2023-2024学年江苏省盐城市经开区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市经开区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若把分式x+y2xy中的x和y都扩大3倍，那么分式的值( )
A. 扩大3倍B. 不变C. 缩小3倍D. 缩小6倍
3.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB/​/CD，AD//BC；
②AB=CD，AD=BC；
③AO=CO，BO=DO；
④AB/​/CD，AD=BC．
其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有( )
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
4.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠D等于( )
A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
5.对于非正整数x，使得2x−3x+1的值是一个整数，则x的个数有( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 27°
D. 40°
7.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= 2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是( )
A. 3+1
B. 4
C. 2+2
D. 7
8.若分式x−2x+1的值为0，则x为( )
A. −1B. 2或−1C. 1D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若点A(a,b)在反比例函数y=−3x图象上，则代数式ab= ______．
10.当x ______时，分式x+3x−2有意义．
11.分式2xx−2和3x2−2x的最简公分母是______．
12.某中学为了了解本校2 000名学生所需运动服尺码，在全校范围内随机抽取100名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是______．
13.一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个白球．
14.若分式方程x−6x−5=k5−x有正数解，则k的取值范围是 ．
15.如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2，则AB的长为______．
16.在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(−2,4)、(−5,2)，点M、N分别是x轴、y轴上的点，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的横坐标的所有可能的值是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)a2a+1−1a+1；
(2)(1+1a−1)÷aa−1．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：2x2−2x−x−6x2−4x+4÷x−6x−2，请从0，2，5，6这四个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值．
19.(本小题8分)
在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分，泰州市的一个社区随机抽取了部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的不完整统计图，已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．
月消费额分组统计表
(1)A组的频数是______，本次调查样本的容量是______．
(2)补全直方图(需标明C，D，E组频数)；
(3)若该社区有3000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？
20.(本小题8分)
已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE=DF．
21.(本小题8分)
在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
(1)摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？
(2)为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去7个球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
22.(本小题10分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2BC2，画出旋转后的△A2BC2．
23.(本小题10分)
在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE=AF．

(1)如图①，若∠B为直角，求证：CE=CF；
(2)如图②，若∠B为钝角，求证：CE=CF；
(3)若∠B为锐角，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请画出反例．
24.(本小题12分)
如图①，在▱ABCD中，AB=5，BC=13，BC边上的高为4.求作菱形AEFG，使点E在边AD上，点F，G在边BC上．
小宁的作法1.如图②，在边AD上取一点E．
2.以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点G．
3.在BC上截取GF=AE，连接EF，则四边形AEFG为所求作的菱形．
(1)证明小宁所作的四边形AEFG是菱形．
(2)小宁进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化.请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：把分式中的x和都扩大3倍，
3x+3y2×3x×3y=3(x+y)2×9xy=x+y6xy，
∴结果缩小3倍．
故选：C．
按照题意将原式中的字母都扩大3倍，再化简，即可得出结论．
本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可知④错误；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故选：C．
根据平行四边形的判断定理可作出判断．
