2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.20等于( )
A. 2B. 12C. 0D. 1
2.下列计算正确的( )
A. a2⋅a3=a6B. a7−a5=a2C. (−2a2)3=−8a6D. a6÷a3=a2
3.下列命题是真命题的是( )
A. 两直线平行，同旁内角相等B. 三角形的外角大于任一内角
C. 相等的角为对顶角D. 有两个角互余的三角形是直角三角形
4.用直角三角板度量图中△ABC边BC上的高(单位：cm)大约为( )
A. 2.8cm
B. 1.8cm
C. 3.3cm
D. 2.0cm
5.如图，△ABC是正三角形(每个内角都相等).若l1//l2，∠1=75°，则∠2的大小是( )
A. 160°
B. 165°
C. 170°
D. 175°
6.我国神舟飞船的降落伞面积约为1200平方米，约相当于苏科版数学教材封面面积的( )
A. 250倍B. 2500倍C. 25000倍D. 250000倍
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.某种花粉颗粒的直径大约是0.00003米，用科学记数法表示0.00003是______．
8.一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形的边数为______．
9.“偶数能被4整除”的逆命题是______．
10.若ax=3，ay=4，则ax−y的值为______．
11.(______)⋅(3xy2z−2xz)=12x2y3z−8x2yz．
12.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠D=120°，∠ABE是四边形ABCD的一个外角，则∠ABE的度数是______°.
13.甲、乙均从A处去往E处.甲选择图中的路线①，即依次途径B，C，D，最终到达E；乙选择图中的路线②，即途径P，最终到达E.图中的A，B，C，D，P，E均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走.则两条路线中较长的是______.(填“①”，“②”或“一样长”)
14.如图，在△ABC中，AB=9，AC=7，AD是中线.若△ABD的周长为19，则△ACD的周长为______．
15.如图，长方形纸片AD=6x，AB=3，沿MN折叠纸片，使得D，C分别落到D′，C′处，已知AM=2x，MD′⊥BN.连接BD′，则六边形ABD′C′NM的面积是______.(结果用含有x的代数式表示)
16.现有长分别为4，5，7，9，22(单位：cm)的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是______．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)(12)2×23÷2−2；
(2)(a2)3⋅(−2a3)2．
18.(本小题9分)
计算：
(1)(a+b)(a2−ab+b2)；
(2)(−3x+2)2；
(3)(2x−1)(2x+1)(4x2+1)．
19.(本小题5分)
填空：
已知：如图，AC，BD相交于点O．
求证：∠A+∠B=∠C+∠D．
证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°(______).
∴∠A+∠B=180°−∠AOB(______).
在△COD中，同理可得
(______).
∵∠AOB=∠COD(______)，
∴∠A+∠B=∠C+∠D(______).
