广东省东莞市常平中学等三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

这是一份广东省东莞市常平中学等三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知函数在处的导数为3，则（ ）
A．3B．1C．2D．
2．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．，
3．已知（，且），若，则（ ）
A．B．C．D．
4．若曲线在处的切线垂直于直线，则（ ）
A．B．C．0D．1
5．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．180种D．240种
6．已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A．B．1215C．135D．
7．从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．36B．42C．45D．54
8．若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若，则x的值可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．二项式的展开式中的有理项为（ ）
A．B．C．D．
11．下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．在处的切线斜率是
D．过点的切线方程是
三、填空题
12．已知的展开式的第7项为常数项，则正整数的值为 .
13．某同学有4本相同的小说书，1本散文书．从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有 种
14．若函数在上不单调，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
16．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求在上的值域.
17．设，，
（1）当时，若
求．
（2）当时，若展开式中的系数是20，求的值．
（3）展开式中的系数是19，当，变化时，求系数的最小值．
18．已知函数与函数.
（1）若，的图像在点处有公共的切线，求实数的值；
（2）设，求函数的极值.
19．已知函数.
(1)若是函数的一个极值点，求实数的值；
(2)若函数有两个极值点，其中，
①求实数的取值范围；
②若不等式恒成立，求实数的取值范围.
2023-2024三校联考高二数学参考答案及评分细则
一 1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．D
9．BD 10．ACD 11．BC
12．8 13． 14．
四、
15．解：（1）由，则； 2分
（2）由，则； 4分
（3）由 ，则；,,,,,,,, 6分
（4）由，则； 8分
（5）由，则 ； 10分
（6）由，则 13分
16．（1）函数，则，
当时，，当，，
故函数在上单调递增，在上单调递减；分
（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，
则在上的最大值，最小值，
故在上的值域为. 15分
17．（1）赋值法：分别令，则，
令，，
两式相加得. 5分
（2）时，，因为的系数为20，所以，即，又，得. 10分
（3）由题意得，，即，
，又因为，所以，当或时，
展开式中的系数最小，为 15分
18．解：（1）因为，，所以、，
所以点同时在函数与的图象上 ，
又，，
由已知，得，所以，解得； 6分
（2）因为，
所以，
当时，
因为且，所以恒成立，
所以在上单调递增，所以函数无极值 ，
当时，
令，解得（舍），
所以当时的变化情况如下表：
所以当时取得极小值，且
综上，当时在上无极值；
当时在处取得极小值，无极大值； 分
19．（1）易知，又是函数的一个极值点，
，即.
此时，令，
在上单调递增，且，
当，当，
在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，即符合题意；
因此实数的值为.分
（2）①因为，且有两个极值点，
所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根，
将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，
则，令，解得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且当时，，故作出的图象如下：
由图象可得满足题意，即.
即实数的取值范围为； 11分
②由①知是的两个根，
故，则，
不妨设，又，所以可得，
可得，即，所以；
故由可得，
即，所以；
也即，化简得，
由于，所以等价于对任意的恒成立，
令，故对任意的恒成立，
则，
设，则，
（i）当时，单调递增，
故单调递减，故，不满足，舍去；
（ii）当时，单调递减，
故单调递增，故，故恒成立，符合题意；
（iii）当时，令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
又，故时，，此时单调递减，故，
因此当时，，不符合题意，舍去.
综上，实数的取值范围为. 17分
0
单调递减
极小值
单调递增