河南省驻马店市确山县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的
1. 下列一定是二次根式的是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可．
【详解】解：A、当b为负数的时候，不是二次根式，不符合题意；
B、2不是二次根式，不符合题意；
C、是二次根式，符合题意；
D、当a为负数的时候，不是二次根式，不符合题意；
故选：C．
2. 满足下列条件的，其中是直角三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】解：A、，，
∴最大角为，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
B、设分别为，
，
，
是直角三角形，
故本选项符合题意；
C、，
∴不符合三角形三边关系，
故本选项不符合题意；
D、，
，
不直角三角形，
故该选项不符合题意；
故选：B．
3. 在中，有两个内角的度数比为，则中较大内角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，对角相等，结合四边形的内角和为360度，计算即可．
【详解】解：设中的较小的内角的度数为，则较大的内角为，
∵平行四边形的对角相等，
∴，
解得：，
∴，
即：中较大内角的度数是；
故选A．
4. 已知是整数，非负整数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据是整数，得到是完全平方数，再利用二次根式有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：，且是整数，
是整数，即是完全平方数，
，
的最小非负整数值为0，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．
5. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ）
A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
【详解】根据平移的性质，得到，
故选：C．
6. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （ ）
A. 海里/时B. 20海里/时C. 海里/时D. 海里/时
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，由题意可得，的长，再利用勾股定理求出的长，根据速度路程时间可得答案．熟练掌握方向角的定义、勾股定理是解答本题的关键．
【详解】解：设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，
由题意得，，(海里)，(海里)，
由勾股定理得，OA(海里)，
∴乙轮船的平均速度为2(海里/时)．
故选：D．
7. 如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点M 是的中点，，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，如图所示，当点B在最高位置时，过点B作垂直于地面于C，取中点H，连接，根据三角形中位线定理和平行线的唯一性证明重合，即点H与点N重合，则可得，即小朋友离地面的最大距离是．
【详解】解：如图所示，当点B在最高位置时，过点B作垂直于地面于C，取中点H，连接，
∵点M 是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵支柱垂直于地面，垂直于地面，
∴，
∴由平行线的唯一性可知重合，即点H与点N重合，
∴，
∴小朋友离地面的最大距离是，
故选：B．
8. 电流通过导线时会产生热量，电流 I（单位：） 、导线电阻 R（单位：）、通电时间 t（单位：）与产生的热量Q（单位：）满足 ．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流I的值是（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，直接根据公式代值计算即可．
【详解】解：由题意得，，
解得或（舍去），
故选：A．
9. 如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米 ，米，为 了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在 B 、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（ ）米，踏之何忍”
A. 5B. 6C. 4D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而求出米，即可得到答案．
【详解】解：在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴少走了6米，
故选：B．
10. 图1是第63 届国际数学奥林匹克竞赛会标，图2是其主体的中间部分图案，它是一个 轴对称图形．已知，作菱形，使点H，F，G分别在上，且点E 在 上．若，则整个图形的面积为（ ）
A. B. C. 20D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称图形的定义等等，如图所示，连接，由菱形的性质可得，有轴对称图形的定义可得点E为的中点，且，据此证明是等边三角形，求出，则；再证明都是等边三角形，如图所示，过点D作，求出，则，可得整个图形的面积为．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵整个图形是一个轴对称图形，
∴点E为的中点，且，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
由菱形的性质可得，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴都是等边三角形，
如图所示，过点D作，
∴，
∴，
∴，
∴整个图形的面积为，
故选：A．
二、填空题 （每小题3分，共15分）
11. 比较大小：________（填“>”“<”或“=”）．
【答案】＜
【解析】
12. 数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A的同岸选取点C，测 得米，， 如图，据此可求得A，B之间的距离为 ______ 米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，先证明是等腰直角三角形，米，则由勾股定理可得米．
【详解】解；∵，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
故答案为：．
13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
则
∴
=
=
=
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
14. 如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，；②过点，作直线，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质是解答本题的关键；
由中垂线的作法可知，然后由的周长为8，可知，继而可求出平行四边形的周长．
【详解】解：由作法得：垂直平分，
，
的周长为8，
即，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长．
故答案为：16．
15. 如图，已知正方形，点M是边延长线上的动点（不与点A重合）且，由平移得到，若过点E作，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得时，；
②无论点M运动到何处，都有；
③在点M的运动过程中，四边形可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，一定大于．
以上结论正确有________（把所有正确结论的序号都填上）．

