江苏省扬州市江都区八校联谊2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2. 为了解我国几个品牌智能手机在全球市场智能手机的份额，统计时宜采用（ ）
A. 扇形统计图B. 折线统计图C. 条形统计图D. 统计表
【答案】A
【解析】
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；据此解答即可．
【详解】解：为了解我国几个品牌智能手机在全球市场智能手机的份额，统计时宜采用扇形统计图．
故选：A．
【点睛】本题考查统计图的选择．理解条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点是解题的关键．
3. 代数式 ，，，，，中是分式的有（ ）．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此求解即可．
【详解】解：代数式 ，，，，，中是分式的有，，共2个，
故选：A．
4. “清明时节雨纷纷”这个事件是（ ）
A. 必然事件B. 确定性事件C. 不可能事件D. 随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生可能性大小判断．
【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件，
故选：D．
5. 双减政策下，某中学为了解全校名初中学生的睡眠情况，抽查了其中的名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是（ ）
A. 以上调查属于全面调查B. 是样本容量
C. 100名学生是总体的一个样本D. 每名学生的睡眠时间是一个个体
【答案】D
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A.以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B.是样本容量，故B不符合题意；
C. 名学生的睡眠时间是总体的一个样本，故C不符合题意；
D.每名学生睡眠时间是一个个体，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6. 下列代数式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分式的基本性质计算后判断正误．
【详解】解：A、，原变形错误，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，原变形错误，本选项不符合题意；
D、，原变形错误，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
7. 如图，平行四边形ABCD的周长为28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为( )
A. 28B. 12C. 13D. 17
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，BC+CD=14．又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得DECD，OEBC，所以易求△DOE的周长．
【详解】解：∵▱ABCD的周长为28，
∴2(BC+CD)=28，则BC+CD=14．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OBBD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DECD，
∴OEBC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DEBD(BC+CD)=6+7=13，
即△DOE的周长为13．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质定理，三角形中位线定理．熟记相关性质，并能依据性质得出线段之间的关系是解决此题的关键．
8. 如图，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点F在CD上，且DF＝5，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、EF的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】分点E与点B重合，点E与点C重合，分别找到MN位置，结合图象即可判断MN扫过区域的形状，进而求出面积．
【详解】解：如图所示：当点E与B点重合时，点M位于AB中点，点N位于EG中点；
当点E'与C点重合时，点M'位于AC中点，点N'位于E'G中点；
∵M是AB的中点，M'是AC的中点，N是EG的中点，N'是E'G中点，
∴MM'、NN'分别是△ABC、△GBC的中位线，
∴MM'∥BC且MM'＝BC，NN'∥BC且NN'＝BC，
∴四边形MM'N'N为平行四边形，
∴MN扫过的区域为平行四边形MM'N'N，
∴S＝N'N·（BM－CN'）＝BC·（AB﹣GC）＝×12×（×9﹣×4）＝15，
故选：C．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用相关性质和定理．
二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 为调查神舟十四号飞船各设备的运行情况，应采用______的方式．（填“普查”或“抽样调查”）
【答案】普查
【解析】
【分析】根据全面调查的定义：在一个调查中对全体对象都进行了调查，像这样考察全体对象的调查叫做全面调查；抽样调查调查是这样一种方法，它只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况．据此判断即可．
【详解】解：为调查神舟十四号飞船各设备的运行情况，应采用普查的方式．
故答案为：普查．
【点睛】本题考查了抽查和普查的适用范围，熟练掌握普查和抽查的定义以及适用范围是解本题的关键．
10. 分式与分式的最简公分母是____.
【答案】
【解析】
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：可化为：；可化为：
故最简公分母为：
【点睛】本题考查分式，解题的关键是正确理解最简分母的定义，本题属于基础题型．
11. 为了解某校七年级1000名学生每天的阅读时间，从中抽取了100名学生进行调查，在这个问题中，样本容量是___________．
【答案】100
【解析】
【分析】根据样本容量的定义，即可求解．
【详解】解：这个问题中，样本容量是100．
故答案为：100
【点睛】本题主要考查了样本容量，熟练掌握样本容量则是指样本中个体的数目是解题的关键．
12. 如图，在平行四边形中，，，于E，则_______度．

【答案】
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质可得，由平行四边形的性质可得，再利用直角三角形中两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵，，
，
，，
，，
，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质及直角三角形两锐角互余，熟练掌握其性质是解题的关键．
13. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）．
【答案】0.93
【解析】
【分析】根据题意，用频率估计概率即可．
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14. 如图，四边形的对角线，E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形是___________（平行四边形，矩形，菱形，正方形中选择一个）
【答案】菱形
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理可得，进一步可得同理可得又根据即可得进一步即可得证．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是各边的中点，
∴，
∴
同理可证
又∵，
∴
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定和三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
15. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】利用矩形与轴对称的性质先证明 再利用勾股定理求解 再利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】解： 把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC＝9，CD＝3，






解得：

故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，证明是解本题的关键．
16. 若分式的值为0，则______．
【答案】
【解析】
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】解：由分式的值为0，得
且，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
17. 若关于的分式方程 有增根，则的值为 __．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：，
解得：．
故答案为：1．
18. 如图，在矩形ABCD中，，，是边上任意一点，过点A、C、D作射线的垂线，垂足分别是E、F、G，若，则m的最小值是__________．

