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2023-2024学年福建省福州市闽侯县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市闽侯县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.要使代数式 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2B. x≠2C. x>2D. x≤2
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3=5B. 3 2− 2=3
C. 2−2 2=− 2D. 2+ 2=2 2
3.如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，若MN的长为16米，则A，B间的距离是( )
A. 18米
B. 20米
C. 24米
D. 32米
4.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠B的度数为( )
A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
5.下列条件中，a，b，c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. a2=b2+c2B. a=8，b=15，c=17
C. a=9，b=16，c=18D. a：b：c=1：2： 3
6.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BCB. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB=DC，AD//BC
7.如图，两平行线l1和l2之间的距离是4，点A，D在l1上，点B在l2上，且∠BAD=135°，则AB的长为( )
A. 2 2B. 4 2C. 4D. 8
8.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点D的坐标是( )
A. (−3,3)B. (3,−3)C. (7,3)D. (−5,3)
9.已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，若EG//BC，FH//CD，则四边形EFGH一定是( )
A. 矩形B. 菱形
C. 正方形D. 对角线互相垂直且相等的四边形
10.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推1.2m至C处时(即水平距离CD=1.2m)，踏板离地的垂直高度CF=1.1m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A. 1.5mB. 1.6mC. 1.8mD. 2m
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.化简 (−2024)2= ______．
12.已知一个菱形的面积为10cm2，它其中一条对角线的长度为10cm，则另一条对角线的长度为______cm．
13.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，若AB=6，BC=8，则OB的长度为______．
14.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，AD=3，则AC的长为______．
15.已知n是正整数， 140n是整数，则n的最小值是______．
16.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点D在线段BC上，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，点G，H分别是EF，BC的中点，若AB=4，则下列结论正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
①DG=12EF；
②EF的最小值是3 2；
③△DEF的面积始终保持不变；
④△DGH是等腰三角形．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(2 3+ 6)(2 3− 6)；
(2) 18+ 27÷ 3− 13× 24．
18.(本小题8分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且分别与AD，BC交于点E，F.求证：OE=OF．
19.(本小题8分)
如图，正方形A，B的面积分别为5cm2和7cm2，现将正方形A的边长分别增加2cm和3cm得到矩形甲；将正方形B的边长都增加2cm得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=3，AD= 7，CD=5，求∠BAD的度数．
21.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD．
求证：四边形OCED是菱形．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：在AC边上找出点D，使得BD+CD=AC；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下，连接BD，若AC=2BC=8，求BD的长．
23.(本小题10分)
如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M．
(1)求证：BE=CM；
(2)延长CD至点N，使得DN=BE，求证：四边形AEFN是正方形．
24.(本小题12分)
如1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点O，A和C的坐标分别为O(0,0)，A(0,a)，C(c,0)，且a，c满足a2−8a+16+ c−6=0．
(1)求a，c的值；
(2)点D在OC上，将△OAD沿AD折叠，使点O落在矩形内点E处．
①如图2，D，E，B三点共线，连接BE，求此时点D的坐标；
②如图3，若点D是线段OC的中点，连接CE，求CE的长．
25.(本小题14分)
如图1，E是正方形ABCD外一点，且满足∠BED=90°，连接CE．
(1)求证：CE平分∠BED；
(2)如图2，连接AE，求证：CE=AE+ 2DE；
(3)如图3，M是BE的中点，作DN⊥CE于点N，连接AM，MN，求证：AM⊥MN．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得x−2≥0，