此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是做题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB/​/CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=50°，
∴∠D=180°−∠A=130°．
故选：D．
由在▱ABCD中，若∠A+∠C=100°，根据平行四边形的性质，可求得∠A的度数，又由平行线的性质，求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5.【答案】A
【解析】解：2x−3x+1
=2x+2−5x+1
=2−5x+1，
∵x为非正整数，使得2x−3x+1的值是一个整数，
∴x取值为0，−2，−6，
∴x的个数有3个，
故选：A．
先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值．
本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，AB/​/CD，BD⊥AC，∠DCO=12∠BCD=12×50°=25°，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB=90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH=OD=OB，
∴∠HDB=∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠HDB+∠BDC=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC+∠DCO=90°，
∴∠HDO=∠DCO，
∴∠DHO=∠DCA=25°，
故选：B．
先根据菱形的性质得OD=OB，AB/​/CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB=90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH=OD=OB，利用等腰三角形的性质得∠HDB=∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】A
【解析】解：如图，连接AM，
由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC= 2，
∴AC=2=CM=2，
∵AB=BC，CM=AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO=12AC=1，OM=CM⋅sin60°= 3，
∴BM=BO+OM=1+ 3，
故选：A．
如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=12AC=1，OM=CM⋅sin60°= 3，最终得到答案BM=BO+OM=1+ 3．
本题考查了图形的变换−旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：分式x−2x+1的值为0，则x−2=0，且x+1≠0，
解得：x=2．
故选：D．
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确得出分子为零是解题关键．
9.【答案】−3
【解析】解：∵点A(a,b)在反比例函数y=−3x的图象上，
∴b=−3a，
∴ab=−3，
故答案为：−3．
根据点A(a,b)在反比例函数y=−3x的图象上，可以求得ab的值，从而可以得到所求式子的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，明确题意，利用反比例函数的性质是解答本题的关键．
10.【答案】≠2
【解析】解：∵分式x+3x−2有意义，
∴x−2≠0，
∴x≠2．
故答案为：≠2．
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
11.【答案】x(x−2)
【解析】解：3x2−2x=3x(x−2)，则分式2xx−2，3x2−2x的分母分别是(x−2)、x(x−2)，
所以它们的最简公分母是x(x−2)．
故答案为：x(x−2)．
确定最简公分母的方法是：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此解答即可．
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂．
12.【答案】100
【解析】【解答】
解：样本是在全校范围内随机抽取的100名学生的运动服尺码，
故样本容量为100．
故答案为：100．
【分析】
找到样本，根据样本容量的定义解答．本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟记样本容量的定义是解题的关键．样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位．
13.【答案】3
【解析】解：由题意可得，摸到红球的概率为70%.则白球的概率为30%，
这个口袋中白球的个数：10×30%=3(个)，
故答案为3．
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
本题考查了用样本估计总体，正确理解概率的意义是解题的关键．
14.【答案】k<6且k≠1
【解析】解：去分母得：x−6=−k，
解得：x=6−k，
由分式方程有正数解，得到6−k>0且6−k≠5，
解得：k<6且k≠1，
则k的取值范围是k<6且k≠1；
故答案为：k<6且k≠1．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有正数解列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可确定出k的范围．
此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
15.【答案】3
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，其周长为16，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=CB，
∴BC+AB=8①；
∵△AOB的周长比△BOC的周长小2，
∴OB+OC+BC−(OA+OB+AB)=2，
∴BC−AB=2②，
①−②得：2AB=6，
∴AB=3，
故答案为：3．
由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=CB，则BC+AB=8①，再由三角形的周长关系得BC−AB=2②，即可解决问题．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形周长等知识，掌握平行四边形两组对边分别相等，对角线互相平分是解题的关键．
