2023-2024学年新疆阿克苏地区拜城县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆阿克苏地区拜城县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使式子 x+2有意义，则x的取值范围是( )
A. x>0B. x≥−2C. x≥2D. x≤2
2.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 9B. 3C. 12D. 15
3.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 4− 2= 2C. 2× 3= 6D. 8=4 2
4.有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12(单位：cm)，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为( )
A. 2，4，8B. 4，8，10C. 6，8，10D. 8，10，12
5.已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为( )
A. 2.4B. 2.5C. 3D. 5
6.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分且相等
7.如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB=15米，CD=7米，两树间的距离BD=6米，一只鸟从一棵树的树梢(点A)飞到另一棵树的树梢(点C)，则这只鸟飞行的最短距离AC=( )
A. 6米
B. 8米
C. 10米
D. 12米
8.如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是( )
甲：AB/​/CD，AD=BC；乙：∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：1：2
A. 甲可以，乙不可以B. 甲不可以，乙可以C. 两人都可以D. 两人都不可以
9.如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则BC的长为( )
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
10.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.化简： 5 3=______．
12.计算：( 2+1)( 2−1)=______．
13.如图，▱ABCD的一个外角∠CBE是70°，则∠D的大小是______．
14.如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为(0,0)，(5,0)，(3,2)，则顶点C的坐标是 ．
15.测得一块三角形花园三边长分别为5米，12米，13米，则这块花园的面积为______平方米．
16.如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，边CE，则CE的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 48− 12+ 27；
(2)(2 2+3 3)2．
18.(本小题5分)
已知a=2+ 3，b=2− 3，求a2b+ab2的值．
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(−4, 3)，点B在x轴的负半轴上，且OB=5.(1)写出点B的坐标；
(2)求AB的长．
20.(本小题8分)
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上．
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)连接AC，试判断△ACD的形状，并说明理由．
21.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF.求证：BE/​/DF．
22.(本小题8分)
如图，菱形花坛ABCD的边长为10m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．
(1)求两条小路AC和BD的长.(结果保留根号)
(2)花坛的面积.(结果保留根号)
23.(本小题11分)
[教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
[性质应用]如图2，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与边AD、BC分别相交于点E、F．
求证：OE=OF．
[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连接AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是13，则▱ABCD的周长是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，得
x+2≥0，
解得，x≥−2．
故选：B．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】B
【解析】解：A. 9=3，不是最简二次根式，
故A不符合题意；
B. 3是最简二次根式，
故B符合题意；
C. 12=2 3，不是最简二次根式，
故C不符合题意；
D. 15= 55，不是最简二次根式，
故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义判断即可得．
本题主要考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2+ 3≠ 5，故本选项错误；
B、 4− 2=2− 2，故本选项错误；
C、 2× 3= 6，故本选项正确；
D、 8=2 2，故本选项错误．
故选C．
根据二次根式加减，乘除运算法则与二次根式的化简的知识，即可求得答案．
此题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是掌握二次根式加减，乘除运算法则与二次根式的化简．
4.【答案】C
【解析】解：由勾股定理的逆定理分析得，只有C中有62+82=102，故选C．
根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
本题考查了直角三角形的判定．
5.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，斜边= 32+42=5，
所以，斜边上中线长=12×5=2.5．
故选：B．
利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意；
B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符合题意；
C、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分且相等，菱形不具有对角线相等的性质，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．
本题考查正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确矩形、菱形、正方形都是平行四边形．
7.【答案】C
【解析】解：如图，设大树高为AB=15m，
小树高为CD=7m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=7m，EC=6m，AE=AB−EB=15−7=8(m)，
在Rt△AEC中，AC= AE2+EC2=10m，
故小鸟至少飞行10m．
故选：C．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
8.【答案】B
【解析】解：AB/​/CD，AD=BC，四边形ABCD为平行四边形，也可能是等腰梯形，故甲不可以．
∵∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：1：2，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
符合两组对角分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，所以乙可以．
故选：B．
甲可以按照举例子来判断，乙根据对角相等来判断即可．
本题考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC=12AC=5cm，OB=OD=12BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD=4cm，
∴BC=AD=4cm，
故选：A．
由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，OB=OD，又由∠ODA=90°，根据勾股定理，即可求得BC的长．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
