2023-2024学年上海市闵行区莘庄中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市闵行区莘庄中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知θ是第三象限角，满足sinθ2<0，则θ2是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设f(n)=1n+1+1n+2+...+1n+n(n∈N*)，那么f(n+1)−f(n)等于( )
A. 12n+1−1n+1B. 12n+2−1n+1C. 12n+1+12n+2D. 12n+1−12n+2
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S15>0，S16<0则S1a1,S2a2,S3a3,…,S15a15中最大的项为( )
A. S6a6B. S7a7C. S8a8D. S9a9
4.数列{an}满足a1=1，kan+1+an+1an−an=0，k为常数，则下列说法中：①数列{an}可能是常数列；②k=1时，{1an}为等差数列；③若a3>a1，则k∈(−1,0)；④当k>0时，数列{an}递减，正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知角θ的终边上一点P(−3,4)，则csθ=______．
6.终边在y轴正半轴上的角α的集合是______(用弧度表示)．
7.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3，S4=15，则S6=______．
8.化简：cs(π2+α)+sin(π−α)−sin(π+α)−sin(−α)= ______．
9.设扇形的半径长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是______．
10.已知等差数列{an}，若a1+a5+a9=4π，则sin(a2+a8)=______．
11.在公差d不为零的等差数列{an}中，a1=2，a1，a2，a5成等比数列，则d= ______．
12.已知sinα+csβ=1，csα+sinβ=0，则sin(α+β)= ．
13.设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=a3+a4+a5+…，则q= ______．
14.方程cs(x+π4)=−12，在[0,2π]内的解集是______．
15.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2−12n，数列{|an|}的前n项和Tn，则Tnn的最小值______．
16.在角θ1、θ2、θ3、…、θ30的终边上分别有一点P1、P2、P3、…、P30，如果点Pk的坐标为(sin(15°−k°),sin(75°+k°))，1≤k≤30，k∈N，则csθ1+csθ2+csθ3+…+csθ30= ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
已知tanθ=12，求下列各式的值．
(1)2sinθ+csθsinθ−csθ；
(2)2sinθcsθ−2cs2θ.
18.(本小题15分)
(1)已知csθ=−35，且θ∈(0,π)，求tan(θ−π4)的值；
(2)已知sinα+csα=2 23,α∈(0,π)，求sinα−csα的值．
19.(本小题15分)
设数列{an}的前n项和为Sn，且2an−Sn−3=0．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*)，且b1=2，求数列{bn}的通项公式以及满足不等式bn>85的最小正整数n的值．
20.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，任意角α，β的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A，B两点．
(1)若α，β为锐角，且|AB|=2 55，求cs(β−α)的值；
(2)若角α为锐角，且终边绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于P(−13,y)，求sinα的值；
(3)若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且cs(α−β)≤0，求a+b的最大值．
21.(本小题18分)
若数列{an}满足条件：存在正整数k，使得an+k+an−k=2an对一切n∈N*，n>k都成立，则称数列{an}为k级等差数列．
(1)若数列{an}为1级等差数列，a1=1，a3=9，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)已知数列{an}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a5、a6及数列{an}的前2021项和S2021；
(3)若an=2n+sinωn(ω为常数)，且{an}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵θ是第三象限角，∴π+2kπ<θ<3π2+2kπ，k∈Z，
则π2+kπ<θ2<3π4+kπ，k∈Z，即θ2为第二或第四象限角，
又sinθ2<0，
∴θ2为第四象限角．
故选：D．
根据题意，可得θ2为第二或第四象限角，又sinθ2<0，可判断得解．
本题主要考查了象限角的判断，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵f(n)=1n+1+1n+2+...+1n+n(n∈N*)①．
∴f(n+1)=1n+2+1n+3+…+12n+2②.
