福建省福州市第十五中学等五校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 计算的值是（ ）
A. 62B. 102C. 152D. 540
【答案】A
【解析】
【分析】利用组合和排列数公式计算
【详解】
故选：A
2. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用常见函数的导数可以判断B、C的真假，利用积的导数的运算法则判断D的真假，利用商的导数的运算法则判断A的真假.
【详解】∵，故A错误；
∵，故B正确；
∵，故C错误；
∵，故D错误.
故选：B
3. 若，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分别令与代入计算，即可得到结果.
【详解】当时，；
当时，
所以，
故选：C
4. 若的图象的顶点在第二象限，则函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.
【详解】因为，
所以函数的图象是直线，斜率；
又因为函数的顶点在第二象限，所以极值点小于零，
所以的零点小于零，
结合直线的特征可得C符合.
故选：C
5. 曲线在处的切线的倾斜角是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.
【详解】，
设切线的倾斜角为，则，即，
故选：A．
6. 现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.
【详解】记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
则，
由全概率公式得．
故选：B．
7. 有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ）
A. 462B. 630C. 672D. 882
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分两种情况讨论：
若用两种颜色涂色，有种涂色方法；
若用三种颜色涂色，有种涂色方法；
所以有种不同的涂色方法.
故选：C.
8. 已知函数，若，，则实数k的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为在上能成立，利用导数求的最大值，求k的范围，即知参数的最大值.
【详解】由题设，使成立，
令，则，
∴当时，则递增；
当时，则递减；
∴，故即可，所以k的最大值为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知展开式中常数项是，则的值为（ ）.
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】AD
【解析】
【分析】根据二项式展开式得到，再令，则得到，解出即可.
【详解】展开式的通项为，
若要其表示常数项，须有，即，
又由题设知，或，或.
故选：A D．
10. 高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：
下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（ ）
A.
B. 选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人
C. 在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合
D. 选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的
【答案】AC
【解析】
【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.
【详解】对A：由，则，故A正确；
对B：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，
故至少有三人选择化学并选择了历史，
故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B错误；
对C：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，
故共有种不同的选考科目组合，故C正确；
对D：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D错误.
故选：AC.
11. 若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】构造函数，将恒成立问题转化为恒成立问题，求导，研究单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.
【详解】由得，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，，当时，恒成立，
所以图象如下：
，
，即，，
对于A：当时，，根据图象可得不恒成立，A错误；
对于B：当时，，根据图象可得恒成立，B正确；
对于C：当时，，根据图象可得恒成立，C正确；
对于D：当时，，又，
因为，且，即，
所以，即，
根据图象可得恒成立，D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为，通过整体结构相同从而构造函数来解决问题.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用条件概率的概率公式即可求解.
【详解】由题意可得：，，，
由条件概率公式可得，
故答案为：.
13. 某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X近似服从正态分布，且P，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．
【答案】200
【解析】
【分析】根据X近似服从正态分布，且P，求得即可.
【详解】因为X近似服从正态分布，且P，
所以，
又该校有1000人参加此次统考，
估计该校数学成绩不低于130分的人数为人.
故答案为：200.
14. 将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）
【答案】36
【解析】
【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.
【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，
可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，
则共有种分配方案.
故答案为：36
四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数，且．
（1）求的值；
（2）设，求过点的切线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数求解参数即可.
（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.
【小问1详解】
定义域为，，
而，而已知，可得，
解得，故的值为，
【小问2详解】
，设切点为，设切线斜率为，
而，故切线方程为，
将代入方程中，可得，解得(负根舍去)，
故切线方程为，
16. 已知在的展开式中，第6项为常数项．
（1）求；
（2）求含的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）；（2）；（3），，.
【解析】
【分析】
（1）求出的展开式的通项为，当时，指数为零，可得；
（2）将代入通项公式，令指数为，可得含的项的系数；
（3）根据通项公式与题意得，求出的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．
【详解】（1）的展开式的通项为，因为第6项为常数项，所以时，有，解得．
（2）令，得，所以含项的系数为．
（3）根据通项公式与题意得，令，则，即．，∴应为偶数．又，∴可取2，0，-2，即可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为，，，即，，．
【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令，由以及，求出的值，进而得出的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．
17. 如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．
（1）求的值：
（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
【答案】（1）
（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.
【解析】
【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件属于全概率事件，分别计算出和，代入全概率公式即得；
（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率，根据条件概率公式分别计算再比较即得.
【小问1详解】
由已知得：,而
由全概率公式可得：
【小问2详解】
因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：,其概率为,
“小明取出球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：,其概率为,
“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：,其概率为.
综上，最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.
18. 为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.
（1）求乙闯关成功的概率；
（2）求甲编写程序正确的个数的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
【答案】（1）0.648
（2）分布列见解析，期望为，甲比乙闯关成功的概率要大.
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得的可能取值为，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.
【小问1详解】
记事件A为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，
则
【小问2详解】
甲编写程序正确的个数的可能取值为，
，
故X的分布列为：
故，
甲闯关成功的概率，故甲比乙闯关成功的概率要大.
19. 已知曲线.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；
（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令、求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.
【小问1详解】
∵定义域为，且，
①当时， 恒成立，∴在上单调递增；
②当时， 令，解得或，
∴在，上单调递增，
综上：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，.
【小问2详解】
由（1）得，又∵，
∴切线方程为，依题意，
令，得；
令，得，
切线与坐标轴所围成的三角形的面积，
依题意，即，解得或，
即实数的取值范围为.
选考科目名称
物理
化学
生物
历史
地理
政治
选考该科人数
36
39
24
12
a
b
0
1
2
3