解得x≥2，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、 2和 3不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、3 2− 2=2 2，故本选项错误，不符合题意；
C、 2−2 2=− 2，故本选项正确，符合题意；
D、2和 2不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加减运算法则逐项判断即可．
本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，MN是△ABC的中位线，
∴AB=2MN=2×16=32(米)，
故选：D．
根据题意，MN是△ABC的中位线，由此即可求解．
本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C．
∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=50°，
∴∠B=130°．
故选：D．
根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知∠A与∠C是对角，即可求出∠A和∠C的度数；再根据∠B与∠A是邻角，即可求得∠B．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、a2=b2+c2，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
B、82+152=172，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
C、92+162≠182，不能判断△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
D、设a=x,b=2x,c= 3x，则a2+c2=x2+( 3x)2=(2x)2=b2，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵AB//DC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不合题意；
∵AB=CD，AD//BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图：过A作AC⊥l2，
∵两平行线l1和l2之间的距离是4，∠BAD=135°，
∴∠ABC=180°−∠BAD=45°，AC=4，
∵AC⊥l2，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴BC=AC=4，
∴AB= AC2+BC2= 42+42=4 2．
故选：B．
如图：过A作AC⊥l2，根据平行线的性质可得∠ABC=45°、AC=4，进而说明∠BAC=∠ABC=45°，根据等角对等边可得BC=AC=4，最后根据勾股定理即可解答即可．
本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握等腰三角形的性质成为解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，作图如下，
∵平行四边形ABCD，
∴AB//DC，AB=DC，
∴DC//x轴，
∴点C和点D纵坐标相同，即为3；
又∵AB=DC，点C(2,3)，
∴2−5=−3，
∴点D坐标为(−3,3)．
故选：A．
如图：根据平行四边形对边平行且相等的性质可得AB//DC，AB=DC，进而确定点C和点D纵坐标相同，再根据两点之间的距离列方程即可解答．
本题主要考查图形与坐标和平行四边形的性质，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，BC=CD
∵EG//BC，
∴∠CGE=∠BCD=90°，EG=BC，
∵FH//CD，
∴∠EOF=∠EGC=90°，FH=CD，
∴EG⊥FH
∵BC=CD，
∴FH=EG，即四边形EFGH一定是对角线互相垂直且相等的四边形．
故选：D．
根据正方形的性质可得∠BCD=90°、BC=CD，再根据平行线的性质可得∠CGE=∠BCD=90°、EG=BC、∠EOF=∠EGC=90°、FH=CD，进而得到结论．
本题主要考查了正方形的性质、平行线的性质等知识点，掌握正方形的性质成为解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题意得∠DEF=∠CFE=∠CDE=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴DE=CF=1.1m，
∵BE=0.5m，
∴DB=1.1−0.5=0.6(m)．
设绳索长x m，则AB长x m，AD长(x−0.6)m，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AC2=AD2+CD2，
∴x2=(x−0.6)2+1.22，
解得x=1.5，
∴AC=1.5，
故选：A．
根据提议可得四边形CFDE是矩形，由此得DE=CF=1.1m，进而可得DB=0.6m.绳索长x m，则AB长x m，AD长(x−0.6)m，在Rt△ACD中，根据勾股定理列方程求出x的值即可．
本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11.【答案】2024
【解析】解： (−2024)2=2024，
故答案为：2024．
当a≥0时， a2=a；当a<0时， a2=−a，据此计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，属于基础题．
12.【答案】2
【解析】解：设另一条对角线长为x cm，由菱形的面积公式得：
12×10x=10，
解得x=2，
即另一条对角线的长为2cm．
故答案为：2．
设另一条对角线长为x cm，由菱形的面积公式计算，即可求解．
本题主要考查了求菱形的面积，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
13.【答案】5
【解析】解：∵在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵点O是斜边AC的中点，
∴OB=12AC=5．
故答案为：5．
先根据勾股定理求得AC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