②−①f(n+1)−f(n)=12n+1+12n+2−1n+1=12n+1−12n+2．
故选：D．
先求f(n+l)再求f(n+l)−f(n)即可．
本题主要考查抽象函数求值，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵等差数列前n项和Sn=d2⋅n2+(a1−d2)n，
由S15=15a8>0，S16=16×a8+a92<0可得：
a8>0，a9<0，d<0；
故Sn最大值为S8．
又d<0，an递减，前8项中Sn递增，
故Sn最大且an取最小正值时，Snan有最大值，
即S8a8最大．
故选：C．
利用等差数列的求和公式即等差数列的性质可得a8>0，a9<0，d<0，即an递减，前8项中Sn递增，即当Sn最大且an取最小正值时，Snan有最大值，从而可得答案．
本题考查等差数列的求和公式即等差数列的性质，分析得到当Sn最大且an取最小正值时，Snan有最大值是关键，考查推理与运算能力，属于难题．
4.【答案】D
【解析】解：∵kan+1+an+1an−an=0．
①k=0时an=1 数列{an}是常数列．
②k=1时 an−an+1=anan+1
∴1an+1−1an=1
∴{1an}为等差数列．
③a1=1,a2=1k+1,a3=1k2+k+1，
若a3>a1，则1k2+k+1>1．
解得：−1∴k∈(−1,0)．
④k>0且k≠1时
1an+1+1k−1=k(1an+1k−1)．
数列{1an+1k−1}以kk+1为首项，以k为公比的等比数列．
∴1an+1k−1=kk−1×kn−1．
即an=k−1kn−1
∴an+1−an=−kn(1−k)2(kn+1−1)(kn−1)<0，
即an+1k=1时an=1n，显然是减数列，
由以上可得：当k>0时，数列{an}递减．
故选：D．
根据kan+1+an+1an−an=0对k进行赋值，然后利用等差数列定义进行判断．
本题会根据数列的递推公式写出数列的前几项，并且会构造特殊数列求解．
5.【答案】−35
【解析】解：∵角θ的终边上一点P(−3,4)，则csθ=−3 9+16=−35，
故答案为：−35．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求出csθ的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
6.【答案】{α|α=π2+2kπ,k∈Z}
【解析】解：终边在y轴正半轴上的角α的集合是为{α|α=π2+2kπ,k∈Z}．
故答案为：{α|α=π2+2kπ,k∈Z}．
由已知结合轴线角的表示即可求解．
本题主要考查了轴线角的表示，属于基础题．
7.【答案】63
【解析】解：等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3，S4=15，
所以S2，S4−S2，S6−S4，也是等比数列，(S4−S2)2=S2⋅(S6−S4)，
即122=3⋅(S6−15)，
解得S6=63
故答案为：63．
直接利用等比数列的性质，求解即可．
本题考查等比数列的基本性质的应用，考查计算能力．
8.【答案】2sinα
【解析】解：cs(π2+α)+sin(π−α)−sin(π+α)−sin(−α)
=−sinα+sinα+sinα+sinα=2sinα
故答案为：2sinα
根据所给的函数式，要对函数进行整理求值，根据诱导公式把四项都变化成同一个角的三角函数形式，合并整理出最简结果．
本题看出三角函数的化简求值即诱导公式的应用，本题解题的关键是正确利用诱导公式，不要在符号上出错，本题是一个基础题．
9.【答案】18
【解析】解：由扇形的面积公式得：S=12lR，
因为扇形的半径长为8cm，面积为4cm2
所以扇形的弧长l=1．
设扇形的圆心角的弧度数为α，
由扇形的弧长公式得：l=|α|R，且R=8
所以扇形的圆心角的弧度数是18
故答案为：18．
扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为s，由面积公式和弧长公式可得到关于l和r的方程，进而得到答案．
本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．
10.【答案】 32
【解析】解：a1+a5+a9=4π，
∴3a5=4π，a5=4π3，
则sin(a2+a8)=sin(2a5)=sin8π3=sin2π3= 32．
故答案为： 32．
a1+a5+a9=4π，利用等差数列的性质可得：3a5=4π，a5，可得sin(a2+a8)=sin(2a5).
本题考查了等差数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】4
【解析】解：因为a1=2，a1，a2，a5成等比数列，
则a22=a1a5，
即(2+d)2=2(2+4d)，
即d2−4d=0，解得d=4或d=0(舍)．
故答案为：4．
由等差数列通项根据等比数列性质计算可得d=4．
本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】−12
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
把已知等式两边平方化简可得2+2(sinαcsβ+csαsinβ)=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin(α+β)=−1，可得结果．
【解答】
解：sinα+csβ=1，
两边平方可得：sin2α+2sinαcsβ+cs2β=1，①，
csα+sinβ=0，
两边平方可得：cs2α+2csαsinβ+sin2β=0，②，
由①+②得：2+2(sinαcsβ+csαsinβ)=1，即2+2sin(α+β)=1，
∴2sin(α+β)=−1．
∴sin(α+β)=−12．
故答案为：−12．
13.【答案】 5−12
【解析】解：显然q≠1，所以sn=a1(1−qn)1−q，又a1=a3+a4+a5+…，则0<|q|<1，
此时n→∞limSn=n→∞lim=a1(1−qn)1−q=a11−q，所以a3+a4+a5+…=a31−q=a1⋅q21−q，
由a1=a3+a4+a5+…，得a1=a1⋅q21−q，即q2+q−1=0，解得q=−1+ 52或q=−1− 52(舍去)，
故答案为： 5−12．
由a1=a3+a4+a5+…，可知|q|<1，算出a3+a4+a5+…用a1表示的极限，再利用a1=a3+a4+a5+…建立关于q的方程计算得出q值即可．
本题主要考查等比数列求和公式Sn=a1(1−qn)1−q，当0<|q|<1时，n→∞limSn=a11−q．
14.【答案】{5π12,13π12}
【解析】解：方程cs(x+π4)=−12，
所以x+π4=2kπ±2π3，k∈Z
解得x=2kπ±2π3−π4，k∈Z；
又因为x∈[0,2π]，
所以x=5π12或13π12，
所以方程在[0,2π]内的解集是{5π12,13π12}.
