2024年陕西省宝鸡市凤翔区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 如图，点A在数轴上表示的数为1，将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键．
由题意知，，即点表示的有数是，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴点表示的有数是，
故选：B．
2. 如图是某正方体的平面展开图，则原正方体中与“盛”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A. 祖B. 国C. 繁D. 荣
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方体与展开图面的关系，掌握相对的面之间一定相隔一个正方形是解答本题的关键．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则“祖”与“盛”是相对面，“国”与“荣”是相对面，“繁”与“昌”是相对面．
故选：A．
3. 如图，， 交于点F，连接，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理求出度数，再根据平行线的性质，可得，即可得的度数．
本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】中，，，
，
∵，
，
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、单项式除单项式法则、平方差公式分别计算各项即可得到答案．
本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、单项式除单项式、平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 点和在一次函数（、为常数，且）的图象上，已知，当时，，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了判断一次函数图象经过的象限，根据一次函数的增减性求参数，根据题意可得一次函数中y随x增大而减小，则可得，，据此可得一次函数的图象进过第二、三、四象限，据此可得答案．
【详解】解：∵当时，，
∴一次函数中y随x增大而减小，
∴，
∵，
∴，
∴一次函数的图象进过第二、三、四象限，
故选：D．
6. 如图，在中，点在上，连接、，与交于点，若，，且，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出的长．
【详解】解：∵中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
7. 马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示，和所在圆的圆心均为点O，且点A在上，点D在上，若，则该马面裙裙面（图2中阴影部分）的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查阴影部分面积求解．根据马面裙裙面的面积为，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴该马面裙裙面面积为．
故选B
8. 已知二次函数（a、b、c为常数，且a≠0）中，y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 该二次函数图象开口向上
C. D. m的值为
【答案】C
【解析】
【分析】先在表格中选取三个点代入中，求出抛物线的表达式，可得，然后再根据二次函数的性质依次判断各选项即可得到正确答案．
本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】由表格可知抛物线经过，，，
，
解得，，，
∴抛物线的解析式为．
，
，
故A选项错误，不符合题意；
，
∴该二次函数图像开口向下，
故B选项错误，不符合题意；
，，，
，
故C选项正确，符合题意；
时，，
，
故D选项错误，不符合题意．
故选C．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 在中，无理数有______个．
【答案】2
【解析】
【分析】根据无理数的定义，依次判断，即可求解，
本题考查无理数的定义，解题的关键是：熟练掌握无理数的定义．
【详解】解：是无理数，是有理数，是有理数，是无理数，
综上所述，无理数共有2个，
故答案为：2．
10. 如图，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的三线合一性质，解直角三角形，连接，交于点，由正六边形的性质可得，，，再利用解直角三角形即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，连接，交于点，
∵六边形是正六边形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴正六边形的边长为，
故答案为：．
11. 如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若大正方形的面积是25，直角三角形的长直角边是4，则小正方形（即图中阴影部分）的面积是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．
【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为，
∵直角三角形的长直角边为4，
∴直角三角形的短直角边为，
∴小正方形的边长为，
小正方形的面积为，
故答案为：1．
12. 已知点在第三象限，点和在反比例函数的图象上，且，则______.（填“>”“<”或“=”）
【答案】<