16.【答案】−7，−3，3
【解析】解：如图所示：
当AB平行且等于N1M1时，四边形ABM1N1是平行四边形；
当AB平行且等于N2M2时，四边形ABN2M2是平行四边形；
当AB为对角线时，四边形AN3BM3是平行四边形．
故符合题意的有3个点，点M的横坐标分别为−7，−3，3．
故答案为：−7，−3，3．
根据“一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”，画出图形，得出点M的横坐标即可．
此题考查了平行四边形的性质；结合AB的长分别确定M，N的位置是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)a2a+1−1a+1
=a2−1a+1
=(a−1)(a+1)a+1
=a−1；
(2)(1+1a−1)÷aa−1
=aa−1⋅a−1a
=1．
【解析】(1)直接利用分式的减法运算的法则进行求解，再化简即可；
(2)先通分，把除法转为乘法，再约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：原式=2x(x−2)−x−6(x−2)2⋅x−2x−6
=2x(x−2)−1x−2
=2x(x−2)−xx(x−2)
=2−xx(x−2)
=−1x；
要使原代数式有意义，分母和除式里的除数都不为0，x只能取5，
当x=5时，
原式=−15．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】2 50
【解析】解：(1)A组的频数是：10×15=2；
调查样本的容量是：(2+10)÷(1−8%−28%−40%)=50；
故答案为：2；50；
(2)C组的频数是：50×40%=20，
D组的频数是：50×28%=14，
E组的频数是：50×8%=4，如图，
(3)3000×(40%+28%+8%)=2280(户)，
答：估计月信息消费额不少于200元的户数是2280户．
(1)根据A、B两组户数直方图的高度比为1：5，即两组的频数的比是1：5，据此即可求得A组的频数；利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数，即样本容量；
(2)利用总数乘以百分比即可求得C组的频数，从而补全统计图；
(3)利用总数3000乘以对应的百分比即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，
∴DE=12AD，BF=12BC，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC，又由点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，可得DE=BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论．
21.【答案】解：(1)∵袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，
∴摸出每一球的可能性相同，
∴摸出红球的概率是99+6=35，摸出黄球的概率是69+6=25；
(2)设放入红球x个，则黄球为(7−x)个，
由题意得：9+x9+6+7=6+(7−x)9+6+7，
解得：x=2，
则7−x=5，
∴放进去的这7个球中红球2个，黄球5个．
【解析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)设放入红球x个，则黄球为(7−x)个，由题意：摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标(4,0)；
(2)如图，△A2BC2即为所求．

【解析】(1)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，且∠B为直角，
∴四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB=AD=AB．
在Rt△ADF和Rt△ABE中，
AF=AEAD=AB，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE(HL)，
∴DF=BE．
∴DC−DF=BC−BE，
即CF=CE；
(2)过A作AG⊥CB，交CB的延长线于点G，AH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ACD，AD=AB=CD=CB，
∴∠ABG=∠ADH．
在Rt△AGB和Rt△AHD中，
∠AGB=∠AHD=90°∠ABG=∠ADHAB=AD，
∴Rt△AGB≌Rt△AHD(AAS)，
∴AG=AH，GB=HD．
在Rt△AGE和Rt△AHF中，
AG=AHAE=AF，
∴Rt△AGE≌Rt△AHF(HL)，
∴GE=HF，
∴BE=DF，
∴CB−BE=CD−DF，
即CE=CF；
(3)若∠B为锐角，上述结论不成立，画出反例如图，

菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，∠B为锐角，AE=AF=AE′，
则CE′=CF=CE−EE′，
显然CF≠CE，
∴如图所示，∠B为锐角时，若AE=AF，CF≠CE．
∴若∠B为锐角，上述结论不成立．
【解析】(1)利用正方形的性质和直角三角形的全等的判定定理解答即可；
(2)过A作AG⊥CB，交CB的延长线于点G，AH⊥CD，交CD的延长线于点H，利用全等三角形的判定定理和等式的性质解答即可；
(3)画出反例的图形即可．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，反证法，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴AE/​/GF，
∵AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE=AG，
∴四边形AEFG是菱形．
(2)解：如图①中，过点A作AT⊥BC于点T，

在Rt△ABT中，BT= AB2−AT2= 52−42=3，
∵BC=13，
∴CT=13−3=10，
在TC上取一点G，使得AG=CG，设AG=CG=x，
则有x2=42+(10−x)2，
∴x=295，
观察图象可知：
①当0②当AE=4时，菱形的个数为1；
③当4 ④当5 ⑤当295【解析】(1)根据邻边相等的四边形是菱形证明即可；
(2)如图①中，过点A作AT⊥BC于点T，利用勾股定理求出A=CT，在TC上取一点G，使得AG=CG，设AG=CG=x，利用勾股定理求出x，分五种情形，分别求解．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，勾股定理，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．组别
消费额(元)
A
10≤x<100
B
100≤x<200
C
200≤x<300
D
300≤x<400
E
x≥400