2023-2024学年天津市部分区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市部分区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若 x−1在实数范围内有意义，则x的值可以是( )
A. 2B. 0C. −1D. −2
2.如果一个三角形的三边长分别为1，1， 2，那么这个三角形是( )
A. 锐角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
3.如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=70°，则∠D的大小为( )
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 140°
4.下列二次根式中，与 3能合并的是( )
A. 8B. 34C. 18D. 24
5.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是( )
A. 测量对角线是否互相平分B. 测量四边形的三个角是否都为直角
C. 测量一组对角是否都为直角D. 测量两组对边是否分别相等
6.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 10C. 8D. 12
7.在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是( )
A. 3，5，9B. 4，6，8C. 13，14，15D. 6，8，10
8.如图，四边形AOCB是正方形，点O为原点，点C的坐标是(0,1)，点B的坐标为( )
A. (−1,1)
B. (−1,0)
C. (1,1)
D. (1,−1)
9.如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是( )
A. 16
B. 25
C. 144
D. 169
10.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF=3，CE=4，EF=5，则CD的长为( )
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
11.如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C的大小为( )
A. 45°
B. 60°
C. 67.5°
D. 70°
12.如图，△ABC中，AB=AC=4，AE⊥AC，DE垂直平分AB于点D，则EC的长为( )
A. 7 32B. 4 33C. 8 33D. 3 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算( 3+2)2的结果是______．
14.如果 x−3+ y+2=0，那么xy的值为______．
15.已知直角三角形的两条直角边长分别是3cm和4cm，则斜边上的高线长是______．
16.某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量，如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为______m.
17.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于点E，交BC于点F，S△AOE=3，S△BOF=5，则平行四边形ABCD的面积是______．
18.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F为BE的中点，G为BC的中点，连接EC.若AB=3，BC=5．
则：(1)AE的长为______；
(2)FG的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)( 7+2 3)( 7−2 3)；
(2) 18−4 12+ 24÷ 3．
20.(本小题8分)
已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF．
求证：AE=CF．
21.(本小题10分)
如图，AD=4，CD=3，AB=13，BC=12，求△ABC的面积．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，已知∠A=90°，BC=5，AC=3，现将△BDE沿DE折叠，使点B与C重合，求折痕DE的长．
23.(本小题10分)
如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接CD，EF
(1)求证：CD=EF；
(2)求EF的长．
24.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AB=BC=2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF．
(1)求证：四边形CDEF是菱形；
(2)连接DF交EC于点G，若DF=2，CD=53，求AG的长．
25.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC= 3，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF垂直BC于点F，连接DE，EF．
(1)求AB，AC的长；
(2)求证：AE=DF；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出结果．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：x−1≥0，
解得：x≥1，
则x的值可以是2，
故选：A．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵12+12=2，( 2)2=2，
∴12+12=( 2)2，
∴这个三角形是等腰直角三角形，
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=70°，
∴∠D=180°−70°=110°，
故选：B．
根据平行四边形的性质得出邻角互补解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
4.【答案】B
【解析】解：A、 8=2 2，不能与 3合并，则此项不符合题意；
B、 34= 32，能与 3合并，则此项符合题意；
C、 18=3 2，不能与 3合并，则此项不符合题意；
D、 24=2 6，不能与 3合并，则此项不符合题意；
故选：B．
化简二次根式，找出与 3是同类二次根式的即可．
本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
C、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩；
