2024年江苏省扬州市江都区九年级数学中考第一次模拟试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，解决本题的关键是牢记相关运算法则．直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方运算法则依次判断即可．
【详解】解：A．与不是同类项，无法合并，故错误；
B．，故错误；
C．，故错误；
D．，故正确．
故选：D．
3. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图象是左视图．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左面看到该几何体，是由两个相同的长方形组成的一个矩形，
即．
故选：C．
5. 如图，把一块含45°角的三角板的直角顶点靠在长尺（两边a∥b）的一边b上，若∠1=30°，则三角板的斜边与长尺的另一边a的夹角∠2的度数为（ ）
A. 10°B. 15°C. 30°D. 35°
【答案】B
【解析】
【详解】∠1与它的同位角相等，它的同位角+∠2=45°
所以∠2=45°-30°=15°，
故选B
6. 某学习小组9名学生参加“生活中的数学知识竞赛”，他们的得分情况如下表
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）
A. 90，90B. 90，85C. 90，87.5D. 85，85
【答案】A
【解析】
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；可得答案．
【详解】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90；
排序后处于中间位置的那个数是90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90．
故选：A．
【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7. 漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（）是时间t（）的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h值为（ ）
A. 1.8B. 2.6C. 4.2D. 5.8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．不妨设过点和点的函数解析式为，然后求出函数解析式，再将和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题．
【详解】解：设过点和点的函数解析式为，
则，
解得，
即，
当时，，
当时，，
由上可得，点不在该函数图象上，与题目中有一个的值记录错误相符合，
故选：．
8. 对于函数的图像和性质，下列说法正确的有：①图像与x轴的交点坐标为；②图像与y轴没有交点；③图像不经过第四象限；④当时，y随着x的增大而增大．（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①②④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数图象的性质，分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，函数图象，根据解析式逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①当时，，则图像与x轴的交点坐标为，正确；
②∵中，图像与y轴没有交点，正确；
③∵当时，，即图像不经过第四象限，正确；
④当时，，当时，，当时，，
∴当时，y随着x的增大，先减小后增大，故错误，
故选：B．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为()，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】按照科学记数法的表示方式，439000可以表示为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，准确确定的值以及的值是解答本题的关键．
10. 因式分解=______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：
=
=，
故答案为．
11. 把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，再展开整理即可．
【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为，
∴平移后抛物线的表达式．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
12. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和，根据外角和求出边数即可．
【详解】解：∵多边形外角和为，每个外角都等于，
∴边数．
故答案为：6．
13. 若圆锥底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积的计算公式（为底面圆的半径，为圆锥的母线长）即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算，熟记圆锥的侧面积计算的公式是解题的关键．
14. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能，
∴一粒米落在阴影区域的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数．
15. 如图，在的内接四边形中，．若点在上，则的度数为__________°．
【答案】##125度
【解析】
【分析】连接，先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数．
详解】解：连接，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
16. 若函数与的图像的交点坐标为, 则的值是______.
【答案】-2
【解析】
【分析】求出两函数组成的方程组的解，即可得出a、b的值，再分别代入求出即可.
【详解】解：由题意得：
把①代入②得: ，
整理得: x2+ 2x+1=0，
解得:
∴交点坐标是(-1,-2)，
∴ a= -1，b= -2，
∴= -1 +（-1）= -2.
故答案为：- 2.
【点睛】本题主要考查函数交点坐标求法与运用；求出两函数组成的方程组的解，即为交点坐标是本题的解题关键.
17. 小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为_______．（参考数据：，，）
【答案】107
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积．利用直角三角形边角关系求出的长是解题的关键．
根据，求得，再根据直角三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：107．
18. 若关于x的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，运用根的判别式和根与系数的关系得到，根据二次函数，得到 时，y随x的增大而减小，根据在对称轴的左侧，，得到当时，顶点纵坐标的最大值是．
【详解】∵关于x的方程的两根，满足，
∴，
∴，或，
∵，
∴，
∴，
∵二次函数，
∴对称轴为直线，顶点为，图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵在对称轴的左侧，，
∴当时，点距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值，
∴,
∴，
∴顶点纵坐标的最大值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程．熟练掌握二次函数的对称性，增减性，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，函数与方程的关系，是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：； （2）解不等式组:．
【答案】（1）2；（2）不等式组的解集为．
【解析】
【分析】（1）根据实数的运算法则进行求解即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解.