本题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：在矩形ABCD中，OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠AOD=60°，
∴∠OCD=12∠AOD=12×60°=30°，
又∵∠ADC=90°，
∴AC=2AD=2×3=6．
故答案为：6．
根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
15.【答案】35
【解析】解：∵ 140n=2 35n， 140n是整数，n是正整数，
∴n的最小值为35．
故答案为：35．
根据题意 140n可变形为2 35n，即可求解．
本题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握二次根式的变形．
16.【答案】①④
【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴∠EDB=∠B=∠C=∠FDC=45°，
∴∠EDF=180°−∠EDB−∠FDC=90°，
∵点G是EF的中点，
∴DG=12EF，
故①正确；
连接AD、AH，
∵∠BAC=90°，AB=AC=4，点H是BC的中点，
∴BC= 42+42=4 2，AH⊥BC，BH=CH，
∴AH=BH=CH=12BC=2 2，
∵AD≥AH，
∴AD≥2 2，
∵∠AED=∠AFD=∠EDF=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴AD=EF，
∴EF≥2 2，
∴EF的最小值为2 2，
故②错误；
∵∠EDF=90°，BE=DE，DF=AE=4−BE，
∴S△DEF=12DE⋅DF=12BE(4−BE)=−12(BE−2)2+2，
∴S△DEF的大小随BE的变化而变化，
故③错误；
连接FH、EH，
∵∠HAF=∠HAB=12∠BAC=45°，
∴∠HAF=∠B，
∵AF=DE，BE=DE，
∴AF=BE，
在△HAF和△HBE中，
AH=BH∠HAF=∠BAH=BH，
∴△HAF≌△HBE(SAS)，
∴∠AHF=∠BHE，
∴∠EHF=∠AHF+∠AHE=∠BHE+∠AHE=∠AHB=90°，
∴HG=12EF，
∴DG=HG，
∴△DGH是等腰三角形，
故④正确，
故答案为：①④．
由∠BAC=90°，AB=AC，得∠B=∠C=45°，由∠BED=∠CFD=90°，得∠EDB=∠B=∠C=∠FDC=45°，则∠EDF=90°，所以DG=12EF，可判断①正确；连接AD、AH，因为BC=4 2，所以AH=BH=CH=2 2，由AD≥AH，得AD≥2 2，再证明四边形AEDF是矩形，则AD=EF，所以EF≥2 2，则EF的最小值为2 2，可判断②错误；可求得S△DEF=12BE(4−BE)=−12(BE−2)2+2，可知S△DEF的大小随BE的变化而变化，可判断③错误；连接FH、EH，可证明△HAF≌△HBE，得∠AHF=∠BHE，推导出∠EHF=∠AHB=90°，则HG=12EF，所以DG=HG，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(2 3+ 6)(2 3− 6)
=(2 3)2−( 6)2
=12−6
=6．
(2) 18+ 27÷ 3− 13× 24
=3 2+ 9− 8
=3 2+3−2 2
= 2+3．
【解析】(1)先根据平方差公式计算，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可；
(2)直接运用二次根式的混合运算法则计算即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式的知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则成为解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF．
【解析】要证明线段相等，只需证明两条线段所在的两个三角形全等即可．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF是关键．
19.【答案】解：∵正方形A，B的面积分别为5cm2和7cm2，
∴正方形A，B的边长分别为 5cm和 7cm，
根据题意得，矩形甲的面积为：( 5+2)×( 5+3)=5+2 5+3 5+6=11+5 5；
矩形乙的面积为：( 7+2)2=7+4 7+4=11+4 7；
∴11+4 7−(11+5 5)
=11+ 112−11− 125
= 112− 125，
∵112<125，
∴ 112< 125，
∴ 112− 125<0，
∴矩形甲的面积小于矩形乙的面积．
【解析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到 112− 125，然后由 112< 125进而求解即可．
此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积是关键．
20.【答案】解：∵∠B=90°，AB=BC=3，
∴∠BAC=∠BCA=12(180°−90°)=45°，AC2=AB2+BC2=32+32=18，
∵AD= 7,CD=5，
∴AD2=7，CD2=25，
∴AD2+AC2=CD2，即∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°．
【解析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得∠BAC=∠BCA=45°，再根据勾股定理可得AC2=18，然后根据勾股定理逆定理可知∠CAD=90°，最后根据角的和差即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键．
21.【答案】证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
【解析】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
22.【答案】解：(1)如图，作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，
则AD=BD，
∴AC=AD+CD=BD+CD，
则点D即为所求．
(2)∵AC=2BC=8，
∴BC=4．
设BD=AD=x，
则CD=8−x．
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD2=CD2+BC2，
即x2=(8−x)2+42，
解得x=5，
