广西壮族自治区崇左市扶绥县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. x取什么值时，有意义( )
A. x＞﹣4B. x＜﹣4C. x≥﹣4D. x≤﹣4
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得4+x≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：4+x≥0，
解得：x≥﹣4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2. （ ）
A. 5B. 7C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，先计算根号下的平方，再求算术平方根即可．
【详解】解：，
故选：A．
3. 下列根式不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的判断．掌握最简二次根式满足的两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，根据最简二次根式的定义求解即可．
【详解】解：A.是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B. ，不是最简二次根式，故该选项符合题意；
C. 是最简二次根式，，故该选项不符合题意；
D. 是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B.
4. 计算的结果是（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的减法运算，先化简二次根式，再进行减法运算即可．
【详解】解：，
故选：A．
5. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、，即未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
6. 将一元二次方程配方后所得的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法求解即可，解题的关键熟练掌握配方法解方程．
【详解】解：，
，
，
故选：．
7. 解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先移项，然后提取公因式分解因式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8. 已知关于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A. ﹣1B. 1C. ﹣2D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0得1＋m﹣3＝0，然后解关于m的方程．
【详解】解：把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0，
得：1＋m﹣3＝0，
解得m＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9. 如图所示，在中，，分别以、、为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为、、，则的值为（ ）
A. 25B. 175C. 600D. 625
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：在中，，由勾股定理得，，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键在于熟练掌握勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，则有．
10. 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去四个角的两个小正方形和两个小长方形（阴影部分）后，恰好折成如图2所示的有盖的长方体纸盒，且它的底面积是．设纸盒的高为，则可列出方程为（ ）
图1 图2
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设该有盖纸盒的高为，则有该纸盒的底面的长跟宽分别为，再根据底面积为列出方程即可．
【详解】解：设该有盖纸盒的高为，由题意及图可得两个小正方形的边长也为，则有该纸盒的底面的长跟宽分别为，
由题意得，，
故选：B．
11. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴上的点，掌握求法是解题的关键．由勾股定理可求，，即可求解．
【详解】解：由题意得
，，
由作法得：，
；
表示的数为；
故选：A．
12. 如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（ ）
A. （）nB. （）n﹣1C. （）nD. （）n﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2＝；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴OA5＝4＝，
……
∴OAn的长度为（）n﹣1，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在指定的空格内．）
13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握：有实数根，则是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案：．
14. 已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，，
∴，
故答案为：．
15. 在中，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求得，代入式子即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 计算：__________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据二次根式的乘除运算计算即可；
【详解】．
故答案是12．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，准确计算是解题的关键．
17. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.
【答案】（12-x）（8-x）=77
【解析】
【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【详解】道路的宽为x米．依题意得：
(12-x)(8-x)=77，
故答案为(12-x)(8-x)=77.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．
18. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为_____．
【答案】x＝3或x＝﹣7
【解析】
分析】由题意可得x+2=a，5=b，代入所给公式得：（x+2）*5=（x+2）2-52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
【详解】解：据题意得，
∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21＝0，
∴（x﹣3）（x+7）＝0，
∴x＝3或x＝﹣7．
故答案为：x＝3或x＝﹣7
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，属于新定义题型，将所求方程转化为一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先根据完全平方公式去括号，再化简二次根式，最后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先根据平方差公式去括号，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 用适当的方法解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了用适当的方法解一元二次方程．
（1）用公式法解一元二次方程即可．
（2）设，则原式变形为：，用因式分解法解出，，再把，代入，解两个一元一次方程即可得到原方程的解．
【小问1详解】
解：原方程化为：，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
即，
【小问2详解】
解：设，
则原式变形为：，
分解因式得：，
解得：，，
当时，，
当时，，
∴原方程的解为：，．
21. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
22 把一元二次方程按如下要求计算：
（1）化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
（2）求这个一元二次方程的解．
【答案】（1）一般形式为：，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为0．
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，因式分解法解一元二次方程．
（1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题．
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
∴一般形式为：，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为0．
【小问2详解】
由（1）知化为，
∴
，
∴或，
∴，．
23. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．
（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）12，16；（2）△ABC为直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）在直角三角形中，应用勾股定理求值即可；
（2）先计算出AC2+BC2=AB2，即可判断出△ABC为直角三角形．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB，
∴△BCD和△ACD都是直角三角形，
∴CD==12，
AD==16；
（2）△ABC为直角三角形，
理由：∵AD=16，BD=9，
∴AB=AD+BD=16+9=25，
∵AC2+BC2=202+152=625=252=AB2，
∴△ABC为直角三角形．
【点睛】考查了勾股定理应用，解题关键是熟记勾股定理以及勾股定理的逆定理．
24. 劳动教育已纳入人才培养全过程．某学校为加强劳动教育，建设了一个校园农场．经过同学们的辛勤劳动，这个农场培育的某种农作物2021年的产量为200千克，2023年的产量为288千克．
（1）若这种农作物产量这两年的年平均增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个年平均增长率，这个校园农场2024年这种农作物的产量为多少千克？
【答案】（1）这个增长率为
（2）这个校园农场2024年这种农作物的产量为千克
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程实际应用，有理数乘法的实际应用：
（1）设这个增长率为x，则2022年的产量为千克，2023年的产量为千克，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求用2023年的产量求出2024年的产量即可．
【小问1详解】
解；设这个增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：这个增长率为；
【小问2详解】
解：千克，
答：这个校园农场2024年这种农作物的产量为千克．
25. 阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当时，化简：__________．
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）2 （2）或
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，
（1）根据二次格式的性质即可得；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可得；
掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式，
当时，原式，
故答案为：4．
【小问2详解】
解：，
当时，原式，
，符合条件；
当时，原式，（舍去）；
当时，原式，
，符合条件，
∴a的取值范围是或．
26. 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【答案】没有危险，不需要暂时封锁
【解析】
【分析】过C作CD⊥AB于D．根据CA⊥CB，得出∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=1300米．利用S△ABC=AB•CD=BC•AC得到CD=米．再根据米＞400米可以判断没有危险．
【详解】解：公路AB段没有危险，不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
因为BC=1200米，AC=500米，
所以，根据勾股定理有AB==1300米，
因为S△ABC=AB•CD=BC•AC，
所以CD===米，
由于400米＜米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．