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山东省滨州市博兴县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份山东省滨州市博兴县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省滨州市博兴县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、山东省滨州市博兴县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
（时间120分钟，满分120分）
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分36分.
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐项进行判定即可得出答案．
【详解】解：A：，被开方数含有分母，所以A选项不是最简二次根式；
B：，所以B选项不是最简二次根式；
C：，所以C选项是最简二次根式；
D：，所以D选项不是最简二次根式；
故选：C．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟知最简二次根式定义是解题的关键．
2. 下列计算错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则进行计算，逐项判断即可．
【详解】解：A、 3与不是同类二次根式，不能合并，故错误，符合题意；
B、 ，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确进行计算．
3. 在下列以线段，，的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B.
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理解答，验证较小的两边平方和是否等于最大边的平方．
【详解】A、∵，∴该三角形是直角三角形；
B、设，∵，∴， ∴，∴该三角形是直角三角形；
C、∵，∴该三角形是直角三角形；
D、∵，∴该三角形不是直角三角形；
故选：D．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，正确区分边长的大小，熟记勾股定理的逆定理的计算公式是解题的关键．
4. 如图，在平行四边形中，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质定理直接判断即可．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，与相交于点，
，，，OD=OB，OA=OC，
故B、C、D正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5. 如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1，过点B作，使，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出，再根据数轴上两点间的距离求出D对应数即可．
【详解】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=90°
∴，
∴D点对应的数为：．
故选：A．
【点睛】本题考查无理数在数轴上的表示，勾股定理，数轴上两点间的距离，熟悉数轴上两点间的距离公式是解题关键．
6. 若一直角三角形的两边为5和12，则它第三边的长为（ ）
A. 13B. C. 13或D. 13或
【答案】D
【解析】
【分析】存在两种情况，第一种为：5和12为直角边，另一边为斜边；第二种为：5和另一边为直角边，12是斜边．
【详解】情况一：5和12为直角边
根据勾股定理，设另一边为x，则：
解得：x=13
情况二：5和另一边为直角边，12为斜边
根据勾股定理，设另一边为x，则：
x=
故选：D
【点睛】本题考查勾股定理，多解是本题的关键，切不可遗漏．
7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴知：，
∴，
∴
=，
故选：A．
8. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得即可解答．
【详解】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为的中点，
是的中位线，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键．
9. 如图，在等腰中，，，且，以边，，为直径画半圆，则所得两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，求不规则图形面积，先利用勾股定理求出，则，再根据进行求解即可．
【详解】解：在等腰中，，，且，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，
∴
，
故选：D．
10. 在□ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝120°，则□ABCD的面积是( )
A. 3B. 6C. 15D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】作AE⊥BC于点E，在直角△ABE中，利用三角函数求得AE的长，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：作AE⊥BC于点E．
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=60°
在直角△ABE中，AE=AB•sinB=3×=．
∴▱ABCD的面积是：AE•AD=4×=6cm2．
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及三角函数，正确求得高AE的长是解题关键．
11. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，∠CBD＝90°，BC＝8，BE＝ED＝6，AC＝20，则四边形ABCD的面积为（ ）
A. 65B. 96C. 84D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【详解】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE＝．
∵AC=20，
∴AE＝10，
∵BE＝DE＝6，AE=CE＝10，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC•BD＝8×（6+6）＝96．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，平行四边形的判定以及平行四边形面积的计算公式.
12. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2．
【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵⊥，∠ACB=45，
∴，
当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13. 若式子在实数范围内有意义，则x取值范围是______.
【答案】x>3
【解析】
【分析】利用二次根式的定义和分母不为零，分析得出答案即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x-3＞0，
∴x的取值范围是：x＞3．
故答案为x＞3．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
14. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同类二次根式才能合并列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得：，
故答案为：；
【点睛】本题考查最简二次根式及同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并是同类二次根式．
15. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则_____cm．
【答案】3
【解析】
【分析】先证明，再结合平行四边形的性质，计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为_________m．
【答案】10
【解析】
【分析】先根据题意得出，，在设，得到，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意并熟练运用勾股定理是解题的关键．
17 在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为___．
【答案】2
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AB、AC、BC的长的平方，再根据勾股定理判断△ABC是直角三角形，求出三角形面积，由同一三角形面积相等即可求出AD．
【详解】解：；
，
，
，
，
，
同一三角形面积相等，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理和同一三角形的面积相等，关键是判断△ABC是直角三角形．
18. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④，其中说法正确的结论有_____（填序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确．
【详解】①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故选项①正确；
②大正方形的面积是，小正方形的面积是4，
∴4个直角三角形的面积为，
∴，解得：，
故选项②错误；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即，化简得，故选项③正确；
④因为，所以，故此选项不正确．
故答案为：①③．
【点睛】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识，能灵活运用勾股定理是解题关键．
三、解答题：本大题共6个小题，满分60分.解答时请写出必要的演推过程.
