令得依题意可得，解得所以
（3）设则由（2）知则因为所以，所以是平面的一个法向量．因为平面
所以，解得所以的长为
19．（1）解：因为所以则
又所以曲线在点处的切线方程为即
（2）证明：因为所以则
令则
当时，单调递增，故
当时，单调递增，当时，
单调递减，故．
从而在上恒成立，
分则在上单调递增，
（3）解：在上恒成立等价于
在上恒成立．若则则显然恒成立．
若则在上恒成立，令由（1）可知在上恒成立，故由得则即．令则当时，单调递减，当时，单调递增，则则．综上所述，的取值范围为