10.【答案】D
【解析】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12(a+b)(a+b)，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×12ab+c2=(a+b)2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×12ab+(b−a)2=c2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
11.【答案】 153
【解析】解： 5 3= 5× 3 3× 3= 153．
故答案为： 153．
直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握运算法则是解题关键．
12.【答案】1
【解析】解：( 2+1)( 2−1)=( 2)2−1=1．
故答案为：1．
两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．
13.【答案】110°
【解析】解：∵∠CBE=70°，
∴∠CBA=110°，
在平行四边形中，
∴∠D=∠CBA=110°，
故答案为：110°．
利用已知可先求出∠CBA=110°，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等，则∠D可求解．
此题主要考查了平行四边形的对角相等的性质和平角的定义．
14.【答案】(8,2)
【解析】解：∵A，B的坐标分别是(0,0)，(5,0)，
∴AB=5，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB/​/CD，且AB=CD=5，
∵D(3,2)，
∴可设C点坐标为(x,2)，
∴CD=|x−3|=5，
解得x=8或x=−2(不合题意舍去)，
∴C点坐标为(8,2)．
故答案为：(8,2)．
由A、B坐标可求得AB的长，设出C点坐标，根据平行四边形的一组对边平行且相等可求得C点坐标．
本题主要考查平行四边形的性质及坐标与图形性质，掌握平行四边形的一组对边分别平行且相等是解题的关键．
15.【答案】30
【解析】解：∵52+122=132，
∴三角形花园是直角三角形，且5米，12米是两条直角边，
∴这块花园的面积为12×5×12=30平方米，
故答案为：30．
根据勾股定理的逆定理可判断三角形花园是直角三角形，且5米，12米，是两条直角边，由此可求解．
本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
16.【答案】2.5
【解析】解：∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD−AE=4−x，
在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，
即x2=22+(4−x)2，
解得x=2.5，
即CE的长为2.5，
故答案为：2.5．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．
17.【答案】解：(1) 48− 12+ 27
=4 3−2 3+3 3
=5 3；
(2)(2 2+3 3)2
=8+12 6+27
=35+12 6．
【解析】(1)先将每项化成最简二次根式，再加减，即可解答；
(2)利用完全平方公式展开，再加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
18.【答案】解：∵a=2+ 3，b=2− 3
∴a+b=2+ 3+2− 3=4，
ab=(2+ 3)(2− 3)=1
∴a2b+ab2=ab(a+b)=4．
【解析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键．
首先求得a+b与ab的值，根据a2b+ab2=ab(a+b)代入即可求解．
19.【答案】解：(1)∵点B在x的负半轴上，且OB=5，
∴点B的坐标是(−5,0)；
(2)如图，过点A作AC⊥OB于点C，

∵点A(−4, 3)，
∴BC=5−4=1，AC= 3．
∴在直角△ABC中，由勾股定理得：AB= AC2+BC2= ( 3)2+12=2．
即AB=2．
【解析】(1)根据OB的长度求得点B的坐标；
(2)如图，过点A作AC⊥OB于点C，在直角△ABC中，利用勾股定理求得AB的长度．
本题主要考查了勾股定理和坐标与图形的性质，根据点A的坐标求得AC、BC两线段的长度的解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意可知AB= 32+32=3 2，AD= 22+12= 5，DC= 42+22=2 5，BC= 22+32= 13，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD= 13+3 2+3 5；
(2)△ACD是直角三角形，理由如下：
∵AD= 5，DC=2 5，AC=5，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形．
【解析】此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理运用，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
(1)把线段AB、BC、CD、AD，放在一个直角三角形中利用勾股定理计算，即可求出四边形ABCD的周长；
(2)由(1)可知AD，DC的长，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
又∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE/​/DF．
【解析】先求出DE=BF，再证明四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)∵花坛ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，∠ABO=12∠ABC=12×60°=30°，
在Rt△ABO中，AO=12AB=12×10=5(m)，
∴BO= AB2−AO2=5 3(m)，
∴AC=2AO=10(m)，BD=2BO=10 3(m)；
(2)S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×10×10 3=50 3(m2)，
答：菱形花坛的面积是50 3m2．
【解析】(1)根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，菱形的对角线平分一组对角可得∠ABO=12∠ABC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AO=12AB，再利用勾股定理列式求出BO，然后求出AC、BD即可；
(2)根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质是解题的关键．
23.【答案】26
【解析】[教材呈现]证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
∠BAO=∠DCOAB=CD∠ABO=∠CDO，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴OA=OC，OB=OD(证明方法不唯一)；
[性质应用]证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AD//BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，
在△DEO和△BFO中，
∠EDO=∠FBO∠DEO=∠BFOOB=OD，
∴△DEO≌△BFO(AAS)，
∴OE=OF；
[拓展提升]解：如图2，∵△DEO≌△BFO，
∴BF=DE，OE=OF，
∵EF⊥AC，
∴△AEF是等腰三角形，
∴AE=AF，
∴AE+DE=AF+BF，
∴△ABF的周长=AB+AF+BF=AB+AE+DE=AB+AD=13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴▱ABCD的周长=2(AB+AD)=2×13=26，
故答案为：26．
[教材呈现]由平行四边形的性质得出AB=CD，AB/​/CD，则∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，再由ASA证得△ABO≌△CDO，即可得出结论(证明方法不唯一)；
[性质应用]由平行四边形的性质得出OB=OD，AD//BC，则∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，再由AAS证得△DEO≌△BFO，即可得出结论；
[拓展提升]由△DEO≌△BFO，得出BF=DE，OE=OF，易证△AEF是等腰三角形，得出AE=AF，则AE+DE=AF+BF，推出△ABF的周长=AB+AD=13，再由平行四边形的性质即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA=OC，OB=OD．