∴BD的长为5．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质，作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，则点D即为所求．
(2)设BD=AD=x，则CD=8−x.在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD2=CD2+BC2，即x2=(8−x)2+42，求出x的值，即可得出答案．
本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEM=90°，∠AEF=∠B，
∴∠BAE=∠FEM，
∵EF=AE
∴△ABE≌△EMF(AAS)，
∴AB=EM，
∴BC=EM
∴BC−EC=EM−EC，即BE=CM．
(2)∵正方形ABCD，
∴∠B=∠ADN=90°，AB=AD，
∵DN=BE，
∴△ABE≌△ADN(SAS)，
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN，
∵AE=EF
∴EF=AN，
∵∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠EAN=∠AEF=90°，
∴AN//EF，
∴四边形AEFN是平行四边形，
∵AE=EF，
∴四边形AEFN是菱形，
∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFN是正方形．
【解析】(1)先根据正方形的性质以及已知条件证明△ABE≌△EMF(AAS)可得BC=EM，然后根据线段的和差即可解答；
(2)先证明△ABE≌△ADN(SAS)可得AE=AN，再证明AN//EF可得四边形AEFN是平行四边形，再结合AE=EF、∠AEF=90°即可证明结论．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵a，c满足a2−8a+16+ c−6=0．
∴a2−8a+16+ c−6=(a−4)2+ c−6=0，
则(a−4)2=0, c−6=0，
∴a=4，b=6；
(2)△OAD沿AD折叠，使点O落在矩形内点E，
∴△OAD≌△EAD，
①∵四边形OABC是矩形，且a=4，b=6，
∴OA=BC=4，OC=AB=6，AB//OC，
∴∠BAD=∠ODA，
∵△OAD≌△EAD，
∴∠ADE=∠ODA，
∴∠BAD=∠ADE，
即BD=AB=6，
在Rt△BCD中，DC= BD2−BC2= 36−16=2 5，
∴OD=6−2 5，
即点D的坐标为(6−2 5,0)；
②连接OE，交AD于点H，如图3，
∵D是线段OC的中点，
∴OD=DC=3，AD= OA2+OD2=5，
∵折叠，
∴DE=OD=DC，OE⊥AD,OH=12OE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠OEC=∠2+∠3，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠OEC=12×180°=90°，
∵S△AOD=12AO×OD=12×AD×OH，
∴OH=AO×ODAD=3×45=125，
即OE=2OH=245，
在Rt△OCE中，CE= OC2−OE2= 36−57625=185．
【解析】(1)根据算术平方根以及平方的非负性，列式计算，即可作答．
(2)先由折叠得出△OAD≌△EAD，①根据矩形性质以及等角对等边，得出BD=AB=6，再结合勾股定理列式计算，即可作答．
(3)通过斜边上的中线等于斜边的一半，得出∠OEC=90°，再根据等面积法求出OH=AO×ODAD=3×45=125，然后结合勾股定理列式计算，即可作答．
本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，坐标与图形，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
25.【答案】证明：(1)如图1所示，过点C作CF⊥BE于F，CG⊥ED交ED延长线于G，
∵CF⊥BE，CG⊥ED，∠BED=90°，
∴四边形CFEG是矩形，∠CFB=∠CGD=90°，
∴∠FCG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠BCF=∠DCG，
∴△BCF≌△DCG(AAS)，
∴CF=CG，
∴四边形CFEG是正方形，
∴∠CEF=∠CEG=45°，
∴CE平分∠BED；
(2)如图2所示，过点D作DE⊥DH交CE于H，
由(1)得∠CED=45°，
∴△EDH是等腰直角三角形，
∴ED=HD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADC=∠EDH=90°，
∴∠ADE=∠CDH，
∴△ADE≌△CDH(SAS)，
∴AE=CH，
在Rt△EDH中，由勾股定理得EH= DE2+DH2= 2DE，
∵CE=CH+EH，
∴CE=AE+ 2DE；
(3)如图3所示，延长NM到H，使得NM=HM，连接AH，BH，AN，
∵M是BE的中点，
∴ME=MB，
又∵NM=HM，∠HMB=∠NME，
∴△HMB≌△NME(SAS)，
∴BH=EN，∠MBH=∠MEN，
∴BH//CE，
∴∠CBH+∠BCE=180°，
∴∠ABH+∠ABC+∠BCD−∠DCE=180°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABH=∠DCE，
∵DN⊥CE，
∴∠DCE+∠CDN=90°=∠CDN+∠ADN，
∴∠DCE=∠ADN，
∴∠ADN=∠ABH，
由(1)得∠DEN=45°，
∴△DEN是等腰直角三角形，
∴DN=EN=BH，
又∵AD=AB，
∴△ABH≌△ADN(SAS)，
∴AH=AN，
又∵HM=NM，
∴AM⊥MN．
【解析】(1)如图所示，过点C作CF⊥BE于F，CG⊥ED交ED延长线于G，证明四边形CFEG是矩形得到∠FCG=90°，再证明△BCF≌△DCG(AAS)，得到CF=CG，即可证明四边形CFEG是正方形，进而可证明结论；
(2)如图所示，过点D作DE⊥DH交CE于H，可证明△EDH是等腰直角三角形，得到ED=HD，证明△ADE≌△CDH(SAS)，得到AE=CH，由勾股定理得EH= 2DE，据此可证明CE=AE+ 2DE；
(3)如图所示，延长NM到H，使得NM=HM，连接AH，BH，AN，证明△HMB≌△NME(SAS)，得到BH=EN，∠MBH=∠MEN，证明△DEN是等腰直角三角形，得到DN=EN=BH，进而证明△ABH≌△ADN(SAS)，得到AH=AN，由HM=NM，可证明AM⊥MN．
