陕西省西安市高新第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知非零向量，满足=2，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 设函数，则（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
5. 已知，则的值是（ ）
A B. C. D.
6. 我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点为平面内不同的四点，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 记锐角的内角的对边分别为已知，设甲：；乙：的取值范围为，以下说法正确的是（ ）
A. 甲为真命题，乙为真命题B. 甲为真命题，乙为假命题
C. 甲为假命题，乙为假命题D. 甲为假命题，乙为真命题
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的函数是（ ）
A B. C. D.
10. 已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4，以这个直角三角形的一条边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，这个几何体的表面积可以是（ ）
A. B. C. D.
11. 在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若则等腰三角形
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则一定等边三角形
D. 若，则一定是等腰三角形
12. 已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点，则（ ）
A. B.
C. D. 在方向上的投影向量为
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点，向量，，点满足，则点的坐标为__________．
14. 一个长方形容器中盛有水，侧面为正方形，且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于__________．
15. 在中，点在边上，已知，，的面积为，则_____．
16. 函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是______.
四．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数与都是纯虚数．
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值．
18. 已知向量，.
（1）若向量与平行，求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
19. 已知中，角所对的边分别为，，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，点在边上，且平分，求的长度.
20. 已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）首先将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得函数的图象向右平移个单位长度，最后再将所得函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的值域．
21. 某市政府计划在一处河道湿地修建一个公园．湿地公园呈五边形形状，如图所示，其中长为600米，在BC上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条绿道其中绿道终点两点分别在边界上，且．
（1）绿道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）为了方便游客，打算在湿地公园原有规划基础上增添一条商业步道EF，若建设绿道平均每米需花费200元，建设商业步道平均每米需花费400元，试求建设绿道与商业步道总花费的最小值．
22. 已知函数,.
（1）若，求的单调区间；
（2）求函数在上的最值；
（3）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.