2023-2024学年北京市中国农业大学附中高一(下)月考数学试卷(3月份)(含解析)
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这是一份2023-2024学年北京市中国农业大学附中高一(下)月考数学试卷(3月份)(含解析),共13页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.在△ABC中,M是BC的中点,则AB+AC等于( )
A. 12AMB. AMC. 2AMD. MA
2.若OA=(−1,2),OB=(1,−1),则AB=( )
A. (−2,3)B. (0,1)C. (−1,2)D. (2,−3)
3.设e1,e2是不共线的向量,已知AB=e1+5e2,BC=−2e1+8e2,CD=3(e1−e2),则( )
A. A、B、C三点共线B. B、C、D三点共线
C. A、B、D三点共线D. A、C、D三点共线
4.已知向量a=(m,2),b=(2,−1).若a//b,则m的值为( )
A. 4B. 1C. −4D. −1
5.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是( )
A. (π6,π3)
B. (2π3,7π6)
C. [2π3,7π6]
D. [2kπ+2π3,2kπ+7π6](k∈Z)
6.在四边形ABCD中,AB//CD,设AC=λAB+μAD(λ,μ∈R).若λ+μ=32,则|CD||AB|=( )
A. 13B. 12C. 1D. 2
7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,该直线被称为三角形的欧拉线,设点O,G,H分别为任意△ABC的外心、重心、垂心,则下列各式一定正确的是( )
A. OG=12OHB. OH=23GH
C. AG=AO+2AH3D. BG=2BO+BH3
8.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点.则EB=( )
A. 34AB−14ACB. 34AB−34ACC. 34AB+14ACD. 34AB+34AC
9.已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(−2,−3),且BC//DA,则x+2y的值为( )
A. 2B. 0C. 12D. −2
10.在△ABC中,D为AC的中点,CE=2EB,则DE=( )
A. 12AB+13ACB. 13AB+12ACC. 16AB−23ACD. 23AB−16AC
11.已知P为△ABC所在平面内一点,BC=2CP,则( )
A. AP=−12AB+32ACB. AP=13AB+23AC
C. AP=32AB−12ACD. AP=23AB+13AC
12.在梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,AC与BD相交于点O,则下列结论错误的是( )
A. AC−AD=12ABB. |OA+2OC|=0
C. OA=23CD+13CBD. AB+BC+CD+DA=0
二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。
13.如图,平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,M是DC的中点,以a,b为基底表示向量AM= ______.
14.在△ABC中,AN=13NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+211AC,则实数m的值为______.
15.在△ABC中,O,D分别为边AB,BC的中点,若OC=xAB+yAD,则x+y= .
16.将−885°化成k⋅360°+α(0°≤α≤360°,k∈Z)的形式是______.
17.本次考试时间为120分钟,则从开始到结束,墙上时钟的分钟旋转了______弧度.
18.如图,OM//AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP=xOA+yOB,则x的取值范围是 (1) ;当x=−12时,y的取值范围是 (2) .
三、解答题:本题共4小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知O(0,0),向量OA=(2,1),OB=(3,−2).
(1)如图,若四边形OACB为平行四边形,求点C的坐标;
(2)若点P为线段AB的靠近点B的三等分点,求点P的坐标.
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中,已知角α的终边经过点P(−4a,3a)(a≠0).
(1)求sinα、csα、tanα的值;
(2)设a>0,角β的终边与角α的终边关于x轴对称,求csβ的值.
21.(本小题12分)
如图,在△OAB中,G为中线OM上一点,且OG=2GM,过点G的直线与边OA,OB分别交于点P,Q.
(Ⅰ)用向量OA,OB表示OG;
(Ⅱ)设向量OA=43OP,OB=nOQ,求n的值.
22.(本小题12分)
如图,在边长为2的正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点.
(1)若AC=λAM+μBN,则λ+μ的值;
(2)若F为AD中点,连接CF,交BN于点P,求证AP=AB.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:如图,作出平行四边形ABEC,M是对角线的交点,故M是BC的中点,且是AE的中点
由题意如图AB+AC=AE=2AM
故选:C.
作出三角形的图象,利用平行四边形法则作出AB+AC,由图象即可选出正确答案
本题考查向量加法法则,解答本题,关键是理解向量加法的三角形法则与平行四边形法则,作出符合条件的图象,由图得出正确选项.
2.【答案】D
【解析】解:OA=(−1,2),OB=(1,−1),
所以AB=OB−OA=(1+1,−1−2)=(2,−3).