20.(本小题6分)
化简：(b−3)2+(2a+b−3)(2a−b+3)−(2a+b)(2a−b)．
21.(本小题6分)
(1)若25+25=2a，37+37+37=3b，则a+b= ______．
(2)若2m×3n=(4×27)7，求m，n．
(3)若2p=m，mq=n，nr=32，求pqr．
22.(本小题6分)
证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：如图，______．
求证：______．
证明：
23.(本小题6分)
如图．
(1)已知AB/​/CD，∠A=∠D，求证∠BED=∠AFC．
(2)已知∠A=∠D，∠BED=∠AFC，求证AB/​/CD．
24.(本小题7分)
用两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图的直角梯形．
(1)用两种方法计算该梯形的面积，说明a2+b2=c2．
(2)是否存在一个直角三角形，在直角边a长度不变的基础上，它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度，所得三角形仍是一个直角三角形？请判断并说明理由．
25.(本小题8分)
已知，在△ABC中，∠BAC=80°，∠BCA=30°，D，E是射线BA，BC上的点，连接DE.分别过D，C作△BDE，△ABC外角的角平分线相交于点P．
(1)如图1，点D，E在线段BA，BC延长线上，若DE/​/AC，求∠P．
(2)如图2，点D在线段BA延长线上，点E在线段BC上，DE与AC相交于点F.若∠AFD=20°，求∠P．
(3)如图3，点D在线段BA上运动(不与A，B重合)，点E在线段BC的延长线上运动，请直接写出∠P的取值范围．
26.(本小题9分)
如图1，定点P在△ABC(∠B<∠C)纸片内的位置如图所示．
平行可折
按如图所示方法折叠，可以得到折痕a与三角形底边BC平行．
①过点P折叠纸片，使得点B落在BC上的B′处，展平纸片，得到折痕MN．
②过点P再次折叠纸片，使得点N落在射线PM上．
③展平纸片，得到折痕a．
(1)说明a//BC．
平行可作
(2)在图2中用直尺和圆规过点P作直线l，使l//BC(保留作图的痕迹，不写作法)．
等角可折
(3)如图3，过点P折出折痕l，使得l与AB、AC分别相交于点D，E，且∠ADE=∠C，请仿照上面“平行可折”的示例，画出示意图并简要描述折叠过程，不需证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：20=1，
故选：D．
根据零指数幂的运算法则计算解可靠．
本题考查的是零指数幂的运算，掌握a0=0(a≠0)是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项错误；
B、a7和a5不是同类项，不能进行加减运算，故本选项错误；
C、(−2a2)3=−8a6，故本选项正确；
D、a6÷a3=a6−3=a3，故本选项错误，
故选：C．
根据相应的运算法则逐一运算判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，熟悉掌握其运算的法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
B、三角形的外角大于任一个与它不相邻的内角，原命题是假命题；
C、相等的角不一定为对顶角，原命题是假命题；
D、有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
故选：D．
根据对顶角，平行线的性质，直角三角形的性质和三角形的外角性质判断即可．
本题考查了命题与定理，熟练掌握对顶角，平行线的性质，直角三角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
AD=2.8cm，
故选：A．
据三角形的高的定义画出图形即可．
本题考查三角形的高，解题的关键是掌握三角形高的知识，学会利用数形结合的思想解决问题．
5.【答案】B
【解析】解：设BC与l2交于点E，AC与l2交于点F，如下图所示：
∵△ABC是正三角形，
∴∠C=60°，
∵l1/​/l2，∠1=75°，
∴∠AFE=∠1=75°，
又∵∠AFE=∠C+∠CEF=60°+∠CEF，
∴60°+∠CEF=75°，
∴∠CEF=15°，
∴∠2=180°−∠CEF=165°．
故选：B．
设BC与l2交于点E，AC与l2交于点F，根据正三角形性质得∠C=60°，再根据l1//l2得∠AFE=∠1=75°，再由三角形外角定理得∠AFE=∠C+∠CEF=60°+∠CEF=75°，则∠CEF=15°，由此可得∠2的度数．
此题主要考查了正三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握正三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：苏科版数学教材封面面积约为480平方厘米，
我国神舟飞船的降落伞面积约为1200平方米=12000000平方厘米，
