河南省信阳市新县高级中学2024届高三下学期模拟考试一数学试题（原卷版+解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设是虚数，是实数，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
3 已知向量、、满足，，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ）
A. 244B. 243C. 242D. 241
5. 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积为（ ）
A. 4B. C. 8D.
6. 设，函数的零点分别为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的右顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（ ）
A. 为定值B. 线段的中点在一条定直线上
C. 为定值D. 为定值（为抛物线的焦点）
10. 已知圆锥SO（O是底面圆圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三角形面积的最大值为
B. 三棱锥体积的最大值
C. 四面体外接球表面积的最小值为11
D. 直线SP与平面所成角的余弦值的最小值为
11. 甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 数列是等比数列D. 的数学期望
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个球，若甲球必须放入第1个盒子中，则不同的方法种数是______.
13. 已知函数 的一条对称轴为 ，且在 上单调，则的最大值为_________.
14. 点是棱长为4正四面体表面上的动点，该四面体的外接球的半径是______；若MN是该正四面体外接球的一条直径，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲､乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
（1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望；
（2）在甲､乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
16. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）求点到平面距离．
17. 已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和;
(3)数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列?若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由.
18. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
19. 已知函数，恒成立.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）数列满足：，，若数列中有无穷个不同的项，求整数的值.