2023-2024学年北京市贸大附中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市贸大附中高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为( )
A. y=x+1B. y=x−1C. y=3x+1D. y=−x+1
2.盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )
A. 35B. 110C. 59D. 25
3.若奇函数f(x)在[−6,−2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是( )
A. 增函数且最小值是−1B. 增函数且最大值是−1
C. 减函数且最大值是−1D. 减函数且最小值是−1
4.若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有( )
A. 20个B. 48个C. 52个D. 120个
5.( x−2)5的展开式中，x2的系数为( )
A. −5B. 5C. −10D. 10
6.函数f(x)= 10+9x−x2lg(x−1)的定义域为( )
A. [1,10]B. [1,2)∪(2,10]C. (1,10]D. (1,2)∪(2,10]
7.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )
A. B.
C. D.
8.“2a>2b”是“lg2a>lg2b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.若函数f(x)=13x3−12ax2+x在区间(0,1)内为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. [2,+∞)B. (0,2)C. (−∞,2)D. (−∞,2]
10.已知函数f(x)=12−(x− e)(x−12)(其中x∈(0,+∞))，g(x)=lnx和函数h(x)=f(x)f(x)≥g(x)g(x)f(x)2)=______．
14.已知函数f(x)=lnx−ax+1恰有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
15.已知函数f(x)=xx2+1关于函数f(x)的性质，有以下四个推断：
①f(x)的定义域是(−∞,+∞)；②f(x)的值域是[−12,12]；③f(x)是奇函数； ④f(x)是区间(0,2)上的增函数．
其中推断正确的题号是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
设R为全集，集合A={x|a+1≤x≤2a+1}，B={y|y=x2+2x−2,0≤x≤2}．
(1)若a=3，求A∩B，(∁RA)∩B；
(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5(其中常数a，b∈R)，f′(1)=3，x=−2是函数f(x)的一个极值点．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)求f(x)在[0,1]上的最大值和最小值．
18.(本小题15分)
某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元(含400元)，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球(其中红球有3个，白球有3个)，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．
(1)若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．
(2)若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．
19.(本小题15分)
某区为检测各校学生的体质健康状况，依照中小学生《国家学生体质健康标准》进行测试．参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库(简称“CIMS系统”)中随机选取本次测试要求每校派出30人，其中男女学生各15人，参加八个项目的测试．八项测试的平均分为该学生的综合成绩满分为100分．测试按照分数给学生综合成绩定等级，分数在[90,100]内为“优秀”，[80,90)为“良好”，[60,80)为“及格”，[0,60)为“不及格”如表为某学校30名学生本次测试综合成绩的数据：
(I)分别求出该学校男、女生综合成绩的优秀率；
(Ⅱ)从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取3人进行后续监控，若X表示抽取3人中的女生人数．求X的分布列及其数学期望；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，当这3名学生综合成绩的方差取得最大值时请直接写出所有符合条件的3名学生的综合成绩．
20.(本小题17分)
已知函数f(x)=1−ax2ex，a∈R．
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=x，求该切线方程；
(Ⅱ)若a=1，求证：当x>0时，f(x)>0；
(Ⅲ)若f(x)恰有两个零点，求a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，考查切线方程，属于基础题．
求导函数，确定曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线斜率，从而可求切线方程．
【解答】
解：求导函数可得y′=ex+2，
当x=0时，y′=ex+2=3，
∴曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，
故第二次也取到新球的概率为59，
故选：C．
在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，再利用古典概率及其计算公式求得第二次也取到新球的概率．
本题主要考查古典概率及其计算公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵奇函数f(x)在[−6,−2]上是减函数，且最小值是1
∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是−1，
故选：C
根据奇函数和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性与单调性之间的性质的应用，比较检查．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．
由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①、若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目，②、若0不在个位，此时0可能在首位，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2种情况讨论：