本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，作出适当辅助线，构建全等三角形是解答本题的关键．
1.要使代数式 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2B. x≠2C. x>2D. x≤2
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3=5B. 3 2− 2=3
C. 2−2 2=− 2D. 2+ 2=2 2
3.如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，若MN的长为16米，则A，B间的距离是( )
A. 18米
B. 20米
C. 24米
D. 32米
4.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠B的度数为( )
A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
5.下列条件中，a，b，c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. a2=b2+c2B. a=8，b=15，c=17
C. a=9，b=16，c=18D. a：b：c=1：2： 3
6.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BCB. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB=DC，AD//BC
7.如图，两平行线l1和l2之间的距离是4，点A，D在l1上，点B在l2上，且∠BAD=135°，则AB的长为( )
A. 2 2B. 4 2C. 4D. 8
8.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点D的坐标是( )
A. (−3,3)B. (3,−3)C. (7,3)D. (−5,3)
9.已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，若EG//BC，FH//CD，则四边形EFGH一定是( )
A. 矩形B. 菱形
C. 正方形D. 对角线互相垂直且相等的四边形
10.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推1.2m至C处时(即水平距离CD=1.2m)，踏板离地的垂直高度CF=1.1m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A. 1.5mB. 1.6mC. 1.8mD. 2m
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.化简 (−2024)2= ______．
12.已知一个菱形的面积为10cm2，它其中一条对角线的长度为10cm，则另一条对角线的长度为______cm．
13.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，若AB=6，BC=8，则OB的长度为______．
14.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，AD=3，则AC的长为______．
15.已知n是正整数， 140n是整数，则n的最小值是______．
16.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点D在线段BC上，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，点G，H分别是EF，BC的中点，若AB=4，则下列结论正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
①DG=12EF；
②EF的最小值是3 2；
③△DEF的面积始终保持不变；
④△DGH是等腰三角形．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(2 3+ 6)(2 3− 6)；
(2) 18+ 27÷ 3− 13× 24．
18.(本小题8分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且分别与AD，BC交于点E，F.求证：OE=OF．
19.(本小题8分)
如图，正方形A，B的面积分别为5cm2和7cm2，现将正方形A的边长分别增加2cm和3cm得到矩形甲；将正方形B的边长都增加2cm得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=3，AD= 7，CD=5，求∠BAD的度数．
21.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD．
求证：四边形OCED是菱形．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：在AC边上找出点D，使得BD+CD=AC；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下，连接BD，若AC=2BC=8，求BD的长．
23.(本小题10分)
如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M．
(1)求证：BE=CM；
(2)延长CD至点N，使得DN=BE，求证：四边形AEFN是正方形．
24.(本小题12分)
如1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点O，A和C的坐标分别为O(0,0)，A(0,a)，C(c,0)，且a，c满足a2−8a+16+ c−6=0．
(1)求a，c的值；
(2)点D在OC上，将△OAD沿AD折叠，使点O落在矩形内点E处．
①如图2，D，E，B三点共线，连接BE，求此时点D的坐标；
②如图3，若点D是线段OC的中点，连接CE，求CE的长．
25.(本小题14分)
如图1，E是正方形ABCD外一点，且满足∠BED=90°，连接CE．
(1)求证：CE平分∠BED；
(2)如图2，连接AE，求证：CE=AE+ 2DE；
(3)如图3，M是BE的中点，作DN⊥CE于点N，连接AM，MN，求证：AM⊥MN．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得x−2≥0，
解得x≥2，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、 2和 3不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、3 2− 2=2 2，故本选项错误，不符合题意；