12000000÷480=25000．
故选：C．
先估算苏科版数学教材封面面积约为480平方厘米，再换算单位，最后用除法计算即可．
本题主要考查有理数的除法，解题的关键是估算苏科版数学教材封面面积．
7.【答案】3×10−5
【解析】解：0.00003=3×10−5；
故答案为：3×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8.【答案】5
【解析】解：180°−108°=72°，
360°÷72°=5，
故答案为：5．
一个多边形的外角和为360°，而每个外角为72°，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．
本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360°是解决问题的关键．
9.【答案】如果一个数能被4整除，那么这个数是偶数
【解析】解：“偶数能被4整除”的逆命题是如果一个数能被4整除，那么这个数是偶数，
故答案为：如果一个数能被4整除，那么这个数是偶数．
根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题即可．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
10.【答案】34
【解析】解：∵ax=3，ay=4，
∴ax−y
=ax÷ay
=3÷4
=34，
故答案为：34．
利用同底数幂的除法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减．
11.【答案】4xy
【解析】解：4xy⋅(3xy2z−2xz)=12x2y3z−8x2yz．
故答案为：4xy．
根据单项式乘单项式运算法则计算即可．
本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是关键．
12.【答案】120
【解析】解：∵∠A+∠C+∠ABC+∠D=360°，∠A+∠C=180°，∠D=120°，
∴∠ABC=360°−180°−120°=60°，
∴∠ABE=180°−60°=120°，
故答案为：120．
根据四边形的内角和是360°求出∠ABC，再根据平角的定义进行计算即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握四边形的内角和是360°以及平角的定义是正确解答的关键．
13.【答案】①
【解析】解：AB= 12+12= 2，
BC= 12+32= 10，
CD=1，
DE= 12+22= 5，
则①的线路长为：AB+BC+CD+DE= 2+ 10+1+ 5，
AP= 22+42=2 5，
EP= 12+32= 10，
则②的线路长为：AP+PE=2 5+ 10，
(AB+BC+CD+DE)−(AP+PE)= 2+ 10+1+ 5−2 5− 10= 2+1− 5，
∵ 2≈1.414， 5≈2.236，
∴ 2+1− 5≈0.178>0，
∴①线路较长．
故答案为：①．
根据勾股定理分别求出AB、BC、DE、AP、EP的长度，再求出两条路线的长度，最后进行比较即可．
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理公式是解题的关键．
14.【答案】17
【解析】解：∵AD为中线，
∴BD=CD，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD；
△ACD的周长为：AC+AD+CD，
∴△ABD与△ACD的周长为：AB−AC=9−7=2，
∵△ABD的周长为19．
∴△ACD的周长为17．
故答案为：17．
根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差=AB−AC．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握中线的定义及三角形的周长公式是解题的关键．
15.【答案】4x2+15x−92
【解析】解：根据题意可得，BN=2x+3，D′N=4x，
∴C′N=4x−3，
∴S四边形ABNM=(2x+2x+3)×32=6x+92，
S四边形BD′C′N=(2x+3+3)(4x−3)2=4x2+9x−9，
∴六边形ABD′C′NM的面积是6x+92+4x2+9x−9=4x2+15x−92；
故答案为：4x2+15x−92．
求出BN=2x+3，C′N=4x−3，可得S四边形ABNM=6x+92，S四边形BD′C′N=4x2+9x−9，即可得六边形ABD′C′NM的面积是6x+92+4x2+9x−9=4x2+15x−92．
本题考查列代数式，解题的关键是掌握梯形的面积公式．
16.【答案】15
【解析】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴选4，5，7，9，∵4+5+7=16，9−4=5，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是15.故答案为：15．