D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形．
故选：B．
矩形的判定定理有：
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
本题考查的是矩形的判定定理，解题的关键是牢记这些定理，属于基础概念题，比较简单．
6.【答案】B
【解析】解：(A)原式=2 3，故A不选；
(C)原式=2 2，故C不选；
(D)原式= 22，故D不选；
故选：B．
根据最简二次根式的定义即可求就出答案．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】解：A、32+52≠92，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、42+62≠82，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、132+142≠152，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、62+82=102，能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形AOCB是正方形，点C的坐标是(0,1)，
∴OA=BC=OC=AB=1，
∴点B的坐标为(−1,1)，
故选：A．
根据正方形的性质得出OA=CB=OC，进而解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的四边相等解答．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查勾股定理，掌握三角形的边长与正方形边长之间的关系是解题关键．
根据勾股定理求出AB长，由正方形性质得EF=AB，再次利用勾股定理即可求得阴影部分面积．
【解答】
解：如图，
根据勾股定理得出：AB2=AC2−BC2=132−122=25，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积=EP2+PF2=EF2=25，
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：∵E，F分别是CA、BC的中点，
∴EF是△ACB的中位线，
∴AB=2EF=10，
在△ECF中，CE2+CF2=43+32=25，EF2=52=25，
∴CE2+CF2=EF2，
∴∠ACB=90°，
∵D是AB的中点，
∴CD=12AB=5，
故选：A．
根据三角形中位线定理求出AB，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=CD，∠BCD=90°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
由折叠得A′B=AB，
∴A′B=CB，
∴∠BA′C=∠BCA′=12×(180°−45°)=67.5°，
故选：C．
由正方形的性质得CB=CD，∠BCD=90°，则∠CBD=∠CDB=45°，再证明A′B=CB，求得∠BA′C=∠BCA′=67.5°，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠CBD=45°及A′B=CB是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵DE垂直平分AB于点D，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，
∵AB=AC，
∴∠AEC=2∠C，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，
∴∠C=30°，
∴CE=ACcs30∘=4 32=8 33，
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，由等腰三角形的性质得到∠B=∠BAE，根据三角形的外角的性质得到∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，求得∠C=30°，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．
13.【答案】7+4 3
【解析】解：原式=3+4 3+4=7+4 3．
故答案为：7+4 3．
根据完全平方公式计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
14.【答案】−6
【解析】解：根据题意得，x−3=0，y+2=0，
解得x=3，y=−2，
所以，xy=3×(−2)=−6．
故答案为：−6．
根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相乘即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15.【答案】125cm
【解析】解：根据勾股定理，斜边长为32+42=5cm，
根据面积相等，设斜边上的高为xcm，
列方程得：12×3×4=12×5x，
解得x=125cm．
故答案为：125cm．
根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等，即可求出斜边上的高．
本题考查勾股定理的知识，注意利用面积相等来解题，是解决直角三角形问题的常用的方法，可有效简化计算．
16.【答案】2200
【解析】解：∵点D、E分别为AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2200(m)，
故答案为：2200．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】32
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FCO=∠EAC，
又∵AO=CO，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF
∴△COF的面积为3，
∵S△BOF=5，
∴△BOC的面积为8，
∵△BOC的面积=14▱ABCD的面积，
∴▱ABCD的面积=4×8=32，
故答案为：32．
利用平行四边形的性质可证明△AOE≌△COF，所以可得△COF的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=14▱ABCD的面积，进而可得问题答案．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．
18.【答案】3 132
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=5，∠A=∠D=∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=AE=3，