【答案】
【解析】
【分析】连接、，由矩形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接、

∵四边形是矩形
∴，，
由勾股定理得：
∵
∴
∵和的边上的高
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴m随着的增大而减小
∴时，m最小，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）原分式方程的解是
（2）原分式方程的解是
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程
（1）方程两边都乘以，把分式方程化为整式方程，求解即可；
（2）方程两边都乘以，把分式方程化为整式方程，求解即可．
【小问1详解】
解：，
方程两边都乘以，得
，
解得，
当时，，
所以原分式方程的解是；
【小问2详解】
解：，
方程可化为，
方程两边都乘以，得
，
解得，
当时，，
所以原分式方程的解是．
20. 某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为______名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
【答案】（1）120 （2）见解析
（3）
（4）600
【解析】
【分析】（1）利用A的人数除以A的百分比即可；
（2）利用总人数乘以B的百分比求出B的人数，然后完成统计图即可；
（3）利用D的百分比即可；
（4）利用乘以C的百分比求解即可．
【小问1详解】
解：此次被调查的学生人数为（名）；
【小问2详解】
解：B的人数为：（名），
补图如下：
；
【小问3详解】
解：拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数为；
【小问4详解】
解：
答：有600名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，明确题意，从统计图中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出关于原点O的中心对称图形；
（2）将绕点E顺时针旋转90°得到，画出；
（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可画出；
（2）根据旋转的性质即可画出；
（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
小问3详解】
解：根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，
∴，
故答案为：
22. 如图，在 □ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点．已知AE＝CF，M，N分别是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形.
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据平行四边形ABCD的性质得到AB和CD平行且相等，结合已知条件发现DF和BE平行且相等．证明四边形DEBF为平行四边形．得到DE和BF平行且相等，再结合中点的概念，所以四边形MENF为平行四边形．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD，
∴BE∥DF，
∵ AE＝CF，
∴ BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形
∴DE∥BF ,DE=BF，
∵点M,N分别是DE,BF中点，
∴EM=DE, FN=BF，
∴EM=FN，
∵EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形.
【点睛】本题考查平行四边形的判定、性质、三角形的中位线定理，解题关键是正确选择判定与性质，不能混淆.
23. 如图，在中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形是正方形．
（1）求证：；
（2）已知的面积为20，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，，再根据正方形的性质，可得，再根据“角角边”，即可解答．
（2）根据平行四边形的面积，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出，再根据全等三角形的性质，即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，
，
在与中，
，
．
【小问2详解】
解：的面积为20，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，内容覆盖面广，熟练运用相关性质是解题的关键．
24. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化软实力，是中国特色社会主义植根的沃土，是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的根基．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．
（1）求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元；
（2）该校共购进“四大名著”多少套？
【答案】（1）150元；（2）44套
【解析】
【分析】（1）设第一批购进“四大名著”每套的价格为x元，列出方程即可；
（2）由（1）得，当时，，即可求解．
【详解】解：（1）设第一批购进“四大名著”每套的价格为x元，
则根据题意，得
解得
经检验是所列方程的解．
答：第一批购进“四大名著”每套的价格是150元．
（2）当时，，
所以（套）．
答：该校共购进“四大名著”44套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25. 如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形．
（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；因为Rt△AOC的斜边上的中线OD等于斜边的一半，所以矩形的邻边OD=CD，所以矩形CDOF是正方形．
【详解】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF．
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴2∠COD+2∠COF=180°．
∴∠COD+∠COF=90°．
∴∠DOF=90°．
∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）．
∴OD⊥AC，AD=DC
∴∠CDO=90°．
∵CF⊥OF，
∴∠CFO=90°．
∴四边形CDOF是矩形．
（2）解：当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下：
∵∠AOC=90°，AD=DC，
∴OD=DC．
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形．
因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．
26. 阅读下面的解题过程:
已知,求的值.
解:由知 所以即
所以,所以的值为.
说明:该题的解法叫做“倒数法
请你利用“倒数法”解下面题目:
已知:求:(1) 的值；(2)的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论；
（2）计算所求式子的倒数，再将代入可得结论．
【详解】解：（1）


（2）




.
【点睛】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型．
27. 数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．
（1）糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．
（2）糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．
（3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设为三边的长，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；
（2）加入克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；
（3）利用（2）的结论来证明即可．
【小问1详解】
解： 由题意得，加入克水，糖水为克，
∴糖水的浓度为；
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
∴；
故答案为：；．
【小问2详解】
解：由题意得，加入克糖，糖水为克，糖为克，
∴糖水的浓度为；
假设新的“糖水不等式”为，下面用数学知识证明：
，其中，
∴，
∴，即，
故答案为：；．
【小问3详解】
证明：由（2）可知
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．
28. 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．

（1）初步思考：若点P落在矩形的边上（如图①）．
①当点P与点A重合时， , 当点E与点A重合时， ；
②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．
（2）深入探究：点F与点C重合，点E在上，线段与线段交于点M（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②证明见解析，菱形的边长为
（2）存在，
【解析】
【分析】（１）①根据折叠的性质，得到等角，进而求解；②由折叠知，，由平行线的性质可知，于是，进而推出，得证四边形为菱形，设，，勾股定理求得，得菱形边长为．
（2）如图④中，连接 ．可证，于是，设 ，则 ，中，运用勾股定理，，解得，．
【小问1详解】
①

如图，当点P与点A重合时， ,
当点E与点A重合时，；
【小问2详解】
如图②，

由折叠可知，，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴四边形为菱形
时，设 ，则
则 ，
解得，
∴
所以菱形边长为 ．
（2）如图④中，连接 ．

∵，
∴，
∴，设 ，则 ,
则
∵，
∴
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键．
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率（精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931