2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中南校区高二（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中南校区高二（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设f(x)是可导函数，且Δx→0limf(1−3Δx)−f(1)Δx=2，则f′(1)=( )
A. 2B. −23C. −1D. −2
2.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示，以下命题错误的是( )
A. f(−1)是函数的最小值
B. f(−3)是函数的极值
C. y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增
D. y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于0
3.已知(x+2+1x)n(n∈N*)的展开式中常数项为20，则n=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.函数f(x)=13x3−x2+ax−5在区间[−1,2]上不单调，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−3]B. (−3,1)
C. [1,+∞)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)
5.某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛(一场为男双，一场为女双，一场为男女混双)，每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有( )
A. 2025种B. 4050种C. 8100种D. 16200种
6.已知(x−2x)n的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为( )
A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项
7.已知函数f(x)=ex−1x,g(x)=csx，设甲：f(x)>g(x)；乙：x>0，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为( )
A. 56B. 67C. 78D. 1720
9.设a=sin0.2,b=0.16,c=12ln32，则( )
A. a>c>bB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是( )
A. 在第10行中第5个数最大
B. C22+C32+C42+⋯+C82=84
C. 第8行中第4个数与第5个数之比为4：5
D. 在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为2n−1
11.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是( )
A. 如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B. 甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C. 甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D. 若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
12.玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为A1，“第一次取得白球”为A2，“第二次取得黑球”为B1，“第二次取得白球”为B2，则( )
A. P(A1B1)=P(A2B2)B. P(A1B2)=P(A2B1)
C. P(B1|A1)+P(B2|A1)=1D. P(B2|A1)+P(B1|A2)>1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.已知(1+x)(1−2x)4=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5，则a1的值为______．
14.已知曲线f(x)=xlnx−1在x=1处的切线l与圆C：(x−1)2+y2=9相交于A、B两点，则|AB|= ______．
15.已知m，n为实数，不等式lnx−mx−n≤0恒成立，则nm的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知函数f(x)=x2−10x+3f′(1)lnx．
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
17.(本小题15分)
在下面三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；
条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的乘积为256．
问题：在二项式(2x−1)n的展开式中，已知_____．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求1−1x(2x−1)n的展开式中的常数项．