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数性质，先根据点的坐标确定m，n的取值范围，然后确定反比例函数图象所在的象限，即可得出结论．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在中，，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】如图①，连接，证明，则当最大时，最大，此时B、P、N三点共线，如图②，过作于，则，，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图①，连接，
∵四边形和四边形均是正方形，
∴，
∴，
∴，
当最大时，最大，此时B、P、N三点共线，
如图②，过作于，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
15. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集是．
16. 解方程：
【答案】x=1
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解】解：，
方程两边乘，
得，
解得：，
检验：当 时，，
所以，原分式方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17. 如图，已知，请利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】画图见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的作图与性质，先作的垂直平分线交于，则即为符合要求的点．
【详解】解：如图，即为所求，
理由：由作图可得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴．
18. 如图，在菱形中，E、F是对角线AC上的两点，连接、，请你添加一个条件，使．（不再添加辅助线和字母）
（1）你添加的条件是______；
（2）添加条件后，请证明．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记菱形的性质是解本题的关键；
（1）根据菱形的性质可得，，再结合全等三角形的判定方法选择添加条件即可；
（2）证明，，再结合添加的条件可得结论．
【小问1详解】
解：添加的条件是：，
故答案为：；
【小问2详解】
∵菱形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，，与关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别为点．
（1）在图中画；
（2）写出点的坐标 ______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据轴对称的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：由对称的性质可知，点的坐标为，
故答案为：．
20. “诗以言志，词以言情”，诗词文化源远流长，是中华民族的瑰宝，某班语文老师准备在班内举行“飞花令”比赛，测测同学们的诗词储备量！她为本班学生准备了如图所示的可自由转动的转盘，将其平均分成四个面积相等的扇形，并分别标上主题字：“春”“花”“山”“月”，每轮比赛开始前，由语文老师转动转盘，该轮参加比赛的同学以语文老师转到的字为主题字进行飞花令比赛（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘）．李涵和王芳分别是第一轮、第二轮参赛的选手．
（1）语文老师转动转盘一次，恰好转到“春”的概率为______；
（2）李涵和王芳都比较擅长“春”和“花”为主题字的诗句，请用画树状图或列表法求她们至少有一人以自己擅长的主题字进行飞花令比赛的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可．
（2）先列表格表示出所有可能出现的结果，再找出两人当中至少有任一人转到“春”或 “花”的所有情况，再根据概率的计算公式计算即可．
概率=所求情况数总情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
【小问1详解】
语文老师转动转盘一次，恰好转到“春”的概率为,
故答案为．
【小问2详解】
列表格如下：
共16种结果，其中至少有一人转到“春”或 “花”的有12种情况．
∴她们至少有一人以自己擅长的主题字进行飞花令比赛的概率为．
21. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键；
选择方案①：先证明，结合，，可得，再利用全等三角形的性质可得结论；
选择方案②：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论；
【详解】解：选择方案①；
∵，
∴，
∵，，
∴，而，
∴，
∴水潭的宽度为；
选择方案②：
∵，，，
∴，而，
∴，
∴水潭的宽度为；
22. 春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．现要购买、两种树苗共100棵，已知、两种树苗的单价分别为30元/棵和20元/棵．若购买树苗的数量为棵，所需的总费用为（元）．
（1）求所需总费用与之间的函数关系式；
（2）若要求购买树苗的棵数不多于树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元？
【答案】（1）
（2）购买这些树苗至少需要2250元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据总费用A中树苗的费用加B种树苗的费用列出函数关系式即可；
（2）根据购买树苗的棵数不多于树苗的3倍求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解．
【小问1详解】
由题意可得，
所需总费用与之间的函数关系式为．
【小问2详解】
由题意可得，
解得．
，，
随的增大而增大，
当时，，
购买这些树苗至少需要2250元．
23. 2024年4月13日，我国首口自主设计实施的海上超深大位移井在珠江口盆地海域投产，成为我国海上第一深井，同时创造了我国钻井水平长度纪录．某校为了解学生对我国勘探事业的知晓程度，随机抽取了该校部分九年级学生，就“勘探事业知多少”进行了问卷测试，并将测试成绩（满分为10分）整理成如下不完整的统计图表：
