陕西省学林2024届高考全真模拟考试数学（理科）试题

这是一份陕西省学林2024届高考全真模拟考试数学（理科）试题，共12页。试卷主要包含了已知，若，则，若点在平面区域上，则的最小值是，设O为坐标原点，直线过抛物线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数，，，若，则在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办法.如图，已知圆锥的高与底面半径均为2，过轴的截面为平面OAB，平行于平面OAB的平面与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，将双曲线C的这部分平移到平面OAB内.若双曲线C的两条渐近线分别平行于OA，OB，以点O为坐标原点建立恰当的坐标系后，则平移后的双曲线C的方程可以为（ ）
A.B.C.D.
4.若的展开式中的各项系数和为243，则（ ）
A. 32B. 31C. 16D. 15
5.已知，若，则（ ）
A.B.C.D.
6.若点在平面区域上，则的最小值是（ ）
A.B.C. 1D. 2
7.在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（ ）
A.直线与BD所成的角为90°
B.线段的长度为
C.直线与所成的角为90°
D.直线与平面ABCD所成角的正弦值为
8.今年两会期间，“新质生产力”被列为了2024年政府工作十大任务之首.某中学为了让高三同学对“新质生产力”有更多的了解，利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新质生产力”方面的公益讲座.已知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有（ ）
A.48种B.84种C.24种D.12种
9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（ ）
A.B.C.D.
10.设O为坐标原点，直线过抛物线（）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）
A.B.
C.的面积为D.以MN为直径的圆与l有两个交点
11.将一个体积为的铁球切割成一个正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（ ）
A.B.C.D.
12.已知函数，若，，，则（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则______.
14.圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是______.
15.已知函数（）在区间上有且仅有3个极值点，则的取值范围是______.
16.已知函数（）仅有一个零点，则实数a的值为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，记为的前n项和，是等比数列，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）记，求数列的前10项和.
18.（本小题满分12分）
体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占.
（Ⅰ）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？
（Ⅱ）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率.
附：，.
19.（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDE中，已知，，且，.
（Ⅰ）求证：平面平面BCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知动圆M经过定点，且与圆内切.
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.
21.（本小题满分12分）
已知函数（），.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明：（）；
（Ⅲ）证明：（）.
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（s为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线（）.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程以及曲线的普通方程；
（Ⅱ）过点A且平行于l的直线m与交于M、N两点，求的值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数（，）.
（Ⅰ）当，时，解不等式；
（Ⅱ）若的最小值为6，求的最小值.
2024年高考全真模拟考试
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.C 11.B 12.D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.14.15.16.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：（Ⅰ）由题意得，，
又是等比数列，，
，，，
又，故，
又是等差数列，故为等比数列，首项，公比，
.……………………（6分）
（Ⅱ），
，
令，则（），
记的前n项和为，
，
数列的前10项和为760.……………………（12分）
18.解：（Ⅰ）因为随机抽取了80人，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占，所以可得到如下列联表：
由
所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关.……………………（6分）
（Ⅱ）根据分层抽样，抽取的男生人数为2人，女生人数为1人，记“恰有两人闯关成功”为事件A，“有女生闯关成功”为事件B，
则，
，
由条件概率的公式得.
故恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为.……………………（12分）
19.解：（Ⅰ）证明：取AC的中点G，连接EG，
，，
，∴四边形EDCG为平行四边形，，
又，，，，
又，.
，BC，CD是平面BCD内的两条相交直线，平面BCD，
又平面ABC，平面平面BCD.……………………（6分）
（Ⅱ）在平面BCD内过点C作BC的垂线l，
平面BCD，
∴l，CA，CB两两相互垂直，故以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
设在线段BC上存在点（），
使二面角的余弦值为，
则，，.
设平面AEF的法向量为，
则即
令，则，，
.
设平面ABE的法向量为，
则即
（AÉ .n =0， m（ -， +）y:+ /2 =0，
令，则，，.
.
化简得，解得或（含去），
故，所以，
存在点F，当时，二面角的余弦值为.……………………（12分）
20.解：（Ⅰ）设动圆的半径为r，由题意得圆的圆心为，半径，
，，
则.
∴动点M的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
，，即，，
则，
因此轨迹C的方程为.……………………（4分）
（Ⅱ）（i）证明：设，，.
由题意可知，，如图所示，
则，，
而，于是，
，
又，则，
因此，为定值.……………………（8分）
（ii）直线PQ的方程为，设，.
由得，
由（i）可知，
即
，
解得或（舍去），
∴直线PQ的方程为，
因此直线PQ过定点.……………………（12分）
21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，，
①当时，恒成立，函数的单调递减区间为；
②当时，由，得，
当时，；当时，.
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上，当时，函数的单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.………………（5分）
（Ⅱ），恒成立，
在上单调递减，
又，，
.……………………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当时，，即，，
，（当时“=”成立）.
令（），，即，
，从而，
，…，，
累加可得，
即.
由（Ⅱ）知，在是递减函数，，即，
.
（）.……………………（12分）
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数），
∴曲线的普通方程为，即.
由，得曲线的极坐标方程为，
即曲线的极坐标方程为.……………………（2分）
由曲线的参数方程（s为参数），可得，
又，
故曲线的普通方程为（）.……………………（5分）
（Ⅱ）的极坐标为（，故A的直角坐标为，
则直线（t为参数），
联立（t为参数）与的方程，
得，
，，则，即，
设点M、N对应的参数分别为、，
则，，
.……………………（10分）
23.解：（Ⅰ）当，时，即为，得，
或或
解得或或.
故解集为.……………………（5分）
（Ⅱ），，
，
若的最小值为6，则，即.
由柯西不等式得，即，
当且仅当且，即，时等号成立.
的最小值为.……………………（10分）女生
男生
合计
运动达人
非运动达人
合计
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
女生
男生
合计
运动达人
15
30
45
非运动达人
5
30
35
合计
20
60
80