C、 2−2 2=− 2，故本选项正确，符合题意；
D、2和 2不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加减运算法则逐项判断即可．
本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，MN是△ABC的中位线，
∴AB=2MN=2×16=32(米)，
故选：D．
根据题意，MN是△ABC的中位线，由此即可求解．
本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C．
∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=50°，
∴∠B=130°．
故选：D．
根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知∠A与∠C是对角，即可求出∠A和∠C的度数；再根据∠B与∠A是邻角，即可求得∠B．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、a2=b2+c2，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
B、82+152=172，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
C、92+162≠182，不能判断△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
D、设a=x,b=2x,c= 3x，则a2+c2=x2+( 3x)2=(2x)2=b2，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵AB//DC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不合题意；
∵AB=CD，AD//BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图：过A作AC⊥l2，
∵两平行线l1和l2之间的距离是4，∠BAD=135°，
∴∠ABC=180°−∠BAD=45°，AC=4，
∵AC⊥l2，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴BC=AC=4，
∴AB= AC2+BC2= 42+42=4 2．
故选：B．
如图：过A作AC⊥l2，根据平行线的性质可得∠ABC=45°、AC=4，进而说明∠BAC=∠ABC=45°，根据等角对等边可得BC=AC=4，最后根据勾股定理即可解答即可．
本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握等腰三角形的性质成为解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，作图如下，
∵平行四边形ABCD，
∴AB//DC，AB=DC，
∴DC//x轴，
∴点C和点D纵坐标相同，即为3；
又∵AB=DC，点C(2,3)，
∴2−5=−3，
∴点D坐标为(−3,3)．
故选：A．
如图：根据平行四边形对边平行且相等的性质可得AB//DC，AB=DC，进而确定点C和点D纵坐标相同，再根据两点之间的距离列方程即可解答．
本题主要考查图形与坐标和平行四边形的性质，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，BC=CD
∵EG//BC，
∴∠CGE=∠BCD=90°，EG=BC，
∵FH//CD，
∴∠EOF=∠EGC=90°，FH=CD，
∴EG⊥FH
∵BC=CD，
∴FH=EG，即四边形EFGH一定是对角线互相垂直且相等的四边形．
故选：D．
根据正方形的性质可得∠BCD=90°、BC=CD，再根据平行线的性质可得∠CGE=∠BCD=90°、EG=BC、∠EOF=∠EGC=90°、FH=CD，进而得到结论．
本题主要考查了正方形的性质、平行线的性质等知识点，掌握正方形的性质成为解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题意得∠DEF=∠CFE=∠CDE=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴DE=CF=1.1m，
∵BE=0.5m，
∴DB=1.1−0.5=0.6(m)．
设绳索长x m，则AB长x m，AD长(x−0.6)m，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AC2=AD2+CD2，
∴x2=(x−0.6)2+1.22，
解得x=1.5，
∴AC=1.5，
故选：A．
根据提议可得四边形CFDE是矩形，由此得DE=CF=1.1m，进而可得DB=0.6m.绳索长x m，则AB长x m，AD长(x−0.6)m，在Rt△ACD中，根据勾股定理列方程求出x的值即可．
本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11.【答案】2024
【解析】解： (−2024)2=2024，
故答案为：2024．
当a≥0时， a2=a；当a<0时， a2=−a，据此计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，属于基础题．
12.【答案】2
【解析】解：设另一条对角线长为x cm，由菱形的面积公式得：
12×10x=10，
解得x=2，
即另一条对角线的长为2cm．
故答案为：2．
设另一条对角线长为x cm，由菱形的面积公式计算，即可求解．
本题主要考查了求菱形的面积，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
13.【答案】5
【解析】解：∵在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵点O是斜边AC的中点，
∴OB=12AC=5．
故答案为：5．
先根据勾股定理求得AC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
本题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：在矩形ABCD中，OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠AOD=60°，
∴∠OCD=12∠AOD=12×60°=30°，
又∵∠ADC=90°，
∴AC=2AD=2×3=6．
故答案为：6．
根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
15.【答案】35
【解析】解：∵ 140n=2 35n， 140n是整数，n是正整数，
∴n的最小值为35．
故答案为：35．
根据题意 140n可变形为2 35n，即可求解．
本题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握二次根式的变形．
16.【答案】①④
【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴∠EDB=∠B=∠C=∠FDC=45°，
∴∠EDF=180°−∠EDB−∠FDC=90°，
∵点G是EF的中点，
∴DG=12EF，
故①正确；
连接AD、AH，
∵∠BAC=90°，AB=AC=4，点H是BC的中点，
∴BC= 42+42=4 2，AH⊥BC，BH=CH，
∴AH=BH=CH=12BC=2 2，
∵AD≥AH，
∴AD≥2 2，
∵∠AED=∠AFD=∠EDF=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴AD=EF，
∴EF≥2 2，
∴EF的最小值为2 2，
故②错误；
∵∠EDF=90°，BE=DE，DF=AE=4−BE，
∴S△DEF=12DE⋅DF=12BE(4−BE)=−12(BE−2)2+2，
∴S△DEF的大小随BE的变化而变化，
故③错误；
连接FH、EH，
∵∠HAF=∠HAB=12∠BAC=45°，
∴∠HAF=∠B，
∵AF=DE，BE=DE，
∴AF=BE，
在△HAF和△HBE中，
AH=BH∠HAF=∠BAH=BH，
∴△HAF≌△HBE(SAS)，
∴∠AHF=∠BHE，
∴∠EHF=∠AHF+∠AHE=∠BHE+∠AHE=∠AHB=90°，
∴HG=12EF，
∴DG=HG，
∴△DGH是等腰三角形，
故④正确，
故答案为：①④．
由∠BAC=90°，AB=AC，得∠B=∠C=45°，由∠BED=∠CFD=90°，得∠EDB=∠B=∠C=∠FDC=45°，则∠EDF=90°，所以DG=12EF，可判断①正确；连接AD、AH，因为BC=4 2，所以AH=BH=CH=2 2，由AD≥AH，得AD≥2 2，再证明四边形AEDF是矩形，则AD=EF，所以EF≥2 2，则EF的最小值为2 2，可判断②错误；可求得S△DEF=12BE(4−BE)=−12(BE−2)2+2，可知S△DEF的大小随BE的变化而变化，可判断③错误；连接FH、EH，可证明△HAF≌△HBE，得∠AHF=∠BHE，推导出∠EHF=∠AHB=90°，则HG=12EF，所以DG=HG，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(2 3+ 6)(2 3− 6)
=(2 3)2−( 6)2
=12−6
=6．
(2) 18+ 27÷ 3− 13× 24
=3 2+ 9− 8
=3 2+3−2 2
= 2+3．
【解析】(1)先根据平方差公式计算，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可；
(2)直接运用二次根式的混合运算法则计算即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式的知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则成为解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF．
【解析】要证明线段相等，只需证明两条线段所在的两个三角形全等即可．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF是关键．
19.【答案】解：∵正方形A，B的面积分别为5cm2和7cm2，
∴正方形A，B的边长分别为 5cm和 7cm，
根据题意得，矩形甲的面积为：( 5+2)×( 5+3)=5+2 5+3 5+6=11+5 5；
矩形乙的面积为：( 7+2)2=7+4 7+4=11+4 7；
∴11+4 7−(11+5 5)
=11+ 112−11− 125
= 112− 125，
∵112<125，
∴ 112< 125，
∴ 112− 125<0，
∴矩形甲的面积小于矩形乙的面积．
【解析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到 112− 125，然后由 112< 125进而求解即可．
此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积是关键．
20.【答案】解：∵∠B=90°，AB=BC=3，
∴∠BAC=∠BCA=12(180°−90°)=45°，AC2=AB2+BC2=32+32=18，
∵AD= 7,CD=5，
∴AD2=7，CD2=25，
∴AD2+AC2=CD2，即∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°．
【解析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得∠BAC=∠BCA=45°，再根据勾股定理可得AC2=18，然后根据勾股定理逆定理可知∠CAD=90°，最后根据角的和差即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键．
21.【答案】证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
【解析】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
22.【答案】解：(1)如图，作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，
则AD=BD，
∴AC=AD+CD=BD+CD，
则点D即为所求．
(2)∵AC=2BC=8，
∴BC=4．
设BD=AD=x，
则CD=8−x．
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD2=CD2+BC2，
即x2=(8−x)2+42，
解得x=5，
∴BD的长为5．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质，作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，则点D即为所求．
