2024年山东省临沂市郯城县九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和
试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数，即可求解．
详解】解：∵，
∴，
故选：B．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：A．
3. 哈尔滨旅游火了!在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入亿元，创历史新高！那么，将数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿，
故选D．
4. 如图，该几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可得出答案．
【详解】解：从上面看该几何体，得到的是矩形，矩形的内部有两条纵向的实线，如图：
故选：A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方的运算法则，同底数幂的乘法、除法的运算法则，合并同类项的定义和法则解答即可．
【详解】A．，故选项计算正确，符合题意；
B．，故选项计算错误，不符合题意；
C．，故选项计算错误，不符合题意；
D．，不是同类项的不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查积的乘方的运算法则，同底数幂的乘法、除法的运算法则，合并同类项的定义和法则，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；合并同类项时，只把系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6. 关于的方程（为常数）无实数根，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0，即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．
【详解】解：∵a＝1，b＝−2，c＝a，
∴△＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×a＝4−4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a＋1）在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．我国人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音及语义人工智能、视觉人工智能四大类型，将四个类型的图标分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，则抽到的两张卡片内容一致的概率为（ ）

决策类人工智能 人工智能机器人 语音及语义人工智能 视觉人工智能
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用列举法求简单事件的概率．根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：将四张卡片分别记为A，B，C，D．根据题意，画树状图如下：
由树状图，可知共有16种等可能的结果，其中抽到的两张卡片内容一致的结果有4种，
故P（抽到的两张卡片内容一致），
故选B．
8. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先根据矩形的性质以及勾股定理得到，，，，再由作图过程知平分，进而证明，，则，再证明求得，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵矩形中，，
∴，，，
∴，
由作图过程知平分，则，
∵，
∴，又，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及判断出平分是解答的关键．
9. 如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则的长为（ ）

A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、三角形的内角和定理、解直角三角形，先根据90度的圆周角所对的弦是直径判断出是直径，再根据圆周角定理求得，，，进而利用锐角三角函数求解即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴直径，则，
∵C为的中点，
∴，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
故选：D．
10. 函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点．
A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可判断①；根据对称轴和开口即可判断②；由函数与轴的交点是，即可判断③；求出函数的解析式得出其顶点坐标即可判断④；
【详解】解：由图象可得：二次函数的对称轴为：，
∴
∴，故①正确；
∵
∴
∵函数与轴的交点是，
∴函数与轴的交点是，
∴，故③错误；
∴，故②正确；
设函数，将点代入可得：
，解得：
∴
∴函数的顶点坐标为，翻折后为
∴将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点，故④正确；
故选：D
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分
11. 因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．
【答案】a（a﹣b）2
【解析】
【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：原式=a（a2﹣2ab+b2）
=a（a﹣b）2，
故答案为a（a﹣b）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12. 函数y中自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≤2且x≠1
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得．
【详解】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得x≤2且x≠1．
故答案为：x≤2且x≠1．
【点睛】此题考查了函数自变量的取值计算，正确掌握二次根式被开方数的要求及分式分母的特点是解题的关键．
13. 计算的结果是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减运算法则，涉及因式分解、约分．利用同分母的分式相加减的运算法则求解、再因式分解、约分即可得到答案，掌握同分母分式加减运算法则是解决问题的关键，注意运算结果需化为最简．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点D，则的长为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了弧长公式、等边三角形的判定和性质，求出，再证明为等边三角形，根据弧长公式即可求出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，，
由题意得：，
∴为等边三角形，
∴，
∴的长为：，
故答案为：．
15. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，D之间的距离为，点A，C之间的距离为，则四边形的面积为__________．
【答案】##24平方厘米
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定，先根据已知条件判定四边形是菱形，再根据菱形的性质和勾股定理求得，，，进而利用菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：连接、，设交点为O，由题意，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
设两张等宽的纸条的宽为，
则，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，则，
∴，
故答案为：．
16. 如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象．其中点E为曲线的最低点，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象、勾股定理，能从函数图象中获取有用信息是解答的关键．过A作于D，由图象得，，，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过A作于D，
由图象知，当时，，此时点P运动到点B处，则，
当时，最小，此时点P运动到点D处，当时，点P运动到点C处，
则，，
由勾股定理得，则，
解得，
故答案为：．
三、解答题：本题共小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
17. （1）计算：
（2）解分式方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算和解分式方程：
（1）原式分别化简零指数幂、算术平方根、特殊角三角函数值以及负整数指数幂，然后再进行加减运算即可；
（2）方程去分母后得整式方程，解整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可
【详解】解：（1）
（2）
方程两边同乘以，得
化简，得
解得：
检验：当时，
所以是分式方程解．
18. 某中学为准备体育节活动，需要购进一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球数量不少于足球的数量，且总费用不超过元．那么有哪几种购买方案?
【答案】（1）篮球的单价为元，足球的单价为元
（2）共有四种购买方案，详见解析
【解析】
【分析】（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设采购篮球个，则采购足球为个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求不等式组的整数解，即可求解．
【小问1详解】
解：设篮球的单价为元，足球的单价为元．
由题意可得：
解得
答：篮球的单价为元，足球的单价为元；
【小问2详解】
解：设采购篮球个，则采购足球为个，
要求篮球数量不少于足球数量，且总费用不超过元，