18.(本小题15分)
某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化．
(1)观察散点图可知，天数x与作物高度y之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的线性回归方程y =b x+a (其中a​，b​用分数表示)；
(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据(1)中的结果预测第22天该作物的高度的残差．
参考公式：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a​=y−−b​x−．
参考数据：i=110xiy=710．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+mx+1，g(x)=x(ex−1)．
(1)若f(x)的最大值是0，求m的值；
(2)若对于定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，求m的取值范围．
20.(本小题17分)
罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔⋅罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点m，使得f′(m)=0．
(1)运用罗尔定理证明：若函数f(x)在区间[a,b]连续，在区间(a,b)上可导，则存在x0∈(a,b)，使得f′(x0)=f(b)−f(a)b−a．
(2)已知函数f(x)=xlnx，g(x)=12x2−bx+1，若对于区间(1,2)内任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)−f(x2)|>|g(x1)−g(x2)|成立，求实数b的取值范围．
(3)证明：当p>1，n≥2时，有1np<1p−1[1(n−1)p−1−1np−1]．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵Δx→0limf(1−3Δx)−f(1)Δx=2，
∴−3Δx→0limf(1−3△x)−f(1)−3△x=2，
∴−3f′(1)=2，
∴f′(1)=−23，
故选：B．
根据导数的定义即可得到结论．
本题主要考查导数的定义，比较基础．
2.【答案】A
【解析】解：根据导函数图象可知当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，在x∈(−3,1)时，f′(x)≥0，
则函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,1)上单调递增，故C正确；
易知f(−3)是函数的极值，故B正确；
因为在(−3,1)上单调递增，则f(−1)不是函数的最小值，故A错误；
因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确．
故选：A．
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
本题考查了利用导数研究函数单调性和极值，考查了数形结合思想，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】解：[(x+1x)+2]n=( x+1 x)2n的二项展开式Tr+1=C2nr⋅( x)2n−r⋅(1 x)r=C2nr⋅( x)2n−2r，
当n=r时，C2nn=20，解得n=3．
故选：A．
直接利用二项展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识要点：组合数，二项展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=13x3−x2+ax−5，
∴f′(x)=x2−2x+a，
若f(x)在[−1,2]不单调，
则a=2x−x2在[−1,2]有解，
而y=2x−x2=−(x−1)2+1，
对称轴是x=1，y在[−1,1)递增，在(1,2]递减，
而x=1时，y=1，x=−1时，y=−3，
故y∈[−3,1]，
故a的取值范围是(−3,1)，
故选：B．
求出函数的导数，问题转化为a=2x−x2在[−1,2]有解，结合二次函数的性质求出a的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
5.【答案】B
【解析】解：第一步先从6名男选手中选出4人配成2对男双，有C62⋅C42A22=45种，
第二步从6名女选手中选出4人配成2对女双，有C62⋅C42A22=45种，
第三步剩下2名男选手和2名女选手组成混双，有2种，
共有45×45×2=4050；
故答案为：B．
本题可以先分析男双和女双的配对情况，注意相同元素的分组要去重，最后剩下的2男2女配成混双只有2种情况．
本题考查了分步计数原理，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：(x−2x)n的展开式二项式系数和为256，
则2n=256，解得n=8，
故通项为Tk+1=C8kx8−k(−2x)k=(−1)kC8k2kx8−2k(k=0,1,…,8)，
故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
由C8k2k≥C8k+12k+1，解得k≥5，
