湖南省长沙市长沙县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若有意义，则a的取值范围是（ ）
A. a≥1B. a≤1C. a≥0D. a≤﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：若有意义，则，
解得：．
故选：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2. 已知的三边长分别为6，8，10，则的面积为（ ）
A. 12B. 24C. 30D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在一个三角形中，若两较小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，根据可得到是直角三角形，据此利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵的三边长分别为6，8，10，且，
∴是直角三角形，且两直角边长为6和8，
∴的面积为，
故选：B．
3. 下列条件不能够判定“平行四边形是菱形”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的判定定理，逐一验证判断即可．
【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形；
B、对角线互相垂直的平行四边形亦可得到菱形；
C、邻边相等的平行四边形可判定是菱形；
D、选项中是矩形，不能判定其为菱形；
故选：D．
．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定定理，解题的关键是熟练掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算法则，直接利用二次根式的乘法运算法则依次计算进行判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 下列命题，其中是真命题的为（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可．
【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意；
B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意；
C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；
D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意
故选D．
【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键．
6. 下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A. a：b：c＝3：4：5B. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C. ∠A+∠B＝∠CD. a：b：c＝1：2：
【答案】B
【解析】
【分析】A、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；B、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；D、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状.
【详解】A、因为a：b：c=3：4：5，所以设a=3x，b=4x，c=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，故为直角三角形，故A选项不符合题意；
B、因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形，故B选项符合题意；
C、因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形，故C选项不符合题意；
D、因为a：b：c=1：2：，所以设a=x，b=2x，c=x，则x2+（x）2=（2x）2，故为直角三角形，故D选项不符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了解直角三角形相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
7. 下列不能表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断即可．
【详解】解：根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断，
A：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；
B：观察x与y的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；
C：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；
D：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．
8. 如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，
同理可得△AEG的面积=，
△BCE的面积=×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，
∴△AFG的面积=△AEF的面积+△AEG的面积+△EFG的面积=×3=4.5，
故选：A．
9. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．
【详解】解： ∵AC=12，DB=16，
∴AO=6，BO=8，
由勾股定理的，AB==10，
∵AH⊥BC，
∴S菱形ABCD=BC⋅AH=AC⋅BD，
即10AH=×12×16，
解得AH=，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°．
在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠ADE．∴AD=DE=4．
∵正方形的边长为4，∴BD=．∴BE=BD－DE=．
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形．
∴EF=BE==．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 把化为最简二次根式，结果是_________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题的关键．
12. 平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____．
【答案】
【解析】
【分析】作轴于，则，，再根据勾股定理求解．
【详解】作轴于，则，．
则根据勾股定理，得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．
13. 如下图，在中，，为的中点，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】据直角三角形的性质得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解： 为直角三角形，且为的中点，
，
而，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14. 顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是______．
【答案】菱形
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．连接、，根据矩形的性质，以及三角形中位线的性质，可得，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接、，

、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，，
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形．
15. 已知，求______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义求出的值即可．
【详解】∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．
16. 如图，在等腰直角△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝CD＝8，点M在DC上，且DM＝2，点N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是_______．
【答案】10
【解析】
【分析】作D关于AC的对称点B，连接BM，BC，将DN，MN转化为DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作D关于AC的对称点B，连接BM，BC，
∴BN=DN，∠BCA=∠DCA，
∵∠ADC=90°，AD=CD=8，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴∠BCA=45°，
∴∠BCD=90°，
∵DN+MN=BN+MN≥BM，
当B、N、M三点共线时，DN+MN的值最小，
∵BC=CD=8，DM=2，
∴CM=6，
在Rt△BCM中，，
∴100，
∴BM=10，
∴DN+MN的值最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了最短路径问题，勾股定理等知识，恰当添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用二次根式的性质先化简，合并后再进行二次根式的除法运算即可求解；
（）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可；
本题考查了二次根式混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：原式
，
．
18. 一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前有多高？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答．
【详解】解：如图所示：
∵是直角三角形，，，
∴
答：这棵大树在折断前高．
19. 先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝﹣2．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：原式＝÷(﹣)
＝÷
＝·
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝＝＝．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法，根据分式的运算法则把所给代数式正确化简是解答本题的关键．
20. 如图，在中，点M，N分别是边，的中点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．
根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得是平行四边形，即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形平行四边形，
∴，．
∵M，N分别是、的中点，
∴，，则，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
21. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简．

【答案】
【解析】
【分析】利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可．
【详解】解：如图所示：
∴，，
则原式
．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键．
22. 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC=EF，进而求出答案．
【详解】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵EF∥CD
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DE＝CF．
（2）∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
23. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若，，求菱形AOBE的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）
【解析】
【分析】（1）根据BE∥AC，AE∥BD，可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA=OB，由菱形的定义可以得到结论成立；
（2）根据∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE边OA上的高，然后根据菱形的面积=底×高，代入数据计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD矩形，AC=4，
∴AC=BD=4，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=60°，
∴BF=OB•sin∠AOB=，
∴菱形AOBE的面积是：OA•BF==．
【点睛】本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积=底×高或者是对角线乘积的一半．
24. 先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等．
（1）①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______；
（2）你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
【答案】（1）①（答案不唯一）；②
（2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键．
（1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值；
（2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可．
【小问1详解】
解：①根据已知等式的规律可写出：，…（答案不唯一，符合规律即可）．
②∵（a，b为正整数），
∴，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：第一个等式为，即；
第二个等式为，即；
第三个等式为，即．
∴用含正整数的式子表示为：，
验证如下：
．
25. 如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．
（1）连接，当经过边的中点D时，求证：；
（2）①当t为______时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形C直接写出结果）；
②当t为______时，（直接写出结果）
【答案】（1）证明见解析
（2）①或；②或
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质等等：
（1）由平行线的性质得到，由线段中点的定义得到，由此即可证明；
（2）①当点F在线段上时，则，当点F在线段延长线上时，则，再根据平行四边形的性质得到，据此建立方程求解即可；②先根据平行线间间距相等得到中边上的高的长度与中边上的高的长度相等，进而得到，再仿照（2）①分两种情况建立方程求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①由题意得，，
当点F在线段上时，则，
当点F在线段延长线上时，则，
∵，
∴以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形时，，
∴或，
解得或，
∴当或时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或；
②∵，
∴中边上的高的长度与中边上的高的长度相等，
∵，
∴，
由前面可知当点F在线段上时，则，当点F在线段延长线上时，则，
∴或，
解得或；
∴当或时，，
故答案为：或．