中考数学二轮专题复习——圆中的计算(五)隐圆中的最值模型

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基本模型1垂线段最短
【例1】如图,等边△ABC的边长为3,F为BC上的动点,DF⊥AB于点D,EF⊥AC于点E,则DE的长的最小值为.
【解析】过A,D，F ,E作⊙О,取AF的中点О,则OA=OD=OF=OE，
∴A,D,F,E在以AF为直径的⊙О上,作直径 DM,连接EM,
则∠M=60°，
∴ DE=,DM=AF,∴AF⊥BC时,AF最小,
此时AF=,故DE有最小值.
基本模型2定弦定角
【例2】如图, ⊙O的半径为2,AB是弦,△ABC为直角三角形，∠ACB=90°,∠BAC=30°,连接OC.则OC的最大值为.
【解析】设直线BC与⊙О交于点D，∠ACB=90°,
∠BAC=30°,则╱B=60°，∴AD为定弦﹐连接ОA,OD,
易得AD=0A=2,∵∠ACB=90°,取AD中点Q，
则点C在以AD为直径的⊙Q上,作射线OQ交⊙Q于点E，
则OC的最大值为OE=OQ+QE=1+
基本模型3 直径是圆中最长的弦
【例3】(2020原创题)如图,在△ABC中,AB=2,∠ACB=120°,则△ABC周长的最大值为
【解析】延长AC至点D,使CD=CB,连接DB,则∠ADB=60°
∴点D在以AB为弦，其所对的圆周角为60°的弧上运动
∴当AD为直径时,其长度最大,即AC+CB最大.
∵当AD为直径时﹐∠ABD=90°，
∴AD=
∴△ABC的周长最大值为.
基本模型4定弦所对弧的中点到弦的距离最大
【例4】(2020 原创题)在△ABC中,AB=6,∠ACB= 45°,则△ABC面积的最大值为
[解析]如图，作△ABC的外接圆⊙O,当点C运动至
的中点C'处时,AB边上的高最大，即△ABC的面积最大.
易证C'O⊥AB于点D, 连接OA.OB.则∠AOB=90°，
∴AO=BO=C'O==，OD=AB=3,∴C'D=+3
∴△ABC面积的最大值为ABCD=
基本模型5隐切线
【例5】已知半圆⊙O的直径AB 长为12,点P是半圆上的一动点,点Q是弦AP上的一点,且AQ=2PQ, 连接BQ并延长交⊙0于点M,则长度的最大值为2π
[解析]连接OP,在AB上取一点,使A=AO =4.连接Q,
则,∴△AO1Q∽△AOP,∴O1Q=OP=4,
∴点Q在以4为半径的⊙01上，∴当BM与⊙01相切时,
∠ABM最大,最长，
设切点为Q1.则01Q1⊥BM,∵01Q1=4，01B=8.
∴∠01BQ1= 30°，
∴的长度最大时所对的圆心角为60°,最大值为：