所以展开式中系数最大的项为第7项．
故选：C．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：f(−π2)=e−π2−1−π2>0，g(−π2)=0，满足f(x)>g(x)，但−π2<0，
故甲不是乙的充分条件；
令h(x)=ex−x−1(x>0)，则h′(x)=ex−1>0，
故h(x)在(0,+∞)单调递增，即h(x)>h(0)=0，也即ex−x−1>0在(0,+∞)恒成立，
则ex−1x>1在(0,+∞)恒成立；
故当x>0时，f(x)>1≥csx，f(x)>g(x)，甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的必要条件，但不是充分条件．
故选：B．
利用特殊值的函数值判断充分性不成立，利用导数研究f(x)的单调性和值域，结合三角函数的有界性，从而判断必要性．
本题主要考查了导数与单调性关系及函数性质在充分必要条件判断中的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，记从甲箱中抽取产品为事件A1，从乙箱中抽取产品为事件A2，
抽到不合格产品为事件B，
则P(A1)=P(A1)=12，P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.8，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=12×(1−910)+12×(1−810)=320，
故P(A1|B)=P(A1B)P(B)=12×110320=13，P(A2|B)=P(A2B)P(B)=12×210320=23，
故要求概率P=13×0.9+23×0.8=56．
故选：A．
根据题意，记从甲箱中抽取产品为事件A1，从乙箱中抽取产品为事件A2，抽到不合格产品为事件B，先求出P(B)和P(A1|B)、P(A2|B)的值，进而由全概率公式计算可得答案．
本题考查概率的计算，涉及互斥事件和相互独立事件的概率性质，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：设f(x)=sinx−(x−x2)，x∈[0,0.2]，f′(x)=csx−1+2x，
设g(x)=f′(x)，g′(x)=−sinx+2>0，所以g(x)≥g(0)=0，
所以函数f(x)在[0,0.2]上单调递增，
所以f(0.2)=sin0.2−(0.2−0.22)=sin0.2−0.16>f(0)=0，即a>b．
根据已知得c=12ln32=+0.21−0.2，
可设h(x)=12[ln(1+x)−ln(1−x)]−sinx,x∈[0,0.2]，
则h′(x)=12(11+x+11−x)−csx=11−x2−csx>0，
所以函数h(x)在[0,0.2]上单调递增，
所以h(0.2)>h(0)=0，即c>a．
综上，c>a>b．
故选：D．
构造f(x)=sinx−(x−x2)，x∈[0,0.2]，二次求导，得到单调性，得到sin0.2−0.16>0，再变形得到c=12ln1+0.21−0.2，故构造h(x)=12[ln(1+x)−ln(1−x)]−sinx,x∈[0,0.2]，求导得到其单调性，比较出c>a，得到答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：根据题意，在“杨辉三角”中，第n行有n+1个数，依次为Cn0、Cn1、Cn2、……Cnn，
由此分析选项：
对于A，第10行中数依次为：C100、C101、C102、……、C109、C1010，其中最大为第6个数C105，A错误；
对于B，C22+C32+C42+⋯+C82=C33+C32+C42+⋯+C82=C93=84，B正确；
对于C，第8行中第4个数为C83=56，第5个数为C84=70，其比值为56：70=4：5，C正确；
对于D，第n行有n+1个数，依次为Cn0、Cn1、Cn2、……Cnn，其和Cn0+Cn1+Cn2+……+Cnn=2n，D错误；
故选：BC．
根据题意，分析可得在“杨辉三角”中，第n行有n+1个数，依次为Cn0、Cn1、Cn2、……Cnn，据此依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及二项式系数的性质，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有A22A44=48种不同的排法，A错误；
对于B，若甲站在正中间，乙有4种站法，剩下3人全排列，有4×A33=24种排法，若甲不站在正中间，甲有3种站法，乙有3种站法，剩下3人全排列，有3×3×A33=54种排法，则有24+54=78种不同的站法，B正确；
对于C，将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有A33A42=72种排法，
其余乙在甲的右边和乙在甲的左边的情况数目相同，则有12×72=36种不同的排法，C正确；
对于D，若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，第一个人有6种插法，第二个人有7种插法，则有6×7=42种不同的安排方法，D正确．
故选：BCD．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率P(A1B1)=C21C11C61C51=115，第一次取得白球、第二次取得白球的概率P(A2B2)=C41C31C61C51=25，
则P(A1B1)≠P(A2B2)，所以A错误；