故答案为：{5π12,13π12}.
根据余弦函数的值，结合x的取值集合，即可求出方程在[0,2π]内的解集．
本题考查了由三角函数值求角的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15.【答案】5
【解析】解：数列{an}的前n项和Sn=2n2−12n，易知数列{an}为等差数列．
∴an=Sn−Sn−1=2n2−12n−2(n−1)2−12(n−1)=4n−14，
n≥4时，an>0；
n≤3时，an<0．
∴Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+…|an|=−a1−a2−a3+a4+…an，
∴Tn=−Sn=−2n2+12n,n≤3Sn−2S3=2(n2−6n+18),n≥4，
n≤3时，Tnn=−2n2+12nn=−2n+12，当n=3时，Tnn的最小值为−2×3+12=6；
n≥4时，Tnn=2(n2−6n+18)n=2(n+18n−6)，∵n∈N*，n=4时，Tnn的最小值为2(4+184−6)=5．
综上所述，则Tnn的最小值是5．
故答案为：5．
根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式，然后利用分组求和法进行求和．
本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，以及含绝对值的前n项和的求解，做题时注意n必须为正整数，属于中档题．
16.【答案】 2− 64
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由点Pk的坐标为(sin(15°−k°),sin(75°+k°))，1≤k≤30，k∈N，可得：θk=75°+k°，θk+θ30−k=75°+k°+75°+(30−k)°=180°.csθk+csθ30−k=0.即可得出．
【解答】
解：由点Pk的坐标为(sin(15°−k°),sin(75°+k°))，1≤k≤30，k∈N，
可得：θk=75°+k°，θk+θ30−k=75°+k°+75°+(30−k)°=180°．
∴csθk+csθ30−k=0．
则csθ1+csθ2+csθ3+…+csθ30=csθ15+csθ30=cs90°+cs105°=0−cs75°=−cs(30°+45°)= 2− 64．
故答案为： 2− 64．
17.【答案】解：(1)因为tanθ=12，
所以2sinθ+csθsinθ−csθ=2tanθ+1tanθ−1=2×12+112−1=−4；
(2)因为tanθ=12，
所以2sinθcsθ−2cs2θ=2sinθcsθ−2cs2θsin2θ+cs2θ=2tanθ−2tan2θ+1=1−214+1=−45．
【解析】(1)利用同角三角函数基本关系式即可求解；
(2)利用正余弦的齐次式法，结合三角函数的平方关系即可得解；
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为csθ=−35，且θ∈(0,π)，
可得sinθ=45,tanθ=−43
所以tan(θ−π4)=tanθ−11+tanθ=−43−11−43=7；
(2)由sinα+csα=2 23,α∈(0,π)两边平方可得：sin2α+cs2α+2sinαcsα=89，
即2sinαcsα=−19<0，
所以α∈(π2,π)，
则sinα>0，csα<0，
因此sinα−csα= (sinα−csα)2= sin2α+cs2α−2sinαcsα= 1−(−19)= 103．
【解析】(1)利用同角三角函数之间的基本关系可求得tanθ=−43，再由两角差的正切公式可得结果；
(2)根据sinα+csα与sinα−csα的关系式判断出α∈(π2,π)，即可得结果．
本题考查了同角三角函数之间的基本关系，重点考查了两角差的正切公式，属中档题．
19.【答案】解：(1)当n=1时，2a1−S1−3=0，可得a1=3，
当n≥2时，Sn=2an−3Sn−1=2an−1−3，
两式相减可得an=2an−2an−1，即an=2an−1(n≥2)，
∴{an}是首项为3，公比为2的等比数列，
∴an=3×2n−1；
(2)由(1)可得bn+1−bn=an=3×2n−1，
所以bn−bn−1=3×2n−2，
bn−1−bn−2=3×2n−3，
⋅⋅⋅，
b3−b2=3×21，
b2−b1=3×20，
累加得bn−b1=3×20+3×21+⋅⋅⋅+3×2n−2=3×1−2n−11−2，
因此bn=3×2n−1−1(n≥2)，
∵b1=2也符合上式，
∴bn=3×2n−1−1，
即3×2n−1−1>85，所以2n−1>863，
两边同时取对数可得n−1>lg2863，
即n>1+lg2863；
易知4=lg2483所以1+lg2863∈(5,6)，
所以最小正整数n的值为6．