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
；
；
原式．
20. 如图，在中，点分别在上，且，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．先证明四边形是平行四边形，从而得到，从而即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E，F分别在边上，，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
21. 如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求线段的长．
【答案】
【解析】
【分析】如图，首先求出BD的长，设 根据勾股定理列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图， ∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=BC＝3；
由对折知：AN=DN，
设
则
由勾股定理得：
解得：x=5，
∴BN=，
即BN的长为4．
【点睛】本题考查了翻折变换及其性质的应用问题；勾股定理的应用，解一元一次方程，掌握以上知识是解题的关键．
22. 如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点，
（1）请用不带刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形判断四边形形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形为平行四边形，理由见解析
【解析】
【分析】题目主要考查角平分线的作法及平行四边形的判定和性质，熟练掌握角平分线的作法及平行四边形的判定和性质是解题关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，再由角平分线及等量代换确定，得出，再由平行四边形的判定即可证明．
【小问1详解】
解：作图如下：
即为所求；
【小问2详解】
四边形是平行四边形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
.
又平分，平分，
，.
，
∴，
又四边形是平行四边形，
，
四边形为平行四边形．
23. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）17.7米 （2）5米
【解析】
【分析】（1）在Rt△BDC中利用勾股定理求出CD的长度，即可求解；
（2）根据题意可知下降后CD的长度由原来的16米变为16-7=9米，BD不变，此时在Rt△BCD中利用勾股定理求出此时BC的长度，即可求解．
【小问1详解】
根据题意有：BD=12米，BC=20米，CD⊥BD，AB=DE=1.7米，
∴在Rt△BCD中，（米），
∴CE=CD+DE=16+1.7=17.7（米），
即风筝的垂直高度为17.7米；
【小问2详解】
∵风筝沿CD方向下降7米，DE保持不变，
∴此时的CD=16-7=9（米），
即此时在Rt△BCD中，BD=12米，有（米），
相比下降之前，BC缩短长度为：20-15=5（米），
即小明应该回收线5米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，明确题意并能灵活运用勾股定理是解答本题的关键．
24. 如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，求出、、，即可；
（2）根据全等三角形的得出，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：；
【小问2详解】
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
的面积为．
（时间120分钟，满分120分）
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分36分.
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐项进行判定即可得出答案．
【详解】解：A：，被开方数含有分母，所以A选项不是最简二次根式；
B：，所以B选项不是最简二次根式；
C：，所以C选项是最简二次根式；
D：，所以D选项不是最简二次根式；
故选：C．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟知最简二次根式定义是解题的关键．
2. 下列计算错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则进行计算，逐项判断即可．
【详解】解：A、 3与不是同类二次根式，不能合并，故错误，符合题意；
B、 ，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确进行计算．
3. 在下列以线段，，的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B.
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理解答，验证较小的两边平方和是否等于最大边的平方．
【详解】A、∵，∴该三角形是直角三角形；
B、设，∵，∴， ∴，∴该三角形是直角三角形；
C、∵，∴该三角形是直角三角形；
D、∵，∴该三角形不是直角三角形；
故选：D．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，正确区分边长的大小，熟记勾股定理的逆定理的计算公式是解题的关键．
4. 如图，在平行四边形中，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质定理直接判断即可．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，与相交于点，
，，，OD=OB，OA=OC，
故B、C、D正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5. 如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1，过点B作，使，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出，再根据数轴上两点间的距离求出D对应数即可．
【详解】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=90°
∴，
∴D点对应的数为：．
故选：A．
【点睛】本题考查无理数在数轴上的表示，勾股定理，数轴上两点间的距离，熟悉数轴上两点间的距离公式是解题关键．
6. 若一直角三角形的两边为5和12，则它第三边的长为（ ）
A. 13B. C. 13或D. 13或
【答案】D
【解析】
【分析】存在两种情况，第一种为：5和12为直角边，另一边为斜边；第二种为：5和另一边为直角边，12是斜边．
【详解】情况一：5和12为直角边
根据勾股定理，设另一边为x，则：
解得：x=13
情况二：5和另一边为直角边，12为斜边
根据勾股定理，设另一边为x，则：
x=
故选：D
【点睛】本题考查勾股定理，多解是本题的关键，切不可遗漏．
7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴知：，
∴，
∴
=，
故选：A．
8. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得即可解答．
【详解】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为的中点，
是的中位线，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键．
9. 如图，在等腰中，，，且，以边，，为直径画半圆，则所得两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，求不规则图形面积，先利用勾股定理求出，则，再根据进行求解即可．
【详解】解：在等腰中，，，且，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，
∴
，
故选：D．
10. 在□ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝120°，则□ABCD的面积是( )
A. 3B. 6C. 15D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】作AE⊥BC于点E，在直角△ABE中，利用三角函数求得AE的长，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：作AE⊥BC于点E．
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=60°
在直角△ABE中，AE=AB•sinB=3×=．
∴▱ABCD的面积是：AE•AD=4×=6cm2．
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及三角函数，正确求得高AE的长是解题关键．
11. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，∠CBD＝90°，BC＝8，BE＝ED＝6，AC＝20，则四边形ABCD的面积为（ ）
A. 65B. 96C. 84D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【详解】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE＝．
∵AC=20，
∴AE＝10，
∵BE＝DE＝6，AE=CE＝10，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC•BD＝8×（6+6）＝96．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，平行四边形的判定以及平行四边形面积的计算公式.
12. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2．
【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵⊥，∠ACB=45，
∴，
当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13. 若式子在实数范围内有意义，则x取值范围是______.
【答案】x>3
【解析】
【分析】利用二次根式的定义和分母不为零，分析得出答案即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x-3＞0，
∴x的取值范围是：x＞3．
故答案为x＞3．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
14. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同类二次根式才能合并列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得：，
故答案为：；
【点睛】本题考查最简二次根式及同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并是同类二次根式．
15. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则_____cm．
【答案】3
【解析】
【分析】先证明，再结合平行四边形的性质，计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为_________m．
【答案】10
【解析】
【分析】先根据题意得出，，在设，得到，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意并熟练运用勾股定理是解题的关键．
17 在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为___．
【答案】2
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AB、AC、BC的长的平方，再根据勾股定理判断△ABC是直角三角形，求出三角形面积，由同一三角形面积相等即可求出AD．
【详解】解：；
，
，
，
，
，
同一三角形面积相等，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理和同一三角形的面积相等，关键是判断△ABC是直角三角形．
18. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④，其中说法正确的结论有_____（填序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确．
【详解】①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故选项①正确；
②大正方形的面积是，小正方形的面积是4，
∴4个直角三角形的面积为，
∴，解得：，
故选项②错误；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即，化简得，故选项③正确；
④因为，所以，故此选项不正确．
故答案为：①③．
【点睛】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识，能灵活运用勾股定理是解题关键．
三、解答题：本大题共6个小题，满分60分.解答时请写出必要的演推过程.
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
；
；
原式．
20. 如图，在中，点分别在上，且，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．先证明四边形是平行四边形，从而得到，从而即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E，F分别在边上，，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
21. 如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求线段的长．
【答案】
【解析】
【分析】如图，首先求出BD的长，设 根据勾股定理列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图， ∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=BC＝3；
由对折知：AN=DN，
设
则
由勾股定理得：
解得：x=5，
∴BN=，
即BN的长为4．
【点睛】本题考查了翻折变换及其性质的应用问题；勾股定理的应用，解一元一次方程，掌握以上知识是解题的关键．
22. 如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点，
（1）请用不带刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形判断四边形形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形为平行四边形，理由见解析
【解析】
【分析】题目主要考查角平分线的作法及平行四边形的判定和性质，熟练掌握角平分线的作法及平行四边形的判定和性质是解题关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，再由角平分线及等量代换确定，得出，再由平行四边形的判定即可证明．
【小问1详解】
解：作图如下：
即为所求；
【小问2详解】
四边形是平行四边形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
.
又平分，平分，
，.
，
∴，
又四边形是平行四边形，
，
四边形为平行四边形．
23. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）17.7米 （2）5米
【解析】
【分析】（1）在Rt△BDC中利用勾股定理求出CD的长度，即可求解；
（2）根据题意可知下降后CD的长度由原来的16米变为16-7=9米，BD不变，此时在Rt△BCD中利用勾股定理求出此时BC的长度，即可求解．
【小问1详解】
根据题意有：BD=12米，BC=20米，CD⊥BD，AB=DE=1.7米，
∴在Rt△BCD中，（米），
∴CE=CD+DE=16+1.7=17.7（米），
即风筝的垂直高度为17.7米；
【小问2详解】
∵风筝沿CD方向下降7米，DE保持不变，
∴此时的CD=16-7=9（米），
即此时在Rt△BCD中，BD=12米，有（米），
相比下降之前，BC缩短长度为：20-15=5（米），
即小明应该回收线5米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，明确题意并能灵活运用勾股定理是解答本题的关键．
24. 如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，求出、、，即可；
（2）根据全等三角形的得出，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：；
【小问2详解】
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
的面积为．
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