对于B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率P(A1B2)=C21C41C61C51=415，
第一次取得白球、第二次取得黑球的概率P(A2B1)=C41C21C61C51=415，
则P(A1B2)=P(A2B1)，所以B正确；
对于C，由题意，第一次取得黑球的概率P(A1)=C21C61=13，第一次取得白球的概率P(A2)=C41C61=23，
由条件概率公式可得，P(B1|A1)=P(A1B1)P(A1)=11513=15,P(B2|A1)=P(A1B2)P(A1)=41513=45，
所以P(B1|A1)+P(B2|A1)=1，所以C正确；
对于D，由题意，第一次取得黑球的概率P(A1)=C21C61=13，第一次取得白球的概率P(A2)=C41C61=23，
由条件概率公式可得，P(B1|A2)=P(A2B1)P(A2)=41523=25，
所以P(B2|A1)+P(B1|A2)=65>1，所以D正确．
故选：BCD．
结合古典概型，条件概型的计算公式，分别求出有关事件的概率，再进行判断．
本题主要考查了古典概型的概率公式和条件概率的概率公式，属于中档题．
13.【答案】−7
【解析】解：根据二项式定理可得，对于(1−2x)4其展开式为Tk+1=C4k(−2)kxk，当k=1时，x项的系数为−8，
对于x(1−2x)4其展开式为xTr+1=C4r(−2)rxr+1，当r=0时，x项的系数为1，
所以x项的系数a1=−8+1=−7．
故答案为：−7．
由题意可得(1+x)(1−2x)4=(1−2x)4+x(1−2x)4，然后分别求出(1−2x)4和x(1−2x)4中x项的系数，从而可解．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
14.【答案】 34
【解析】解：由题意f(1)=−1，切点为(1,−1)，
f′(x)=lnx+1，k=f′(1)=1，
切线方程为：y=x−2，
代入(x−1)2+y2=9整理后得x2−3x−2=0，
显然Δ=17>0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=3，x1x2=−2，
所以|AB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 34．
故答案为： 34．
先利用导数求出切线方程，然后利用弦长公式求弦长．
本题考查利用导数求切线的方法，直线与圆相交时的弦长公式，属于中档题．
15.【答案】−1
【解析】解：不等式lnx−mx−n≤0恒成立，即mx+n≥lnx恒成立，
即一次函数y=mx+n恒在y=lnx的上方或相切．
当m≤0时，显然y=mx+n与y=lnx相交，不合题意，所以m>0．
当m一定时，要nm越小，易得y=mx+n的截距要越小，最小时y=mx+n与y=lnx相切．
此时设切点(x0,lnx0)，则y=lnx的导数y′=1x，
所以m=1x0lnx0=mx0+n，消去x0，得ln1m=n+1，所以nm=−lnm−1m，
设g(m)=−lnm−1m，m>0，则g′(m)=−1+lnm+1m2=lnmm2，
令g′(m)=0，解得m=1，
所以当m∈(0,1)时，g′(m)<0，g(m)单调递减；
当m∈(1,+∞)时，g′(m)>0，g(m)单调递增；
所以当m=1时，g(m)取最小值为g(1)=−1，所以nm的最小值为−1．
故答案为：−1．
问题转化为一次函数y=mx+n恒在y=lnx的上方或相切，再分析得m>0，且当nm最小时y=mx+n与y=lnx相切．再设切点列式，可得nm=−lnm−1m，构造函数求导分析最小值即可．
本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性和求最值问题，是中档题．
16.【答案】解：(1)由f(x)=x2−10x+3f′(1)lnx，得f′(x)=2x−10+3f′(1)x，
则切线的斜率k=f′(1)=−8+3f′(1)，解得f′(1)=4，
所以f(x)=x2−10x+12lnx，f(1)=−9，
所以切线方程为y=4x−13．
(2)由(1)知，函数f(x)=x2−10x+12lnx，定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=2x−10+12x=2(x−2)(x−3)x，
当03时，f′(x)>0，当2因此函数f(x)在(0,2)，(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，
当x=2时，f(x)取得极大值f(2)=−16+12ln2，
当x=3时，f(x)取得极小值f(3)=−21+12ln3，
所以函数f(x)的递增区间为(0,2)，(3,+∞)，递减区间为(2,3)，
极大值−16+12ln2，极小值−21+12ln3．
【解析】(1)对f(x)求导，求出f′(1)，再利用导数的几何意义求出切线方程．
(2)结合(1)，求出函数f(x)的导数，利用导数求出单调区间及极值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，考查了方程思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)若选择①，∵Cn0+Cn1+Cn2=37，n+n(n−1)2=36，∴n=8，
∴展开式中二项式系数最大的项为T5=C84×(2x)4×(−1)4=1120x4．
若选择②，∵Cn2=Cn6，∴n=8，∴展开式中二项式系数最大的项为T5=C84×(2x)4×(−1)4=1120x4．
