山东省青岛市市北区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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说明：
本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；
第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分．
所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效
第I卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1. 已知a，b都是实数，且，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（ ）
A. 142°B. 132°C. 119°D. 109°
6 用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（ ）
A. 有一个内角小于B. 每一个内角都小于
C. 有一个内角大于D. 每一个内角都大于
7. 已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的为（ ）

A. ①②③B. ①②③④C. ①②④D. ①③④
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 与2的差不大于5，用不等式表示为________．
10. 请写出命题“如果，那么，”的逆命题：______．
并判断该逆命题的真假：______（填真或假）．
11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交边于点E，长，则的周长等于______．
12. 如图是测量一物体体积的过程：
步骤一：将180 的水装进一个容量为300的杯子中；
步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出．
根据以上过程，请你推测一颗玻璃球的体积所在的范围是__________________．

13. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是_______．

14. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为________．
15. 如图，点为的三个内角的角平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______．

16. 风力发电是一种常见的环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个叶片，它们的底端重合、且每两个叶片夹角为，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知初始位置时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，所有叶片同时每秒绕原点顺时针转动，则第2023秒时，点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____．
三、作图题：（本题满分4分）
17. 请利用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
如图，求作四边形内部的点P，使得，并且点P到两边的距离相等．
四、解答题（本题满分68分，共有7道小题）
18. （1）解不等式，并把解集表示在所给的数轴上：．
（2）求不等式组的整数解．
19. 如图，小颖同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，绘制平面图形，请根据下列要求解答问题．
（1）绕点A逆时针旋转______度得到；
（2）在图中画出将关于点A中心对称后得到的．
（3）在以点A为原点，以所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中，若点，请写出它的对称点的坐标为______．
20. 如图， ，，．求证：．

以下是合作小组三名同学关于此题讨论：
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”
小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．”
看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明．
21. 暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示．

（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．
22. 如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒．
（1）______（用代数式表示）；
（2）当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值；
（3）当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
23. 某工厂计划下个月生产甲，乙两种产品共900件，甲、乙两种产品的相关信息如表：
（成品率每月生产产品合格可销售的件数每月生产产品总的件数）
若该工厂下个月生产甲种产品件，销售甲、乙两种产品的总利润为元，
（1）求与之间的函数关系式（不必写自变量的取值范围）；
（2）若该工厂下个月计划生产甲、乙两种产品的总成品率不低于，且销售利润最大，求此时的最大利润是多少元？
24 提出问题：
如图1，点P为等边内部的一点，连接．当，，，的面积是多少？
探究问题：
探究（一）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、．
则与全等吗？请说明理由；
探究（二）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、．
请判断是直角三角形吗？请说明理由．
提炼方法：
通过尝试你很容易发现：、可以作如同样的旋转，这样的旋转可以帮助我们把已知数据6、8、10，转化为特殊三角形的边长，使我们有可能进行图形面积的计算了．
解决问题：
如图1，点P为等边内部的一点，连接．当，，，的面积是______．产品
每件利润（元/件）
成品率
甲
100
乙
80