【详解】解：（1）原式
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
20. 先化简，再从的范围内选择一个合适的整数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键，先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法运算，最后结合分式有意义的条件把代入计算即可．
【详解】解：原式，
要使分式有意义，且且，
所以a不能为0，1，，
取，
当时，原式．
21. 随着《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的稳步落实，劳动课已成为各中小学不可缺少的独立课程之一．某学校计划在七年级开设“厨艺”，“种植”，“布艺”，“制陶”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．（部分信息未给出）．请你根据以上信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为 名；
（2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（3）“制陶”课程所对应的扇形圆心角的度数是 ；
（4）若该校七年级一共有500名学生，试估计选择“种植”课程的学生有多少名？
【答案】（1）50 （2）见解析
（3）
（4）100
【解析】
【分析】（1）根据“厨艺”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；
（2）用总人数减去其它课程的人数，求出“布艺”的人数，从而补全统计图；
（3）用选择“制陶”课程的学生数除以总人数乘以即可；
（4）用七年级的总人数乘以选择“种植”课程的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：参加问卷调查的学生人数为：（名），
故答案为：50；
【小问2详解】
“布艺”的人数为：（名），
补全统计图如下：
【小问3详解】
“制陶”课程所对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：；
【小问4详解】
解：根据题意得：（名），
答：估计选择“种植”课程的学生有100名．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【小问1详解】
解：小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．
【小问2详解】
将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
根据题意可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即，，
∴
23. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．
【解析】
【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
24. 乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米．
【答案】200米
【解析】
【分析】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，根据题意列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原来每天修建道路200米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
25. 如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，，，且．

（1）求证：为的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，求扇形中不规则图形的阴影部分面积；
（1）连接，由圆的基本性质得，结合等腰三角形的性质得，由直径所对的圆周角是直角得，即可求解；
（2）由勾股定理得，由即可求解；
掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，能将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
为的切线；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
；
26. 【问题提出】如图①，已知线段，点P是内一定点，请过点P作的弦AB，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【问题联想】（1）在数学活动小组讨论过程中，小明联想到教科书上的例题：
如图②，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点P．与相等吗？为什么？
【问题解决】（2）你能解决【问题提出】中的问题吗？
【答案】（1），理由见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接，，，根据切线的性质得，再根据等腰三角形三线合一，即可得出结论；
（2）方法1：第1步作线段的中垂线交于点F
第2步以C为圆心，r为半径作弧，交的中垂线于点E
第3步以O为圆心，为半径作圆
第4步连接，以为直径作圆交小圆于点G，过点P、G作弦，弦即为所求
方法2：第1步在上任取一点E，以E为圆心，CD为半径作弧，交于点F；
第2步以O为圆心，OP长为半径作圆，交EF于点M、N；
第3步以P为圆心，MN长为半径作弧，交小圆于点Q
第4步过点P、Q作弦AB，弦AB即为所求．
【详解】解：（1）
理由：如图②，连接，，，
∵与小圆相切，
∴，
∵，
∴；
（2）方法1：如图所示，弦即为所求．
连接，，，
∵以为直径作圆交小圆于点G，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
方法2：如图所示，弦AB即所求．
过点O作，，连接，，，，如图，
∵，
∴，，
∵，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查复杂作图，切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．熟练掌握切线的性质定理和垂径定理及其应用是解题的关键．
27. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里表示起跳点A到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足函数关系．已知m，m，落点P到的水平距离是，到地面的竖直高度是．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；当他在点P着陆时，飞行时间为；
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡在竖直方向上距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）解：将，代入，得，计算求解，然后作答即可；
（2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可；②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为M，如图，过M作轴交于点N，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：将，代入，得，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
①解：设，
将，代入，得，
解得，
∴；
②解：设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设运动员飞行过程中的某一位置为M，如图，过M作轴交于点N，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键．
28. 如图①~⑧是课本上的折纸活动．
【重温旧知】
上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥．
（1）图③中的的形状是______；图④的活动发现了定理“____________”（注：填写定理完整的表述）；图⑤中的的长是_______；
【继续探索】
（2）如图，将一个边长为4的正方形纸片折叠，使点A落在边上的点E处，点E不与B、C重合，为折痕．折叠后的梯形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）等腰三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
（2）存在最小值，最小值为6
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得，则，由折叠得，所以，则是等腰三角形，于是得到问题的答案；
由，得，，由折叠得，则，所以，于是得到问题的答案；
由矩形的性质得，则，由折叠得，所以，则，由勾股定量得，于是得到问题的答案；
（2）连接，过点N作于点G，先证明，，则在中，由勾股定理得，然后将表示面积的相关线段用x的代数式表示出，则，化简，转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）如图③四边形是矩形，
，
，
由折叠得，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
如图④，，
，，
由折叠得，，
，
，
，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图⑤，四边形是矩形，，，
，，，
，
由折叠得，
，
，
在中，，，
，
解得，
故答案为：．
（2）存在最小值，连接，过点N作于点G，即，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，，，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则在中，由勾股定理得：，
则，
∴，
∴
，当时，最小值为6．
【点睛】此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的判定、矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、二次函数求最值，此题综合性强，难度较大．
人数（人）
1
3
4
1
分数（分）
80
85
90
95
t（min）
…
2
4
7
12
…
h（cm）
…
1.8
2.6
4.2
5.8
…