2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二（下）期中数学试卷（含解析），共8页。试卷主要包含了下列求导正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. −1B. 1C. 3D. 4
2.数列{an}的前n的项和为Sn=2n，则a5=( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
3.5名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有( )
A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种
4.设f(x)=xlnx，若f′(x0)=3，则x0=( )
A. eB. e2C. ln22D. ln2
5.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a4=3a3+4a2，则公比q=( )
A. −1或4B. 4C. 2D. 1
6.曲线y=x2+3x在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 120°D. 135°
7.在公差不为0的等差数列{an}中，a3，a7，am是公比为2的等比数列，则m=( )
A. 11B. 13C. 15D. 17
8.若曲线f(x)=e2ax在点(0,1)处的切线与直线x−y+1=0垂直，则a的值为( )
A. −12B. 12C. −14D. 14
9.下列求导正确的是( )
A. (π2)′=2πB. (csx)′=−sinx
C. (4x)′=4xln4D. [ln(2x+1)]′=22x+1
10.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图象如图，则对于函数y=f(x)的描述正确的是( )
A. 在(−∞,0)上单调递减
B. 在x=0处取得最大值
C. 在(4,+∞)上单调递减
D. 在x=2处取得最小值
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S20230，则下列结论正确的是( )
A. {an}是递减数列B. a10120
C. |a1013|>|a1012|D. Sn≥S1012
12.一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有______种.
13.设函数f(x)=exx+a，若f′(0)=14，则a= ______．
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3=3，S4=10，则k=120241SK= ______．
15.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=1，b2=3，a5=b3．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．
16.设函数f(x)=13x3−x2+1．
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间与极值；
(3)求出方程f(x)=m(m∈R)的解的个数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等差数列，是基础题，解题时要注意等差数列的概念的合理运用．
利用等差数列的概念求解．
【解答】
解：∵三个数2a，3，a−6成等差，
∴3−2a=a−6−3，即3a=12，
解得a=4．
故选D．
2.【答案】D
【解析】解：因为Sn=2n，
所以当n≥2，n∈N*时，Sn−1=2n−1，
所以当n≥2，n∈N*时，Sn−Sn−1=2n−2n−1=2n−1，
即当n≥2，n∈N*时，an=2n−1，
当n=1时，S1=a1=2，不满足上式，
所以an=2n−1,n≥2,n∈N*2,n=1，
所以a5=24=16．
故选：D．
直接利用当n≥2，n∈N*时，an=Sn−Sn−1求解数列{an}的通项公式，赋值即可得出所求的答案．
本题考查数列的通项公式的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
3.【答案】D
【解析】解：依题意从5同学中选出1人安排到甲场馆有C51种方法，
再将剩下的4名同学分成两组，每组两人，并安排到乙丙场馆，有C42C222!⋅A22=6种方法，
故共有6C51=30种安排方法．
故选：D．
先从5同学中选出1人安排到甲场馆，再将剩下的4名同学分成两组，每组两人，并安排到乙丙场馆，最后由分步计数原理得解．
本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考察了导数的四则运算法则，及简单的对数方程的解法，解题时要熟记导数运算法则和对数运算法则，准确运算．
先利用导数乘法的运算法则求函数f(x)的导函数，再解对数方程lnx0=2即可．
【解答】
解：f′(x)=lnx+x·1x=1+lnx
∵f′(x0)=3，∴1+lnx0=3，即lnx0=2
∴x0=e2
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：等比数列{an}中，各项均为正数，且a4=3a3+4a2，
即a2q2=3a2q+4a2，所以q2=3q+4=0，
即q2−3q−4=0，解得q=4或q=−1(不合题意，舍去)，
所以公比q=4．
故选：B．
根据等比数列的通项公式，列出方程，即可求出公比q的值．
本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：y′=2x−3x2，
当x=1时，y′=−1，即曲线y=x2+3x在点(1,f(1))处的切线的斜率为−1，
则倾斜角为135°．
故选：D．
求导，利用导数的几何意义可得斜率，进而得到倾斜角．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：在公差不为0的等差数列{an}中，a3，a7，am是公比为2的等比数列，
所以2=a7a3=a1+6da1+2d，
所以a1=2d，
又ama7=a1+(m−1)da1+6d=(m+1)d8d=2，
则m=15．
故选：C．
由已知结合等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：f′(x)=2ae2ax，f′(0)=2a，
又曲线f(x)=e2ax在点(0,1)处的切线与直线x−y+1=0垂直，
则2a=−1，解得a=−12．
故选：A．
求导后可得f′(0)=2a，再根据垂直关系可得2a=−1，进而得解．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：(π2)′=0，A错误；
(csx)′=−sinx，B正确；
(4x)′=4xln4，C正确；
[ln(2x+1)]′=12x+1×(2x+1)′=22x+1，D正确．
故选：BCD．
由已知结合函数的求导公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的求导公式，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：当00，所以|a1013|>|a1012|，选项C正确；
因为a10120，所以Sn的最小值为S1012，所以Sn≥S1012，选项D正确．
故选：BCD．
根据等差数列的通项公式与前n项和公式，对选项中的命题分析、判断正误即可．
本题考查了等差数列的定义与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
12.【答案】120
【解析】解：可以先从这6盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的5盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的4盘菜中取1盘给同学丙，
按分步乘法计数原理，不同的取法种数为6×5×4=120．
故答案为：120．
利用分步乘法计数原理求解．
本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：因为f(x)=exx+a，
所以f′(x)=ex(x+a−1)(x+a)2，
若f′(0)=14=a−1a2，
解得，a=2．
故答案为：2．
先对函数求导，然后把x=0代入导函数，结合已知即可求解a．
本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】40482025
【解析】解：等差数列{an}中，设首项为a1，公差为d，则a3=a1+2d=3，S4=4a1+6d=10，
解得a1=1，d=1，所以Sn=na1+12n(n−1)d=n+12n(n−1)=12n(n+1)，
所以k=120241SK=k=12024112k(k+1)=2k=12024(1k−1k+1)=2(1−12025)=40482025．
故答案为：40482025．
根据等差数列的定义与性质，求出首项与公差，再计算前n项和，利用裂项法求出k=120241SK．
本题考查了等差数列的定义与性质应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
15.【答案】解：(1)因为{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=1，b2=3，
故公比q=3，bn=3n−1，
所以a5=b3=9，
所以公差d=a5−a15−1=2，
所以an=1+2(n−1)=2n−1；
(2)cn=an+bn=2n−1+3n−1，
所以c1+c2+…+cn=(1+3+…+2n−1)+(1+3+…+3n−1)
=n(1+2n−1)2+1−3n1−3=n2+3n−12，
即数列{cn}的前n项和Sn=n2+3n−12．
【解析】(1)先求出等比数列的公比q，然后结合通项公式求b5，再由等差数列的性质及通项公式求出an；
(2)先求出cn，然后结合等差数列与等比数列的求和公式及分组求和即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，求和公式的应用，还考查了分组求和方法的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)函数f(x)=13x3−x2+1，定义域为R，
f′(x)=x2−2x=x(x−2)，
故f′(1)=−1，f(1)=13，
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为：y−13=−(x−1)，即3x+3y−4=0；
(2)因为f′(x)=x(x−2)，
当x>2或x0，原函数单调递增；
当0