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为______，所抽取学生测试成绩的众数为______分，中位数为______分；
（2）请计算所抽取学生测试成绩的平均数；
（3）已知该校共有300名九年级学生，若对这300名九年级学生全部进行此项问卷测试，请你估计能得满分的有多少名学生？
【答案】（1）4；8；8
（2）8 （3）60
【解析】
【分析】（1）由扇形统计图计算出测试成绩是7分所占的百分比，再结合测试成绩是7分的人数，即可求得调查的学生人数，进而减去其他得分的人数，即可求出测试成绩是10分的人数，即为m的值；根据众数和中位数的定义即可解答；
（2）根据平均数的计算公式计算即可；
（3）计算出样本中得满分的学生的比例，再乘以全校学生人数，即可解答．
【小问1详解】
解：由扇形统计图得到测试成绩是7分对应的扇形的圆心角为，
∴测试成绩是7分所占的百分比为，
由统计表得知测试成绩是7分的有4人，
∴调查的学生人数为（人），
∴测试成绩是10分的有（人），
即；
学生测试成绩中，得8分的人数最多，故众数是8；
将学生测试成绩从小到大排序后，处于第10、11位的学生成绩是8，8，故中位数为；
故答案为：4；8；8
【小问2详解】
解： ，
答：所抽取学生测试成绩的平均数为8；
【小问3详解】
解：调查的学生中得满分的百分比为，
由此估计该校得满分的学生有（名），
答：估计能得满分的有60名学生．
【点睛】本题考查统计图表，众数，中位数，平均数等统计量，用样本估计总体，熟练掌握各个统计量是解题的关键．
24. 如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点D作交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，由，是半径，可得，由是的直径，可得，则，，进而结论得证；
（2）由勾股定理得，，由是的直径，可得，证明，则，即，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，是半径，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：由题意知，，
由勾股定理得，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，垂径定理，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，垂径定理，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第四象限，点在轴的正半轴上，连接、、，，，抛物线经过、、三点．

（1）求点的坐标和抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线向上平移个单位长度后得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）存在，的坐标或．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，面积问题；
（1）求出抛物线的对称轴为，再根据A的坐标为，，得出点B的坐标为，根据，得出，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据平移可得抛物线的函数表达式为，先求出，设点D的坐标为，根据得出，将代入即可求解．
【小问1详解】
该抛物线的表达式为，
，
该抛物线的对称轴为，
抛物线经过点A，且点A在y轴的负半轴上，
点A的坐标为，
，对称轴为，
点B的坐标为；
，
，代入
即
解得：
∴抛物线的函数表达式为
【小问2详解】
存在，理由如下：
将抛物线向上平移个单位长度后得到抛物线，
∴抛物线的函数表达式为
，，
，
，
设点D的坐标为，
∵
∴
∴
解得：
当时，
当时，
点的坐标为或．
26. 【问题提出】
（1）如图1，在中，°，，点O是的中点，以点O为圆心，为半径向上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接，则线段的最小值为______；
【问题探究】
（2）如图2，在等边中，，点P为内一点，连接，，求线段长度的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即），过点E作于点G，在的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）连接，，根据即可求解；（2）由题意可推出，结合，为定值以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解；（3）连接，延长，可推出，以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解；
【详解】解：（1）连接，，如图所示：
∵
∴
由题意得：，
∴
故答案为：
（2）由题意得：
∵
∴
∴
∵，为定值
以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示：
∴
，
∵
∴
即：线段长度的最小值为
（3）连接，延长，如图所示：
∵，点是的内心
∴
∵，
∴
∵平分
∴垂直平分线段
∴
∴
∴
∴
∴
∵为定值，
以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示：
∵
∴
∵，
∴
∴
作，则
∴，
∴
【点睛】本题考查了与线段最值有关的轨迹圆问题，难度较大，解题关键在于找到“定长+定角度”，从而确定动点的轨迹．
x
…
0
1
2
…
y
…
m
…
李涵 王芳
春
花
山
月
春
春春
春花
春山
春月
花
花春
花花
花山
花月
山
山春
山花
山山
山月
月
月春
月花
月山
月月
方案
方案①
方案②
测量示意图
图①
图②
测量说明
如图①，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出的长度
如图②，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D、E两点之间的距离
测量结果
，，
，，
测试成绩/分
6
7
8
9
10
人数/名
3
4
7
2
m