云南省下关第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题

这是一份云南省下关第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题，共13页。试卷主要包含了曲线在处的切线方程为，已知是锐角，，则，复数，则下列说法正确的有，下列计算正确的有等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题“，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
2.已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，（ ）
A.B.C.D.
3.曲线在处的切线方程为（ ）
A.B.
C.D.
4.在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有
A.120种B.72种C.48种D.24种
5.已知是锐角，，则（ ）
A.B.C.D.
6.函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（ ）
A.B.
C.D.
7.已知曲线关于直线对称，则的最小值为（ ）
A.B.4C.D.8
8.函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.复数，则下列说法正确的有（ ）
A.B.的共轭复数
C.的虚部为D.在复平面内对应的点的坐标在第四象限
10.下列计算正确的有（ ）
A.B.
C.D.
11.的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A.展开式共7项B.所有项的二项式系数之和为128
C.项系数为280D.所有项的系数之和为-1
12.抛物线C：的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ）
A.当时，B.面积的最大值为2
C.点E在一条定直线上D.设直线倾斜角为，则为定值
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在一次数学测试中，8名同学的成绩如下：112、96、100、108、121、87、103、111.则这组数据的第60百分位数为___________.
14.已知向量，，且，则___________.
15.“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第10行中最大数为___________.
16.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为___________.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（I）求角；
（Ⅱ）若，，D为的中点，求的长度.
18.（本小题满分12分）
2024年5月4日是“五四运动”105周年纪念日，为弘扬五四爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关历史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为.甲、两两人都间答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.
（I）若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率；（Ⅱ）若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，求这个问题回答正确的概率.
19.（本小题满分12分）
已知等比数列的公比，满足，且.
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，F是线段上一动点.
（I）求证：平面平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为时，求点到平面的距离.
21.（本小题满分12分）
已知函数有两个零点.
（I）求的取值范围；
（Ⅱ）设，是的两个零点，证明：.
21.（本小题满分12分）
已知在双曲线中，焦距为，且双曲线过点.斜率不为零的直线与双曲线交于A，B两点，且以为直径的圆过点P.
（I）求双曲线的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使得点P到直线的距离最大?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
下关一中教育集团2023~2024学年高二年级下学期期中考
数学参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
【解析】
7.方法1：由曲线关于直线对称，故直线经过圆心，即有，即，则，当且仅当，即时，
等号成立，故选D.
方法2：由曲线关于直线对称，故直线经过圆心，即有，即，由权方和得，当且仅当，即时，等号成立，
故选D.
8.令，，则，，所以函数在上单调递减.因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，所以函数为偶函数，又，所以，则当或时，；当或时，.由，得或解得或，所以关于的不等式的解集为，故选A.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【解析】
12.如图，
由抛物线的焦点为，故，即：，
由题意可知，直线斜率存在，设：，，，
联立
有，，，，
对A：，
当时，即有，故，
即，即或，故A错误；
对B：，故，故B错误；
对C：由，：，即，有，故：，
又，故：，同理可得：，
设点，则有，
有，，
由，，
故，，故点E在一条定直线上且该直线为，故C正确；
对D：由，，则，故有，即，故为定值且该定值为，故D正确，故选CD.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
16.由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则次传球后必定不在甲手中，设n次传球后球在甲手中的概率为，则次传球后球不在甲手中的概率为，所以，，即.因为，则，，所以，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（I）因为，由正弦定理得，
在中，，则有，
∴，
∴，
又，∴，∴，∴，
又，∴.
（Ⅱ）根据余弦定理有，
则有，解得或（舍去），
∵D为的中点，则，
∴，
∴.
18.（本小题满分12分）
解：（I）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以规定三名同学都需要回答这个问题，
P=3×3×3-6则甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率为.
（Ⅱ）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，
记事件B为“这道题被答对”，
则，，
且，，，
由全概率公式可得.
19.（本小题满分12分）
解：（I）由
因为，解得或（舍去），
所以，
所以数列的通项公式为.
（Ⅱ）因为，，由题意得：，
即，所以.
20.（本小题满分12分）
（I）证明：因为，，则，
∵平面，平面，∴，
∵，平面，∴平面，
∵平面，因此，平面平面.
（Ⅱ）解：因为底面，，以点A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
设，，
其中，易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以为的中点，即，
设平面的法向量为，，，
则取，可得，
，
因为，
所以点C到平面的距离为.
21.（本小题满分12分）
（1）解：方法一：由.
令，则函数的图象与的图象有两个交点，
，，，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
又时，；，，
所以.
方法二：的定义域为，，
当时，，在上单调递增，
至多一个零点，不符合题意，舍去；
当时，令得，所以在上单调递增，
令得，此时在上单调递减，
所以的极大值也是最大值，∴.
又时，；趋向于时，趋向于.
所以，有两个零点，的取值范围为.
（Ⅱ）证明：方法一：（比值换元）略
方法二：不妨设，由，则
构造函数，
，
因为，，∴，即，所以在上单递递增，
又，所以，∴，
∴.
又，∴.
而，在上单调递减，
所以，，即，
所以
22.（本小题满分12分）
解：（I）方法一：由题意得，且，
又，解得，，
故双曲线方程为.
方法二：由题意得双曲线的焦点坐标为，.
由定义知，
化简解得，，
故双曲线方程为.
（Ⅱ）方法一：设直线：，
联立得，
设，，
则，，
由题意得，
即
，
将，代入上式，
，
即
化简得，
变形为，
故或，
当时，直线：，经过定点（-3，1），与P重合，不合要求，
当时，直线：，经过定点，
要想P到直线的距离最大，则，其中，
故直线的斜率，
故直线的方程为，即.
经检验，满足要求.
方法2（平移+齐次化计算小）：
平移双曲线得，即，
设平移后的直线方程为，
则有，
即，
两边同除以得，
由题意得，
设，，则，
则直线过定点（-3，-3），
将（-3，-3）向左平移3个单位，向上平移1个单位，
则原直线过定点，
要想P到直线的距离最大，则，其中，
故直线的斜率，
故直线的方程为，
即，
经检验，满足要求.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
B
D
A
D
A
题号
9
10
11
12
答案
ABD
AC
BD
CD
题号
13
14
15
16
答案
108
252