故选:D.
根据平面向量的坐标运算,计算即可.
本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题,是基础题目.
3.【答案】C
【解析】解:∵AB=e1+5e2,BC=−2e1+8e2,CD=3(e1−e2),则BD=BC+CD=(e1+5e2)=AB,
∴A、B、D三点共线,
故选:C.
根据条件可得BD=BC+CD=(e1+5e2)=AB,问题得以解决
本题考查了向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的共线定理应用问题,属于基础题.
根据平面向量共线定理的坐标表示,列方程求出m的值.
【解答】
解:向量a=(m,2),b=(2,−1),
若a//b,则−1×m−2×2=0,
解得m=−4;
所以m的值为−4.
故选:C.
5.【答案】D
【解析】解:角α的终边落在如图所示的阴影部分内,
则角α在一个周期内的范围是[2π3,7π6],
则角α的取值范围是[2kπ+2π3,2kπ+7π6](k∈Z),
故选:D.
先求出角α在一个周期内的范围,由此能求出角α的取值范围.
本题考查角的取值范围的求法,考查终边相同的角的定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
过C作CE//AD,又CD//AB,可得四边形AECD是平行四边形,由AC=AE+AD,根据AC=λAB+μAD(λ,μ∈R),可得μ=1,AE=λAB,又λ+μ=32,可得λ=12,即可得出结论.
【解答】
解:如图所示,
过C作CE//AD,又CD//AB.
∴四边形AECD是平行四边形.
∴AC=AE+AD,
又AC=λAB+μAD(λ,μ∈R).
∴μ=1,AE=λAB,
又λ+μ=32,∴λ=12.
则|CD||AB|=|AE||AB|=12.
故选B.
7.【答案】D
【解析】解:根据欧拉定理可知,点O,H,G三点共线,且GH=2OG,
对于A,∵GH=2OG,∴OG=13OH,故A错误,
对于B,∵GH=2OG,∴OH=32GH,∴故B错误,
对于C,∵AG=AO+OG=AO+13OH=AO+13(AH−AO)=AH+2AO3,故C错误,
对于D,∵BG=BH+HG=BH+23HO=BH+23(BO−BH)=BH+2BO3,故D正确,
故选:D.
根据欧拉定理、外心、垂心和重心的性质及平面向量的线性运算对四个选项逐个分析可得答案.
本题考查欧拉定理,三角形的外心、垂心和重心的性质,平面向量的线性运算,考查逻辑推理能力,属于中档题.
8.【答案】A
【解析】解:因为△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,
所以EB=EA+AB=−12AD+AB=−12×12(AB+AC)+AB=34AB−14AC,
故选:A.
由已知结合向量的线性表示及向量的基本定理即可求解.
本题主要考查了平面向量基本定理及向量的线性表示,属于基础题.
9.【答案】B
【解析】解:∵DA =DC+CB+BA=(2−x−6,3−y−1)=(−4−x,2−y)
又因为:BC//DA⇒x(2−y)−y(−4−x)=0⇒x+2y=0.
故选B.
先求出DA向量的坐标,再结合两个向量a//b,则a1b2−a2b1=0列出关于x,y的等式,整理即可得到答案.
本题考查的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示,若两个向量a//b,则a1b2−a2b1=0.
10.【答案】D
【解析】解:∵△ABC中,D为AC的中点,CE=2EB,
∴DE=CE−CD=23CB−12CA=23(AB−AC)+12AC
=23AB−16AC.
故选:D.
根据平面向量的线性运算,平面向量基本定理求解即可.
本题考查了平面向量的线性运算,平面向量基本定理,是基础题.
11.【答案】A
【解析】解:由于BC=2CP,
利用向量的线性运算,AC−AB=2AP−2AC,
整理得:AP=−12AB+32AC.
故选:A.
直接利用向量的线性运算求出结果.
本题考查的知识要点:向量的线性运算,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于基础题和易错题.
12.【答案】C
【解析】解:如图,对于A:因为四边形ABCD是梯形,AB//CD,AB=2CD,
则DC=12AB,
所以AC−AD=DC=12AB,故A正确;
对于B:因为AB//CD,故COOA=CDAB=12,故OA=−2OC,
则|OA+2OC|=|−2OC+2OC|=0,故B正确;
对于C:因为OA=−2OC,
所以OA=23CA=23(CB+BA)=23(CB+2CD)=43CD+23CB,故C错误;
对于D:AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD−AD=0,故D正确.
故选:C.