故答案为：3；
(2)∵AB=AE=3，
∴DE=AD−AE=AD−AB=5−3=2，
∴CE= CD2+DE2= 13，
∵F是BE的中点，G是BC的中点，
∴FG是△BCE的中位线，
∴FG=12CE=12× 13= 132，
故答案为： 132．
(1)由矩形的性质得出AB=CD=3，BC=AD=5，∠A=∠D=∠ABC=90°，由角平分线的定义得出∠ABE=12∠ABC=45°，则△ABE是等腰直角三角形，得出AB=AE；
(2)求出DE=2，由勾股定理求出CE= 13，则FG是△BCE的中位线，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=7−12
=−5；
(2)原式=3 2−2 2+2 2
=3 2．
【解析】(1)用平方差公式计算即可；
(2)先算除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠B=∠DBE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF．
【解析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF．
本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和全等三角形的性质，是比较基础的证明题．
21.【答案】解：∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2= 42+32=5，
在△ABC中，AC=5，AB=13，BC=12，
∵52+122=132，
∴AC2+BC2=AB2，
即△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴△ABC的面积=5×12÷2=30．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，得出△ABC是直角三角形是解答此题的关键．
22.【答案】解：在△ABC中，已知∠A=90°，BC=5，AC=3，
∴AB= BC2−AC2= 52−32=4，
由翻折的性质可知：DE⊥BC，EC=EB=52，CD=DB，
∴∠DEC=∠A=90°，
设CD=BD=x，则AD=4−x，
在Rt△ADB中，
由勾股定理得：AD2+AB2=BD2，
即(4−x)2+32=x2，
解得：x=258，
在Rt△CDE中，
由勾股定理得DE2=CD2−CE2=(258)2−(52)2=22564，
∴DE=158．
【解析】由折叠的性质，可得DE⊥BC，BE=12BC=52，CD=DB，设CD=BD=x，则AD=4−x，由勾股定理得AD2+AB2=BD2，解得x=258，由勾股定理得DE2=CD2−CE2解得DE=158．
此题考查了翻折变换(折叠问题)、勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，DE=12BC，
∵延长BC至点F，使CF=12BC，
∴DE=FC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴CD=EF；
(2)解：∵四边形DEFC是平行四边形，
∴CD=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴EF=CD= 22−12= 3．
【解析】(1)直接利用三角形中位线定理得出DE/​/BC，DE=12BC，进而得出DE=FC，得出四边形CDEF是平行四边形，即可得出结论；
(2)利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．
此题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，由三角形中位线定理得出DE/​/BC，DE=12BC是解题关键．
24.【答案】(1)证明：∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，
∴EF=12AB，EF/​/AB，CF=12BC，AE=CE，
∵AB/​/CD，
∴AB//CD//EF，
∵AB=BC=2CD，
∴EF=CF=CD，且AB/​/CD/​/EF，
∴四边形DEFC是平行四边形，且EF=CF，
∴四边形CDEF为菱形；
(2)解：如图，DF与EC交于点G，
∵四边形CDEF为菱形，DF=2，
∴DG=1，DF⊥CE，EG=GC，
∴EG=GC= DC2−DG2=43，
∴AE=CE=2EG=83，
∴AG=AE+EG=4．
【解析】(1)由三角形中位线定理可得EF=12AB，EF/​/AB，CF=12BC，可得AB/​/CD/​/EF，EF=CF=CD，由菱形的判定可得结论；
(2)由菱形的性质可得DG=1，DF⊥CE，EG=GC，由勾股定理可得EG=GC=43，可求AG=AE+EG=4，由勾股定理可求AD的长．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
25.【答案】(1)解：设AB=x，
∵∠B=90°，∠C=30°，
∴AC=2AB=2x．
由勾股定理得，(2x)2−x2=( 3)2，
解得：x=1，
∴AB=1，AC=2；
(2)证明：由题意得，AE=t，CD=2t，则AD=2−2t，
在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=12CD=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
(3)解：当t=12秒或45秒时，△DEF为直角三角形，理由如下：
分情况讨论：
①∠EDF=∠DFC=90°时，则DE/​/BC，

∴∠AED=∠B=90°，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，
∴2−2t=2t，
∴t=12；
②∠DEF=90°时，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE/​/DF，
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AD/​/EF，
∴∠BEF=∠A=60°，
∴AD=12AE，
∴2−2t=12t，
∴t=45．
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．
故当t=12秒或45秒时，△DEF为直角三角形．
【解析】(1)由直角三角形的性质和勾股定理得出方程，解方程即可；
(2)利用已知用未知数表示出DF，AE的长，进而得出AE=DF；
(3)利用①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可．
此题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．