若选择③，令x=1，可得展开式所有项的系数和为1，而二项式系数和为2n，∴1×2n=256，解得n=8，∴展开式中二项式系数最大的项为T5=C84×(2x)4×(−1)4=1120x4．
(2)∵(1−1x)(2x−1)8=1×(2x−1)8−1x×(2x−1)8，∴(1−1x)(2x−1)8 的展开式中的常数项为 1×(−1)8+(−1x)×C87×2x×(−1)7=17．
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
(1)若选择①利用二项展开式二项式系数方程，即可求出n，若选择②，利用二项式展开式二项式系数，和组合公式，即可计算n；若选择③，算出各项系数和，结合二项式系数的公式，求出n，再利用二项展开式系数的性质，即可求解；
(2)由(1)分别求出(2x−1)8 和(2x−1)8x的展开式的常数项，即可求解．
18.【答案】解：(1)x−=110(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=5.5，
y−=10+110(−1+1+2+3+3+4+4)=12，
∴b =710−10×5.5×12385−10×5.52=2033，
a =12−2033×112=263，
故所求回归直线方程为y =2033x+263；
(2)由(1)可知，当x=22时，y =2033×22+263=22cm．
故所求残差为21.3−22=−0.7cm．
【解析】本题考查回归直线方程的概念与运算，是中档题．
(1)由已知求得b​与a​的值，即可得到作物高度y关于天数x的线性回归方程；
(2)直接利用残差公式求解．
19.【答案】解：(1)f(x)的定义域(0,+∞)，f′(x)=1x+m．
若m≥0，f′(x)>0，f(x)在定义域内单调递增，无最大值；
若m<0，当x∈(0,−1m)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(−1m,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
所以当x=−1m时，f(x)取得最大值ln(−1m)=0，所以m=−1．
(2)对于定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，即m+1≤ex−lnx+1x在(0,+∞)恒成立．
设φ(x)=ex−lnx+1x，则φ′(x)=x2ex+lnxx2．
设q(x)=x2ex+lnx，则q′(x)=(x2+2x)ex+1x>0，
所以q(x)在其定义域内单调递增，且q(12)<0，q(1)>0，
所以q(x)有唯一零点x0，且x02ex0+lnx0=0，
所以x0ex0=−lnx0x0=−lnx0⋅e−lnx0．
构造函数h(x)=xex，则h(x0)=h(−lnx0)
又函数h(x)=xex在(0,+∞)是增函数，
故x0=−lnx0．
所以由φ(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
所以φ(x)≥φ(x0)=ex0−lnx0+1x0=1x0+x0−1x0=1
于是m的取值范围是(−∞,0]．
【解析】(1)对函数求导，讨论参数m的范围，分析单调性，根据最大值是0求出m范围．
(2)分离参数，即m+1≤ex−lnx+1x在(0,+∞)恒成立，求出φ(x)=ex−lnx+1x的最小值，即求出m的取值范围．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．
20.【答案】解：(1)证明：令f(b)−f(a)b−a=t，则f(b)−bt=f(a)−at．
构造F(x)=f(x)−tx，则F(a)=F(b)，F′(x)=f′(x)−t，
显然F(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导，
由罗尔定理，存在x0∈(a,b)，使得F′(x0)=0，即f′(x0)−t=0，
∴f′(x0)=f(b)−f(a)b−a．
(2)由题f′(x)=lnx+1，g′(x)=x−b．
不妨设x1>x2，则|f(x1)−f(x2)x1−x2|>|g(x1)−g(x2)x1−x2|恒成立．
由(1)中证明可得|f′(x)|>|g′(x)|.x∈(1,2)，
∴lnx+1>|x−b|.∴−1−lnx∴x−lnx−1令φ(x)=x−lnx−1(10，∴φ(x)在(1,2)上单调递增，
∴0<φ(x)<1−ln2．
又易知y=x+lnx+1(1∴1−ln2⩽b⩽2，即b的取值范围为[1−ln2,2]．
(3)证明：构造h(x)=x1−p，x∈[n−1,n]，h(x)在(n−1,n)上可导，
由(1)中定理，存在c∈(n−1,n)，使得h′(c)=h(n−1)−h(n)(n−1)−n．
∴1(n−1)p−1−1np=−h′(c)=(p−1)c−p．
∴1p−1[1(n−1)p−1−1np−1]=1cp．
∵1⩽n−11，∴cp1np，
∴1np<1p−1[1(n−1)p−1−1np−1]．
【解析】(1)令f(b)−f(a)b−a=t，构造函数F(x)=f(x)−tx，直接利用罗尔定理证明；
(2)利用(1)的结论得|f′(x)|>|g′(x)|，即可得x−lnx−1(3)构造函数h(x)=x1−p，利用(1)的结论即可证明．
本题考查了导数的综合应用，考查了构造函数求解综合问题的能力，考查了函数思想，属于难题．天数x
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