结合题意,应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得.
本题考查了平面向量的线性运算,属于基础题.
13.【答案】12a+b
【解析】解:根据条件DC=AB=a,AM=AD+DM=AD+12DC=12a+b.
故答案为:12a+b.
根据平行四边形的概念及相等向量的概念便得到DC=AB=a,而根据向量加法和数乘的几何意义便可得出AM=12a+b.
考查平行四边形的概念,相等向量的概念,以及向量的加法和数乘的几何意义,清楚向量基底的概念.
14.【答案】311
【解析】解:∵P是BN上的一点,
设BP=λBN,由AN=13NC,
则AP=AB+BP
=AB+λBN
=AB+λ(AN−AB)
=(1−λ)AB+λAN
=(1−λ)AB+λ4AC
∴m=1−λ,λ4=211
解得λ=811,m=311
故答案为:311.
设BP=λBN,我们易将AP表示为(1−λ)AB+λ4AC的形式,根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ,m的方程组,解方程组后即可得到m的值.
本题主要考查了的知识点是面向量的基本定理及其意义,解答本题的关键是根据面向量的基本定理构造关于λ,m的方程组,属于中档题.
15.【答案】12
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的线性运算法则,及平面向量的基本定理,属于基础题.
根据向量的线性运算法则,及平面向量的基本定理,可得答案.
【解答】
解:∵OC=OB+BC=12AB+2BD=12AB+2(AD−AB)=−32AB+2AD,
又∵OC=xAB+yAD,
∴x=−32,y=2,
故x+y=12,
故答案为:12.
16.【答案】195°+(−3)⋅360°
【解析】解:−885°=195°+(−3)⋅360°.
故答案是:195°+(−3)⋅360°.
根据角的性质2kπ+α直接化解即可.
本题考查了终边相同的角,本题解题的关键是写出角的大体范围,在看出需要加上多少来平衡角的变化,本题是一个基础题.
17.【答案】−4π
【解析】解:本次考试时间为120分钟,则从开始到结束,墙上时钟的分针顺时针旋转了−720°,
即−4π.
故答案为:−4π.
由角度制和弧度制之间互化可得答案.
本题考查了角度制和弧度制之间互化,属于基础题.
18.【答案】(−∞,0);(12,32)
【解析】解:如图,OM//AB,点P在由射线OM,
线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,
且OP=xOA+yOB,由向量加法的平行四边形法则,
OP为平行四边形的对角线,
该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边,
∴x的取值范围是(−∞,0);
当x=−12时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在DE上,CD=12OB,CE=32OB,
∴y的取值范围是(12,32).
故答案为:(−∝,0);(12,32)
根据向量加法的平行四边形法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边,得到x的取值范围,当x=−12时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在DE上,得到y的范围.
本题考查三角形法则,是一个基础题,向量是数形结合的最好的工具,在解题时注意发挥向量的优点.
19.【答案】解:(1)设C(x,y),则BC=OC−OB=(x−3,y+2),且OA=(2,1),
∵四边形OACB为平行四边形,
∴OA=BC,
∴(2,1)=(x−3,y+2),∴x−3=2y+2=1,∴x=5y=−1,∴C(5,−1);
(2)设P(a,b),则PB=(3−a,−2−b),AB=(1,−3),
∵点P为线段AB的靠近点B的三等分点,
∴PB=13AB,即(3−a,−2−b)=(13,−1),
∴3−a=13−2−b=−1,解得a=83b=−1,
∴P(83,−1).
【解析】本题考查了向量减法和数乘的几何意义,向量坐标的数乘运算,考查了计算能力,属于基础题.
(1)设C(x,y),然后得出BC=(x−3,y+2),根据题意得出BC=OA,然后即可求出点C的坐标;
(2)设P(a,b),然后得出PB=(3−a,−2−b),AB=(1,−3),根据题意得出PB=13AB,然后即可求出点P的坐标.
20.【答案】解:(1)因为在直角坐标系中,角α的终边经过点P(−4a,3a)(a≠0),
所以r=|OP|= (−4a)2+(3a)2=5|a|.
当a>0时,r=5a,此时sinα=3a5a=35,csα=−4a5a=−45,tanα=3a−4a=−34;
当a0时,sinα=35,csα=−45,tanα=−34;
当a0时,csα=−45.
因为角β的终边与角α的终边关于x轴对称,
所以β=−α+2kπ,k∈Z.
则csβ=cs(−α)=csα=−45.
【解析】(1)分a>0,a
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