根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解．
此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
17.【答案】解：(1)原式=14×8÷122
=2÷14
=8；
(2)原式=a6⋅(4a6)
=4a12．
【解析】(1)先计算乘方与负整数指数幂的运算，再计算乘除即可；
(2)先根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
此题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
18.【答案】解：(1)(a+b)(a2−ab+b2)
=a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3
=a3+b3；
(2)(−3x+2)2=9x2−12x+4；
(3)(2x−1)(2x+1)(4x2+1)
=(4x2−1)(4x2+1)
=16x4−1．
【解析】(1)根据多项式乘多项式计算即可；
(2)根据完全平方公式计算即可；
(3)根据平方差公式计算即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】三角形的内角和等于180° 等式的性质 ∠C+∠D=180°−∠COD 对顶角相等 等量代换
【解析】证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A+∠B=180°−∠AOB(等式的性质)，
在△COD中，同理可得，
∠C+∠D=180°−∠COD，
∵∠AOB=∠COD(对顶角相等)，
∴∠A+∠B=∠C+∠D(等量代换)，
故答案为：三角形的内角和等于180°，等式的性质，∠C+∠D=180°−∠COD，对顶角相等，等量代换．
根据三角形内角和定理和对顶角相等解答即可．
本题考查了三角形的内角和定理，掌握对顶角相等是解此题的关键．
20.【答案】解：原式=(b−3)2+(2a+b−3)(2a−b+3)−(2a+b)(2a−b)
=(b−3)2+(2a)2−(b−3)2−4a2+b2
=b2．
【解析】先根据平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了平方差公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
21.【答案】14
【解析】解：(1)∵25+25=25×2=26=2a，37+37+37=37×3=38=3b，
∴a=6，b=8，
∴a+b=6+8=14，
故答案为：14；
(2)∵2m×3n=(4×27)7=(22×33)7=22×7×33×7=214×321，
∴m=14，n=21；
(3)∵2p=m，mq=n，nr=32，
∴(2p)q=n，[(2p)q]r=32，
∴2pqr=25，
∴pqr=5．
(1)根据乘方的意义，把加法运算写成乘法运算，再按照同底数幂相乘法则进行计算，从而求出a，b，再求出a+b即可；
(2)把4和27分别写成底数是2和3的幂，然后根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，求出m，n即可；
(3)根据已知条件，利用幂的乘方法则进行计算，从而求出答案即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则．
22.【答案】证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：如图，b/​/a，c/​/a，
求证：b/​/c，
证明：作直线DF交直线a、b、c，交点分别为D、E、F，
∵a/​/b，
∴∠1=∠2，
又∵a//c，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴b//c.
【解析】根据平行线的判定证明即可．
本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
23.【答案】证明：(1)∵AB/​/CD，
∴∠A=∠AFC，∠BED=∠D，
∵∠A=∠D，
∴∠BED=∠AFC；
(2)∵∠BED=∠AFC，∠AFC+∠AFD=180°，∠BED+∠AED=180°，
∴∠AFD=∠AED，
∵∠A=∠D，∠A+∠D+∠AFD+∠AED=360°，
∴∠A+∠AFD=180°，
∴AB/​/CD．
【解析】(1)根据平行线的性质得出∠A=∠AFC，∠BED=∠D，等量代换即可得解；
(2)根据邻补角定义求出∠AFD=∠AED，根据四边形内角和是360°求出∠A+∠AFD=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵整个图形的面积=12(a+b)(a+b)，整个图形的面积=12ab×2+12c2，
∴12(a+b)(a+b)=12ab×2+12c2，即(a+b)(a+b)=2ab+c2，
整理，得a2+b2=c2；
(2)不存在．