【解析】(1)利用an，Sn的关系式可求得an=2an−1(n≥2)，由等比数列定义可得通项公式；
(2)利用累加法可求得bn=3×2n−1−1，解对数不等式即可得最小正整数n的值为6．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意知A(csα,sinα)，B(csβ,sinβ)，
∵|AB|=2 55，∴ (csα−csβ)2+(sinα−sinβ)=2 55，
∴cs2α+cs2β−2csαcsβ+sin2α+sin2β−2sinαsinβ=45，
∴2−2cs(β−α)=45，∴cs(β−α)=35．
(2)由角α为锐角，且终边绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于P(−13,y)，
∴y>0，且OP2=19+y2=1，y=2 23，
∴sin(α+π6)=y=2 23，cs(α+π6)=−13，
∴sinα=sin[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)csπ6−cs(α+π6)sinπ6=2 23× 32+13×12=2 6+16，
∴sinα=2 6+16．
(3)若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，可得角α和角β一个在第一象限，另一个在第二象限，
不妨假设α在第一象限，则β在第二象限，
根据题意可得A(csα,a)，B(csβ,b)，且a=sinα>0，b=sinβ>0，
∴csα= 1−a2，csβ=− 1−b2，
∴cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=− 1−a2⋅ 1−b2+ab≤0，
即可得 1−a2⋅ 1−b2≥ab，
平方可得a2+b2≤1，当且仅当a=b时，取等号．
∴a+b= (a+b)2= a2+b2+2ab≤ 2(a2+b2)≤ 2，当且仅当a=b时，取等号，
故当a=b时，a+b取得最大值为 2．
【解析】(1)由三角函数定义可得A，B两点的坐标，利用三角函数恒等变换可得结果；
(2)根据角的定义并结合P(−13,y)，利用α=(α+π6)−π6可求出sinα的值；
(3)由同角三角函数的平方关系计算可得当a=b时，a+b取得最大值为 2．
本题考查任意角定义、三角函数恒等变换、同角三角函数的平方关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)若数列{an}为1级等差数列，即为an+1+an−1=2an对一切n∈N*，n>1都成立．
则数列{an}为等差数列，设公差为d，
由a1=1，a3=9，可得d=a3−a13−1=9−13−1=4，
则Sn=n+12n(n−1)⋅4=2n2−n；
(2)数列{an}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，
可得an+2+an−2=2an对一切n∈N*，n>2都成立．
a5=2a3−a1=8−2=6，
a6=2a4−a2=6−0=6，
a7=2a5−a3=12−4=8，…，
可得数列{an}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，
则S2021=(a1+a3+…+a2021)+(a2+a4+…+a2020)=2×1011+12×1011×1010×2+12×1010×1009×3=2551767．
(3)∵{an}是3级等差数列，∴an+3+an−3=2an，对一切n∈N*，n>3都成立．
即2(2n+sinωn)=2(n+3)+sin(ωn+3ω)+2(n−3)+sin(ωn−3ω)(n∈N*)，
∴2sinωn=sin(ωn+3ω)+sin(ωn−3ω)=2sinωncs3ω(n∈N*)，
∴sinωn=0，或cs3ω=1．
sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ(k∈Z)．
cs3ω=1时，3ω=2kπ(k∈Z)，∴ω=2kπ3，(k∈Z)，
∴ω∈{ω|ω=2kπ3,k∈Z}∪{ω|ω=kπ,k∈Z}．
【解析】(1)当k=1时，an−1+an+1=2an，数列{an}为等差数列，根据条件，由等差数列前n项公式求得即可；
(2)当k=2时，an+2+an−2=2an，由条件得a5，a6，由数列{an}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式可得所求和；
(3)由3级等差数列的定义和三角函数的和差化积公式，计算可得所求集合．
本题考查数列递推式，考查等差数列的性质，是新定义题，关键是对k级等差数列概念的理解，考查逻辑思维能力和推理论证能力，是有一定难度题目．