解得
为整数，
的值可为，，，
共有四种购买方案，
方案一：采购篮球个，采购足球个；
方案二：采购篮球个，采购足球个；
方案三：采购篮球个，采购足球个；
方案四：采购篮球个，采购足球个．
19. 2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1000名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图回答下列问题；
（1）补全上面不完整的条形统计图；
（2）被抽取的学生成绩的平均数是________分，这些学生成绩的中位数是______分；
（3）求扇形图中得100分学生的圆心角度数；
（4）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校1000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是多少?
【答案】（1）见解析 （2）96.4，96
（3）
（4）450名
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的关联、用样本估计总体，读懂题意，能从统计图中获取相关信息是解答的关键．
（1）先求得抽查总人数，再求得94分的学生人数，进而可求解；
（2）根据加权平均数和中位数的求解方法求解即可；
（3）用乘以得100分的学生所占比例求解即可；
（4）用全校总人数乘以样本中得98分及以上（含98分）的学生所占的比例求解即可．
【小问1详解】
解：由图象可知：分数为92分的人数为：6，其所占比为：10%．
∴随机被抽查的学生总数：（人），
∵分数为94分的人数所占比为：20%．
∴分数为94分的人数为： （人），
【小问2详解】
解：被抽取的学生成绩的平均数是分，
根据图象，这些学生成绩的中位数是96分，
故答案为：96.4，96；
【小问3详解】
解：扇形图中得100分学生的圆心角度数为；
【小问4详解】
解： （名），
答：估计全校1000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是450名．
20. 某学习数学兴趣小组要测大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为9米高3米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：）
【答案】11米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．过点D作于点G，设米，先求得米，则米，在中，利用正切定义列方程求解x值即可．
【详解】解：如图所示：过点D作于点G，设米，
在中，，
∴米，米，
在矩形中，米，米，
在中，由
解得：
经检验，是方程的解．
答：大树的高度约为11米．
21. 如图，已知一次函数与反比例函数交于两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若一次函数与反比例函数有一个交点，求c的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，正确求得函数的解析式是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解两个函数解析式即可；
（2）由（1）得，将一次函数与反比例函数联立，
得，则求解即可．
【小问1详解】
解：把点代入，得，则
所以反比例函数解析式为：
把点代入，
得，
即，则．
把点，代入，
得，解得
∴一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：由（1）知，即，
将一次函数与反比例函数联立，
得，∴．
整理得，则，
即．
22. 如图，是的直径，相切与点B，连接、，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A．
（1）求证：；
（2）若F是的中点，的半径为2，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）先根据圆周角定理和平行线的性质证得，再根据等腰三角形的性质证得，进而可得证；
（2）先根据直角三角形斜边中线性质和等边三角形的判定证明是等边三角形，则，则，利用含30度角的直角三角形的性质求得，， 然后利用阴影部分的面积等于求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与相切与点B，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵，F是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为：．
23. 【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为；设水池2的边的长为，面积为．上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③，两个函数图象的交点分别是点C和点D．
（1）分别求出与x，与x的函数关系式；
【问题解决】
（2）求水池2面积的最大值：
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围；
【数学抽象】
（4）在图④的图象中，点P是此抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在以点C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）或；（4）存在，，，
【解析】
【分析】本题是二次函数的综合应用，涉及求函数关系式、二次函数的性质、一次函数与二次函数的交点问题、二次函数与特殊四边形问题，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
（1）根据题意，分别用x表示两个长方形的长和宽，然后利用长方形的面积公式求函数关系式即可；
（2）利用二次函数的性质求解即可；
（3）先联立方程组求得两个函数图象的交点坐标，再结合图象即可求解；
（4）分当为对角线时、当为对角线时、当为对角线时三种情况，利用平行四边形的性质和中点坐标公式分别求解即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴；
∵矩形水池的周长为，
∴，又，
∴，
∴；
（2），
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为9，
∴水池2面积的最大值为；
（3）联立方程组，得，
解得，，
∴，，
由图③知，当或时，水池1的面积大于水池2的面积；
（4）存在以点C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．
∵，
∴的对称轴为直线，
由题意，设，，
分三种情况：
当为对角线时，则，解得，
∴；
当为对角线时，则，解得，
∴，
当为对角线时，则，解得，
∴；
综上，满足条件的点P坐标为，，．
24. 数学兴趣小组的同学在用相同的矩形纸片玩折纸游戏．如图，在矩形中，，P是边上一动点，连接，将沿翻折得到．小华、小颖和小明三位同学根据P点位置的不同分别折出了三种不同的情况．
（1）小华的纸质如图1，点P，E，D恰好在同一直线上，求此时的长度；
（2）小颖的纸质如图2，连接，若，求此时的面积；
（3）小明的折纸如图3，点P恰好是的中点，射线与矩形的边交于点M，连接．
①求的度数；
②求线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）① ；②
【解析】
【分析】（1）先由矩形性质和折叠性质，，，由勾股定理求得．证明得到即可求解；
（2）过点E作于点F，先利用特殊角的三角函数值求解，
由折叠知，进而有，然后解直角三角形即可；
（3）①先证明得到，再根据平角是和折叠性质得到可得；
②证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，由折叠知，，，
∴．
∵，
∴．又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图2，过点E作于点F，
中，，
∴，则，
由折叠知，
∴．
∴，
∴；
【小问3详解】
①解：如图3，
由折叠知，
∵P为的中点，
∴，则，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
②解：由①得，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查矩形和折叠问题、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，掌握折叠性质是解答的关键．