理由如下：(反证法)假定存在，且它的斜边c与另一条直角边b都增加x(x≠0)，
则a2+(b+x)2=(c+x)2，
即a2+b2+2bx+x2=c2+2cx+x2，
∵a2+b2=c2，
∴2bx=2cx，
∵x≠0，
∴b=c，
这与斜边大于直角边矛盾，
∴假设不成立，
故不存在．
【解析】(1)根据不同方法计算同一个图形的面积不变列等式变形证明即可；
(2)可用反证法判断，并推理证明即可．
本题考查勾股定理的证明，解答中涉及面积计算，反证法，完全平方公式，掌握面积法和反证法是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵DE/​/AC，∠BAC=80°，∠BCA=30°，
∴∠BDE=∠BAC=80°，∠BED=∠BCA=30°，
∵△BDE，△ABC外角的角平分线交于点P，
∴∠PDE=12(180°−∠DBE)=50°，∠PGD=12(180°−∠DEB)=75°．
∴P=180°−∠PDE−∠PGD=55°；
(2)∵∠AFD=20°，
∴∠AFE=180°−∠AFD=160°，
∵∠BAC=80°，∠AFD=20°，
∴∠ADF=∠BAC−∠AFD=80°−20°=60°，
∵△BDE，△ABC外角的角平分线交于点P，∠BCA=30°，
∴∠PDF=12(180°−∠ADF)=60°，∠PCF=12(180°−∠BCA)=75°，
又∵∠AFE=∠CFD=160°，
∴∠P=360°−∠PDF−∠PCF−∠CFD=360°−60°−75°−160°=65°；
(3)设∠AFD=α，
∵∠BAC=80°，
∴∠BDE=∠BAC+∠AFD=80°+α，
∴∠ADE=180°−∠BDE=100°−α，
∵△BDE，△ABC外角的角平分线交于点P，∠BCA=30°，
∴∠PDE=12∠ADE=50°−12α，∠PCF=12(180°−∠BCA)=75°，
∴∠PDB=∠PDE+∠BDE=50°−12α+80°+α=130°+12α，
∠PCB=∠PCF+∠BCA=75°+30°=105°，
∵∠BAC=80°，∠BCA=30°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠BCA=70°，
∴∠P=360°−∠B−∠PDB−∠PCB=360°−70°−(130°+12α)−105°=55°−12α，
∵0°<α<30°，
∴40°<55°−12α<55°，
即40°<∠P<55°．
【解析】(1)根据平行线的性质可得∠BDE=80°，∠BED=30°，结合邻补角的概念和角平分线的定义可求得∠PDE=50°，∠PED=75°，根据三角形的内角和定理即可求解；
(2)根据邻补角的定义求出∠AFE=160°，根据三角形的外角性质可得∠ADF=60°.根据角平分线的定义可求得∠PDF=60°，∠PCF=75°，根据四边形内角和即可求解；
(3)设∠AFD=α，根据三角形的外角性质可得∠BDE=80°+α，结合邻补角的概念和角平分线的定义可得∠PDE=50°−12α，∠PCF=75°，求得∠PDB=130°+12α，∠PCB=105°，根据三角形的内角和求得∠B=70°，根据四边形内角和即可出∠P的值，结合题意可得0°<α<30°，即可求解．
本题考查了平行线的性质，角平分线的相关计算，三角形内角和定理，三角形外角性质，邻补角的概念等，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：如图：

由折叠可知，MN是BB′的垂直平分线，a为NN′的垂直平分线，N′在直线MN上，
∴MN⊥BC，a⊥MN，
∴a//BC；
(2)解：过P作直线MN⊥BC，过P作直线l⊥直线MN，如图：

直线l即为所求；
(3)解：①沿过A的直线折叠△ABC，使C落在AB上的C′处，得到折痕AK，再展平纸片；
②沿过C，C′的直线折叠△BCC′，得到△B′CC′，B′C交AB于T，交AK于K′，得到△ACT；
③按照“平行可折”的方法，过P折直线DE，使DE//CT，DE交AB于D，交AC于E，交AK于G；

∠ADE即为所求；
理由：由折叠可知，AK是CC′的垂直平分线，∠BAK=∠CAK，∠BKK′=∠B′K′K=∠AK′C，
∴∠B=∠ACK′，
∵DE//CT，
∴∠AED=∠ACK′
∴∠B=∠AED，
∴180°−∠AED−∠EAD=180°−∠B−∠BAC，即∠ADE=∠ACB．
【解析】(1)由折叠可知，MN是BB′的垂直平分线，a为NN′的垂直平分线，N′在直线MN上，故MN⊥BC，a⊥MN，从而a//BC；
(2)过P作直线MN⊥BC，过P作直线l⊥直线MN，直线l即为所求；
(3)①沿过A的直线折叠△ABC，使C落在AB上的C′处，得到折痕AK，再展平纸片；②沿过C，C′的直线折叠△BCC′，得到△B′CC′，B′C交AB于T，交AK于K′，得到△ACT；③按照“平行可折”的方法，过P折直线DE，使DE//CT，DE交AB于D，交AC于E，交AK于G，∠ADE即为所求．
本题考查几何变换综合应用，涉及尺规作图，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握翻折的性质并能灵活运用．