①、若0在个位，
此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A52=20个没有重复数字的三位偶数；
②、若0不在个位，
此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，
0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，
此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数；
综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数；
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：由题意二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C5r( x)5−r(−2)r=C5r⋅(−2)rx5−r2，r=0，1，…，5，
令5−r2=2，解得r=1，
所以x2的系数为C51⋅(−2)=−10．
故选：C．
求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2，进而可以求解．
本题查了二项式定理的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：要使原函数有意义，则10+9x−x2≥0x−1>0x−1≠1，解得：12b，lg2a>lg2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．
【解答】
解：当alg2b，
反之由lg2a>lg2b即：a>b>0可得2a>2b成立，
∴“2a>2b”是“lg2a>lg2b”的必要不充分条件，
故选B．
9.【答案】D
【解析】解：由f(x)=13x3−12ax2+x，得
f′(x)=x2−ax+1，
∵函数f(x)=13x3−ax2+x在区间(0,1)内为增函数，
∴f′(x)=x2−ax+1≥0对任意x∈(0,1)恒成立，
即a≤x2+1x在x∈(0,1)上恒成立，
∵x2+1x=x+1x在(0,1)上为减函数，
∴x2+1x=x+1x>2，
则a≤2．
∴实数a的取值范围是(−∞,2]．
故选D．
10.【答案】C
【解析】解：作出h(x)的函数图象如图所示：
设直线y=kx与曲线g(x)=lnx相切，切点为(x0,y0)，
则有y0=kx0y0=lnx01x0=k，解得k=1e．
∵h(x)=kx有四个不同的解，
∴直线y=kx与f(x)有2个交点，y=kx与g(x)有2个交点，
∴k0，
∴k>kOA.排除A，B．
故选C．
作出函数图象，求出切线斜率，根据交点个数得出k的范围．
本题考查了函数的图象与性质，导数的几何意义，属于中档题．
11.【答案】15
【解析】解：展开式的通项为Tr+1=C6rx6−r(1 x)r=C6rx6−32r
令6−32r=0得r=4，
所以展开式的常数项为C64=15，
故答案为：15
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的通项，本题是一个基础题．
12.【答案】54125；65
【解析】解：根据题意，这是有放回抽样，每一次取到黑球的概率均为25，
则前3次恰有1次取到黑球的概率为C31(25)⋅( 35)2=54125．
由题意可得，取到黑球的个数X满足X∽B(3,25).
X的期望为：E(X)=3×25=65．
故答案为：54125；65．
根据题意，从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中，这是有放回抽样，每一次取到黑球的概率都相等；计算可得每一次取到黑球的概率，再有n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式，计算可得答案．
本题考查n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式，注意其中每次试验中，事件的发生的概率必须相等，这是前提条件．
13.【答案】0.3
【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)，P(−2≤ξ≤2)=0.4，
∴P(ξ>2)=12[1−P(−2≤ξ≤2)]=0.3，
故答案为：0.3．
本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)，利用P(−2≤ξ≤2)=0.4，答案易得．
本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率，本题是一个数形结合的题，识图很重要．
14.【答案】(0,1)
【解析】【分析】
本题考查函数的零点问题，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合的思想方法，注意运用转化思想，属于中档题．
由题意可得a=lnx+1x有两个不等的实数解，令g(x)=lnx+1x，求出导数和单调性和最值，画出图象，通过图象即可得到结论．
【解答】
解：函数f(x)=lnx−ax+1，a∈R有两个零点，
等价为方程f(x)=0即a=lnx+1x有两个不等的实数解，
令g(x)=lnx+1x，g′(x)=−lnxx2，
当x>1时，g′(x)0，且x→+∞，y→0；x→0，y→−∞，
画出函数y=g(x)的图象，
由图象可得01−16a3(2a)2=1−1a>0，
故f(x)在区间(2,4a)上有一个零点，
因此a>e24时，f(x)在区间(0,+∞)上有两个零点，
综上，当f(x)有两个零点时，a=e24．
【解析】(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)，由导数的几何意义可得k切=f′(1)，进而由点斜式写出切线的方程．
(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2ex，对f(x)求导得f′(x)，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，进而可得f(x)的最小值f(2)=1−4e2>0，即可证明．
(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2ex，a∈R，分两种情况①当a≤0时，②当a>0时，分析f(x)的单调性，最值，进而得函数f(x)的零点．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．男生
98
92
92
91
90
90
88
87
87
85
82
79
77
67
57
女生
97
99
96
93
92
91
90
87
85
81
80
77
76
76
48
X
360
480
600
P
15
35
15
X
0
1
2
3
P
542
1021
514
121