(2)设BD=AD=x，则CD=8−x.在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD2=CD2+BC2，即x2=(8−x)2+42，求出x的值，即可得出答案．
本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEM=90°，∠AEF=∠B，
∴∠BAE=∠FEM，
∵EF=AE
∴△ABE≌△EMF(AAS)，
∴AB=EM，
∴BC=EM
∴BC−EC=EM−EC，即BE=CM．
(2)∵正方形ABCD，
∴∠B=∠ADN=90°，AB=AD，
∵DN=BE，
∴△ABE≌△ADN(SAS)，
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN，
∵AE=EF
∴EF=AN，
∵∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠EAN=∠AEF=90°，
∴AN//EF，
∴四边形AEFN是平行四边形，
∵AE=EF，
∴四边形AEFN是菱形，
∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFN是正方形．
【解析】(1)先根据正方形的性质以及已知条件证明△ABE≌△EMF(AAS)可得BC=EM，然后根据线段的和差即可解答；
(2)先证明△ABE≌△ADN(SAS)可得AE=AN，再证明AN//EF可得四边形AEFN是平行四边形，再结合AE=EF、∠AEF=90°即可证明结论．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵a，c满足a2−8a+16+ c−6=0．
∴a2−8a+16+ c−6=(a−4)2+ c−6=0，
则(a−4)2=0, c−6=0，
∴a=4，b=6；
(2)△OAD沿AD折叠，使点O落在矩形内点E，
∴△OAD≌△EAD，
①∵四边形OABC是矩形，且a=4，b=6，
∴OA=BC=4，OC=AB=6，AB//OC，
∴∠BAD=∠ODA，
∵△OAD≌△EAD，
∴∠ADE=∠ODA，
∴∠BAD=∠ADE，
即BD=AB=6，
在Rt△BCD中，DC= BD2−BC2= 36−16=2 5，
∴OD=6−2 5，
即点D的坐标为(6−2 5,0)；
②连接OE，交AD于点H，如图3，
∵D是线段OC的中点，
∴OD=DC=3，AD= OA2+OD2=5，
∵折叠，
∴DE=OD=DC，OE⊥AD,OH=12OE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠OEC=∠2+∠3，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠OEC=12×180°=90°，
∵S△AOD=12AO×OD=12×AD×OH，
∴OH=AO×ODAD=3×45=125，
即OE=2OH=245，
在Rt△OCE中，CE= OC2−OE2= 36−57625=185．
【解析】(1)根据算术平方根以及平方的非负性，列式计算，即可作答．
(2)先由折叠得出△OAD≌△EAD，①根据矩形性质以及等角对等边，得出BD=AB=6，再结合勾股定理列式计算，即可作答．
(3)通过斜边上的中线等于斜边的一半，得出∠OEC=90°，再根据等面积法求出OH=AO×ODAD=3×45=125，然后结合勾股定理列式计算，即可作答．
本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，坐标与图形，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
25.【答案】证明：(1)如图1所示，过点C作CF⊥BE于F，CG⊥ED交ED延长线于G，
∵CF⊥BE，CG⊥ED，∠BED=90°，
∴四边形CFEG是矩形，∠CFB=∠CGD=90°，
∴∠FCG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠BCF=∠DCG，
∴△BCF≌△DCG(AAS)，
∴CF=CG，
∴四边形CFEG是正方形，
∴∠CEF=∠CEG=45°，
∴CE平分∠BED；
(2)如图2所示，过点D作DE⊥DH交CE于H，
由(1)得∠CED=45°，
∴△EDH是等腰直角三角形，
∴ED=HD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADC=∠EDH=90°，
∴∠ADE=∠CDH，
∴△ADE≌△CDH(SAS)，
∴AE=CH，
在Rt△EDH中，由勾股定理得EH= DE2+DH2= 2DE，
∵CE=CH+EH，
∴CE=AE+ 2DE；
(3)如图3所示，延长NM到H，使得NM=HM，连接AH，BH，AN，
∵M是BE的中点，
∴ME=MB，
又∵NM=HM，∠HMB=∠NME，
∴△HMB≌△NME(SAS)，
∴BH=EN，∠MBH=∠MEN，
∴BH//CE，
∴∠CBH+∠BCE=180°，
∴∠ABH+∠ABC+∠BCD−∠DCE=180°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABH=∠DCE，
∵DN⊥CE，
∴∠DCE+∠CDN=90°=∠CDN+∠ADN，
∴∠DCE=∠ADN，
∴∠ADN=∠ABH，
由(1)得∠DEN=45°，
∴△DEN是等腰直角三角形，
∴DN=EN=BH，
又∵AD=AB，
∴△ABH≌△ADN(SAS)，
∴AH=AN，
又∵HM=NM，
∴AM⊥MN．
【解析】(1)如图所示，过点C作CF⊥BE于F，CG⊥ED交ED延长线于G，证明四边形CFEG是矩形得到∠FCG=90°，再证明△BCF≌△DCG(AAS)，得到CF=CG，即可证明四边形CFEG是正方形，进而可证明结论；
(2)如图所示，过点D作DE⊥DH交CE于H，可证明△EDH是等腰直角三角形，得到ED=HD，证明△ADE≌△CDH(SAS)，得到AE=CH，由勾股定理得EH= 2DE，据此可证明CE=AE+ 2DE；
(3)如图所示，延长NM到H，使得NM=HM，连接AH，BH，AN，证明△HMB≌△NME(SAS)，得到BH=EN，∠MBH=∠MEN，证明△DEN是等腰直角三角形，得到DN=EN=BH，进而证明△ABH≌△ADN(SAS)，得到AH=AN，由HM=NM，可证明AM⊥MN．
本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，作出适当辅助线，构建全等三角形是解答本题的关键．
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