【答案】①②④
【解析】
【分析】①正确．证明，即可得出结论．②正确．证明是等腰直角三角形即可．③错误．首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可判断．④正确．证明，即可判断．
【详解】解：如图，连接．

由题可得，，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，故②正确；
当时，，
∴，
∴中，，
即，故①正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形不可能是菱形，故③错误，
∵点M是边延长线上的动点（不与点A重合），且，
∴，
∴，故④正确；
由上可得正确结论的序号为①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算或求值：
（1）
（2）已知，求：的近似值（结果保留小数点后两位）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算：
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
17. 如图，在平行四边形中，E为上一点，F为上一点，与对角线交于点 O．有以下三个条件：①；②；③．从中选取一 个作为题设，余下的两个作为结论，组成一个正确的命题，并加以证明．
【答案】①为题设，②③为结论或②为题设，①③为结论或③为题设，①②为结论，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，，再任选择一个条件作为题设证明，即可根据全等三角形的性质证明另外两个成立．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
①为题设，②③为结论，证明如下：
∵，
∴，即，
∴，
∴；
②为题设，①③为结论，证明如下：
∵，
∴，
∴；
∴，即；
③为题设，①②为结论，证明如下：
∵，
∴，
∴；
∴，即．
18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；
（3）如图3中是不是直角？请说明理由．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）是直角
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，正方形的性质．解题的关键是能够利用勾股定理求出网格中线段的长度．
（1）根据面积为10的正方形的边长为结合勾股定理和正方形的性质画图即可；
（2）由勾股定理画图即可；
（3）由勾股定理求出各边长，再根据勾股定理逆定理判断即可．
【小问1详解】
解：面积为10的正方形的边长为，
∵，
∴如图1所示的四边形即为所求；
【小问2详解】
解：∵，，
∴如图2所示的三角形即为所求；
【小问3详解】
解：是直角，理由如下：
如图3： ，
，
，
∵，即，
∴为直角三角形，且．
19. 如图①，已知线段，，．求作：矩形．（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹），以下是某同学的作法：①如图②，过点A 作的垂线；②过点C作的垂线，交于点D；
（1）根据以上作法，能得到四边形是矩形的依据是 ；
（2）请用另一种方法，在图①中作出矩形，并证明你的正确性．
【答案】（1）有三个角为直角的四边形为矩形
（2）画图见解析，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定：
（1）根据有三个角为直角的四边形为矩形判断即可；
（2）根据矩形的判定作出图形即可．
【小问1详解】
解：由作图可知，，
∴四边形是矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）．
故答案为：有三个角为直角的四边形为矩形；
【小问2详解】
解：如图①、②，矩形即为所求．
证明：如图①所示，由作图方法可知，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
如图②所示，由作图方法可知互相平分，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形．
20. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求长方形的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）米
（2）元
【解析】
【分析】（1）根据长方形的周长公式计算即可；
（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．
【小问1详解】
解：（米），
∴长方形的周长为米．
【小问2详解】
（平方米），
则（元），
∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元．
【点睛】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
21. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”．
（1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形；
（2）当时，求菱形的“神似度”．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质推理是解题的关键．
（1）根据正方形的判定得出答案即可；
（2）连接和，交于点，根据、菱形的性质，得出、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，得出，，即可代入计算出菱形的“神似度”．
【小问1详解】
解：∵对角线相等的菱形是正方形，
∴当时，即时，菱形是正方形，
∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，连接和，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即菱形的“神似度”为．
22. 将边长分别为的正方形的面积记作，
（1）计算；
（2）猜想，并证明．
【答案】（1），，
（2）猜想，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式应用：
（1）先根据正方形面积公式求出对应正方形的面积，然后根据二次根式的计算法则作差即可；
（2），，据此求出即可．
【小问1详解】
解：
；

；

；
【小问2详解】
解：猜想，证明如下：
∵，，
∴
23. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长；
深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)．
【答案】(1；(2；(3)的长为或10
【解析】
【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可；
（2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1），，
，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
即的长为；
（2）四边形是长方形，
，，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为；
（3）解：四边形是长方形，
，，
设线段的垂直平分线交于点，交于点，
则，
分两种情况：
①如图，当点在长方形内部时，
点在线段的垂直平分线上，
，，
由折叠的性质得：，，
在中，由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为；
②如图，当点在长方形外部时，
由折叠的性质得：，，
同①得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即长为；
综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为52或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．